เครื่องแก้ระบบสมการเชิงเส้น (2×2 และ 3×3)

กรอกค่าของคุณ คำตอบและวิธีทำฉบับเต็มจะอัปเดตขณะที่คุณพิมพ์

ผลลัพธ์

x2
y3
z−1
ลำดับชั้นของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์3
ดีเทอร์มินันต์−1

แก้ระบบสมการเชิงเส้นสองหรือสามสมการ พิมพ์สมการอย่างที่คุณเขียน เช่น 2x + y − z = 8 หรือป้อนเมทริกซ์แต่งเติม เครื่องคำนวณแสดงทุกการดำเนินการแถวของการกำจัดแบบเกาส์–จอร์ดัน หรือตัวกำหนดของกฎของคราเมอร์ ทำงานกับเศษส่วนแน่นอน และรู้จำระบบที่ไม่มีคำตอบหรือมีคำตอบมากมายไม่จำกัด ซึ่งเขียนด้วยพารามิเตอร์

เฉลยทีละขั้นตอน

ระบบสมการ

2x + y − z = 8
−3x − y + 2z = −11
−2x + y + 2z = −3

เมทริกซ์แต่งเติม

[ 2   1   −1  │  8 ]
[ −3   −1   2  │  −11 ]
[ −2   1   2  │  −3 ]

เสา 1 (x): ตัวหลัก (pivot) ในแถว 1

R1 → (1/2)·R1
R2 → R2 + 3·R1
R3 → R3 + 2·R1
[ 1   1/2   −1/2  │  4 ]
[ 0   1/2   1/2  │  1 ]
[ 0   2   1  │  5 ]

เสา 2 (y): ตัวหลัก (pivot) ในแถว 2

R2 → 2·R2
R1 → R1 − (1/2)·R2
R3 → R3 − 2·R2
[ 1   0   −1  │  3 ]
[ 0   1   1  │  2 ]
[ 0   0   −1  │  1 ]

เสา 3 (z): ตัวหลัก (pivot) ในแถว 3

R3 → (−1)·R3
R1 → R1 + R3
R2 → R2 − R3
[ 1   0   0  │  2 ]
[ 0   1   0  │  3 ]
[ 0   0   1  │  −1 ]

อ่านคำตอบ

x = 2
y = 3
z = −1

ตรวจสอบในสมการเดิม

2·2 + 1·3 + (−1)·(−1) = 8 ✓
(−3)·2 + (−1)·3 + 2·(−1) = −11 ✓
(−2)·2 + 1·3 + 2·(−1) = −3 ✓

สูตรสำคัญ

ดีเทอร์มินันต์ 2×2
det = ad − bc
อินเวอร์สของ 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
กฎของคราเมอร์
xi = det(Ai)/det(A)

วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยการกำจัด

  1. เขียนระบบเป็นเมทริกซ์แต่งเติม: หนึ่งแถวต่อหนึ่งสมการ สัมประสิทธิ์ของ x, y และ z และด้านขวามือหลังเส้นคั่น
  2. เลือกตัวหลักในคอลัมน์แรก (ค่าที่ไม่เป็นศูนย์ ดีที่สุดคือ 1) และสลับขึ้นไปแถวแรกถ้าจำเป็น
  3. หารแถวตัวหลักด้วยตัวหลัก แล้วลบพหุคูณของมันออกจากแถวอื่นเพื่อให้ส่วนที่เหลือของคอลัมน์เป็นศูนย์
  4. ทำซ้ำสำหรับคอลัมน์ถัดไปและแถวถัดไปจนส่วนสัมประสิทธิ์อยู่ในรูปแถวแบบขั้นบันไดลดรูป
  5. อ่านคำตอบ แถว 0 = c ที่ c ≠ 0 หมายความว่าไม่มีคำตอบ คอลัมน์ที่ไม่มีตัวหลักหมายถึงตัวแปรอิสระและมีคำตอบมากมายไม่จำกัด
  6. ตรวจโดยแทนคำตอบลงในสมการเดิม

คำถามและคำตอบ

เมื่อใดฉันควรใช้กฎของคราเมอร์

สำหรับระบบขนาดเล็กที่ตัวกำหนดไม่เป็นศูนย์ โดยเฉพาะ 2×2 ตัวไม่ทราบค่าแต่ละตัวคืออัตราส่วนของตัวกำหนด: x = Dx/D สำหรับระบบที่ใหญ่กว่า หรือเมื่อ D = 0 การกำจัดเร็วกว่าและยังบอกด้วยว่าไม่มีคำตอบหรือมีคำตอบมากมาย

ฉันจะรู้ได้อย่างไรว่าระบบไม่มีคำตอบ

เมื่อการกำจัดให้แถวที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นศูนย์แต่ด้านขวามือไม่เป็นศูนย์ เช่น 0 = 3 ในเชิงเรขาคณิต เส้นตรงหรือระนาบไม่มีจุดร่วม เช่นเส้นตรงขนานสองเส้น

คำตอบมากมายไม่จำกัดหมายความว่าอย่างไร

สมการหนึ่งเป็นผลรวมเชิงเส้นของสมการอื่น จึงมีสมการอิสระน้อยกว่าตัวไม่ทราบค่า คำตอบเป็นเส้นตรงหรือระนาบ เขียนด้วยพารามิเตอร์ t: เช่น x = 2 − t, y = 1 + t, z = t

ฉันจะป้อนสมการอย่างไร

คั่นสมการด้วยเครื่องหมายอัฒภาค และเขียนสัมประสิทธิ์ไว้หน้าตัวแปรแต่ละตัว: 2x + 3y − z = 5; x − y = 1; 4y + z = 0 อนุญาตให้ใช้เศษส่วนอย่าง 1/2x และทศนิยม และตัวแปรอยู่ทั้งสองข้างได้

อันดับ (rank) คืออะไร

จำนวนตัวหลักหลังการกำจัด ซึ่งคือจำนวนสมการอิสระ ระบบจัตุรัสมีคำตอบเดียวก็ต่อเมื่ออันดับเท่ากับจำนวนตัวไม่ทราบค่า ซึ่งคือเมื่อตัวกำหนดไม่เป็นศูนย์

ลองทำเอง

เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอนวิธีแก้โจทย์เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ใบงาน เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ พร้อมเฉลย

ฝึกเมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

เครื่องคำนวณให้คำตอบ แต่ในการสอบคุณต้องมีวิธีทำ จึงควรฝึกกับโจทย์ใหม่ คำใบ้ และเฉลยละเอียด

ฝึก เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ ฟรีฝึก เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ เลยตัวอย่างวิธีทำ
</> ฝัง

ฟรีสำหรับครูและโรงเรียน: วางโค้ดนี้ในหน้ารายวิชา LMS หรือเว็บไซต์ของคุณ นักศึกษาใช้เครื่องคำนวณและวิธีทำทีละขั้นได้โดยไม่ต้องมีบัญชี

เครื่องคำนวณอื่น ๆ

เครื่องคำนวณคะแนนมาตรฐาน z และความน่าจะเป็นปกติเครื่องคำนวณช่วงความเชื่อมั่นเครื่องคำนวณขนาดตัวอย่างเครื่องคำนวณค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเครื่องคำนวณการถดถอยเชิงเส้นเครื่องคำนวณความเหมาะสมของไคสแควร์เครื่องคำนวณดีเทอร์มินันต์และอินเวอร์สของเมทริกซ์เครื่องคำนวณการแจกแจงปกติเครื่องคำนวณการแจกแจงทวินามเครื่องคำนวณการแจกแจงปัวซง