เครื่องคำนวณการแปลงลาปลาซผกผัน (เศษส่วนย่อย)
กรอกค่าของคุณ คำตอบและวิธีทำฉบับเต็มจะอัปเดตขณะที่คุณพิมพ์
ผลลัพธ์
หาการแปลงลาปลาซผกผันของฟังก์ชันตรรกยะ F(s) = N(s)/D(s) ป้อนสัมประสิทธิ์ของตัวเศษและตัวส่วน เรียงจากกำลังสูงสุดของ s ก่อน เครื่องคำนวณตัดตัวประกอบร่วม หารเศษส่วนเกินออก หาโพล คำนวณสัมประสิทธิ์ของเศษส่วนย่อยทุกตัว (สำหรับโพลที่ต่างกัน โพลซ้ำ และโพลเชิงซ้อน) และเขียน f(t) เป็นผลรวมของเอกซ์โพเนนเชียล กำลังของ t ไซน์ และโคไซน์
เฉลยทีละขั้นตอน
เขียน F(s) เป็นอัตราส่วนของพหุนาม
โพล: รากของตัวส่วน
เศษส่วนย่อย
คู่การแปลงที่ใช้
การแปลงลาปลาซผกผัน
วิธีหาการแปลงลาปลาซผกผันด้วยเศษส่วนย่อย
- ตรวจให้แน่ใจว่า F(s) เป็นเศษส่วนแท้: ถ้าดีกรีของตัวเศษไม่ต่ำกว่าตัวส่วน ให้หารก่อน ส่วนที่เป็นพหุนามให้อิมพัลส์ δ(t), δ′(t) และต่อไป
- แยกตัวประกอบของตัวส่วนเพื่อหาโพล: โพลจริง a ให้ตัวประกอบ (s − a) คู่เชิงซ้อน a ± bj ให้ (s − a)² + b²
- เขียน F(s) เป็นผลรวมของเศษส่วนย่อยและหาสัมประสิทธิ์ สำหรับโพลเดี่ยว A = [(s − a)·F(s)] ที่ s = a (วิธีปิดบัง) โพลซ้ำต้องใช้อนุพันธ์
- แปลงแต่ละพจน์ด้วยตาราง: 1/(s − a) ↔ e^(at), 1/(s − a)ⁿ ↔ tⁿ⁻¹·e^(at)/(n − 1)! และ (s − a)/((s − a)² + b²) ↔ e^(at)·cos bt
- บวกพจน์ทั้งหมดเพื่อได้ f(t) สำหรับ t ≥ 0
คำถามและคำตอบ
ป้อน F(s) อย่างไร
พิมพ์สัมประสิทธิ์ของแต่ละพหุนามจากกำลังสูงสุดของ s ลงมา คั่นด้วยช่องว่าง และใส่ศูนย์สำหรับกำลังที่ขาด (s + 3)/(s² + 3s + 2) คือตัวเศษ 1 3 และตัวส่วน 1 3 2; 1/(s³ + 4s) คือตัวเศษ 1 และตัวส่วน 1 0 4 0 ใช้เศษส่วนเช่น 1/2 และทศนิยมได้
วิธีปิดบังคืออะไร
สำหรับโพลเดี่ยวที่ s = a ให้คูณ F(s) ด้วย (s − a) ตัดทอน แล้วแทน s = a สำหรับ F(s) = (s + 3)/((s + 1)(s + 2)) จะได้ 2/1 = 2 ที่ s = −1 และ 1/(−1) = −1 ที่ s = −2 ดังนั้น f(t) = 2e^(−t) − e^(−2t)
จัดการโพลเชิงซ้อนอย่างไร
คู่โพล a ± bj ให้พจน์ (B(s − a) + C·b)/((s − a)² + b²) ซึ่งการแปลงผกผันคือ e^(at)·(B cos bt + C sin bt) เครื่องคำนวณหา B และ C จากสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน A ที่ a + bj: B = 2·Re A และ C = −2·Im A
จะทำอย่างไรถ้าดีกรีของตัวเศษสูงเกินไป
แสดงว่า F(s) เป็นเศษส่วนเกิน การหารพหุนามให้ F(s) = Q(s) + R(s)/D(s) พหุนาม Q(s) แปลงเป็นอิมพัลส์: ค่าคงที่ c ให้ c·δ(t), c·s ให้ c·δ′(t) และต่อไป ส่วนเศษส่วนแท้ R(s)/D(s) กระจายเป็นเศษส่วนย่อยตามปกติ
ผลลัพธ์แม่นยำแค่ไหน
ตัวประกอบร่วมและตัวประกอบซ้ำหาได้อย่างแน่นอนด้วยเศษส่วน จากนั้นรากและสัมประสิทธิ์คำนวณเชิงตัวเลขประมาณ 14 หลัก และแสดงเป็น 4 หลักนัยสำคัญ โพลอตรรกยะ เช่นของ s² + s + 1 จึงปรากฏเป็นทศนิยม
ทำไม f(t) จึงใช้ได้เฉพาะ t ≥ 0
การแปลงลาปลาซด้านเดียวใช้เฉพาะค่าของ f เมื่อ t ≥ 0 พูดให้เคร่งครัด ผลลัพธ์คือ f(t)·u(t) โดย u คือฟังก์ชันขั้นหนึ่งหน่วย ดังนั้น f(t) = 0 เมื่อ t < 0
ลองทำเอง
ฝึกการแปลงลาปลาซ
เครื่องคำนวณให้คำตอบ แต่ในการสอบคุณต้องมีวิธีทำ จึงควรฝึกกับโจทย์ใหม่ คำใบ้ และเฉลยละเอียด