เครื่องคำนวณเกณฑ์เสถียรภาพเราท์–เฮอร์วิตซ์
กรอกค่าของคุณ คำตอบและวิธีทำฉบับเต็มจะอัปเดตขณะที่คุณพิมพ์
ผลลัพธ์
| หลัก 1 | หลัก 2 | หลัก 3 | |
|---|---|---|---|
| s⁴ | 1 | 3 | 5 |
| s³ | 2 | 4 | 0 |
| s² | 1 | 5 | 0 |
| s¹ | −6 | 0 | 0 |
| s⁰ | 5 | 0 | 0 |
ตรวจเสถียรภาพของระบบเชิงเส้นจากพหุนามลักษณะเฉพาะ เครื่องคำนวณสร้างตารางเราท์ด้วยเศษส่วนที่แน่นอน จัดการศูนย์ในหลักแรก (วิธี ε) และแถวที่เป็นศูนย์ทั้งแถว (พหุนามช่วย) นับการเปลี่ยนเครื่องหมาย และให้จำนวนรากในระนาบครึ่งขวา บนแกนจินตภาพ และในระนาบครึ่งซ้าย
เฉลยทีละขั้นตอน
พหุนามลักษณะเฉพาะ
สองแถวแรก
แถวถัดไป
นับการเปลี่ยนเครื่องหมายในหลักแรก
สูตรสำคัญ
- เสถียรภาพ
- รากทั้งหมดของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งระนาบซ้าย
- ตารางราอ์ท ค่าในแถว s¹ ของระบบอันดับสาม
- b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
- รากในครึ่งระนาบขวา
- จำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก
- ระบบอันดับสาม s³ + a₂s² + a₁s + a₀
- เสถียรเมื่อ a ทุกตัว > 0 และ a₂·a₁ > a₀
- สมการลักษณะเฉพาะ
- 1 + K·G(s) = 0
วิธีใช้เกณฑ์เราท์–เฮอร์วิตซ์
- เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะโดยมีทุกกำลังของ s จากกำลังสูงสุดลงมา ถ้าสัมประสิทธิ์ขาดหายไปหรือเครื่องหมายต่างกัน ระบบจะเสถียรไม่ได้
- เติมแถวแรกด้วยสัมประสิทธิ์ตัวที่ 1, 3, 5, … และแถวที่สองด้วยตัวที่ 2, 4, 6, …
- สมาชิกถัดไปแต่ละตัวคือ (b₁·a_(j+1) − a₁·b_(j+1))/b₁ โดยใช้สองแถวที่อยู่เหนือขึ้นไป
- ถ้าสมาชิกตัวแรกเป็นศูนย์แต่แถวไม่ใช่ศูนย์ทั้งแถว ให้แทนด้วย ε > 0 เล็กน้อย ถ้าทั้งแถวเป็นศูนย์ ให้แทนด้วยอนุพันธ์ของพหุนามช่วยที่สร้างจากแถวบน
- จำนวนการเปลี่ยนเครื่องหมายในหลักแรกเท่ากับจำนวนรากในระนาบครึ่งขวา
คำถามและคำตอบ
แถวที่เป็นศูนย์ทั้งแถวหมายความว่าอย่างไร
พหุนามมีรากที่สมมาตรรอบจุดกำเนิด เป็นคู่ ±a, ±jω หรือสี่ตัวเป็นชุด พหุนามช่วยจากแถวบนมีรากเหล่านั้นพอดี และรากบนแกนจินตภาพของมันทำให้ระบบเสถียรอย่างมากที่สุดเพียงแบบมาร์จินัล
วิธี ε เชื่อถือได้เสมอหรือไม่
ไม่ใช่เมื่อมีรากอยู่บนแกนจินตภาพ เครื่องคำนวณจึงแยกตัวประกอบร่วมของ P(s) และ P(−s) ซึ่งมีรากสมมาตรทั้งหมด และนับรากบนแกนจินตภาพของมันอย่างแน่นอนด้วย ถ้าทำให้ผลนับเปลี่ยนไป ขั้นตอนจะแจ้งไว้
จะหาช่วงของ K ที่ทำให้เสถียรได้อย่างไร
ใส่เกน K ในสัมประสิทธิ์ สร้างตารางแบบสัญลักษณ์ และกำหนดให้ทุกสมาชิกในหลักแรกเป็นบวก เครื่องคำนวณนี้ทำงานกับตัวเลข คุณจึงใช้ตรวจค่า K ทั้งสองด้านของขีดจำกัดที่หาได้
ตารางเราท์ที่เสถียรหมายความว่าการออกแบบดีหรือไม่
บอกเพียงว่าโพลทั้งหมดอยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ความเร็วและการหน่วงของผลตอบสนองขึ้นอยู่กับตำแหน่งของโพล ให้ใช้ root locus หรือแผนภาพโบเดสำหรับเรื่องนั้น
ลองทำเอง
ฝึกเสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส
เครื่องคำนวณให้คำตอบ แต่ในการสอบคุณต้องมีวิธีทำ จึงควรฝึกกับโจทย์ใหม่ คำใบ้ และเฉลยละเอียด