การแปลงลาปลาซง่าย
สัญญาณ f(t) มีการแปลงลาปลาซ F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23)) จงใช้ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายหาค่า f(∞) ที่ f(t) เข้าสู่
F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23))
จงหา f(∞)
แสดงคำใบ้
- ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lim s·F(s) เมื่อ s → 0
- ก่อนอื่นตรวจสอบว่าโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย เพื่อให้ f(t) เข้าสู่ค่าหนึ่งจริง
- s·F(s) = 28/(s² + 2s + 23).
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน
การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lims→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)
ตรวจสอบว่าทฤษฎีบทใช้ได้
ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อ f(t) เข้าสู่ค่าหนึ่ง โพลบนแกนจินตภาพหรือในระนาบครึ่งขวาจะให้คำตอบผิด
โพลของ s·F(s): s² + 2s + 23 = 0 ทั้งหมดอยู่ในระนาบครึ่งซ้าย
ค่าสุดท้าย
f(∞) = lims→0 s·F(s) = lims→0 28/(s² + 2s + 23) = 28/23 = 1.217
คำตอบ
f(∞) = 1.217