เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

แบบฝึกหัด เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: ดีเทอร์มินันต์ 2×2, 3×3 และผลคูณ, ค่าเฉพาะและระบบสมการ

โจทย์ฝึกฟรีง่าย
A =9−6−8−5

หาดีเทอร์มินันต์ det A ของเมทริกซ์ A ที่แสดง

A = [9 −6; −8 −5]

คำตอบที่แน่นอน: จำนวนเต็ม ไม่ต้องปัดเศษ

โจทย์ถัดไป →
ฝึก เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ ฟรีฝึก เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

  1. ง่ายดีเทอร์มินันต์ 2×2
  2. ปานกลาง3×3 และผลคูณ
  3. ยากค่าเฉพาะและระบบสมการ

สูตรสำคัญ

ดีเทอร์มินันต์ 2×2
det = ad − bc
อินเวอร์สของ 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
ผลิตภัณฑ์
(AB)ij = Σk AikBkj
ค่าเฉพาะ
det(A − λI) = 0
กฎของคราเมอร์
xi = det(Ai)/det(A)

เรียนรู้ เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ ตั้งแต่ต้น

1เมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ 2×2

เมทริกซ์ (matrix) คือตารางตัวเลขในแถวและหลัก เมทริกซ์ที่มี 2 แถวและ 3 หลักเรียกว่าเมทริกซ์ 2×3: แถวก่อน แล้วจึงหลัก

วิศวกรใช้เมทริกซ์เขียนหลายสมการพร้อมกัน ระบบ 2x + y = 5 และ x − y = 1 เก็บเป็นเมทริกซ์ [2 1; 1 −1] ของสัมประสิทธิ์

เมทริกซ์จัตุรัสมีตัวเลขพิเศษหนึ่งตัว คือดีเทอร์มิแนนต์ (determinant) เขียน det A สำหรับเมทริกซ์ 2×2 คือผลคูณของเส้นทแยงมุมหนึ่งลบผลคูณของอีกเส้น

abcdA =+ad−bc
det A = a·d − b·c

สำหรับ [3 1; 2 4] ดีเทอร์มิแนนต์คือ 3·4 − 1·2 = 10

ถ้า det A = 0 เมทริกซ์ไม่มีตัวผกผัน และระบบสมการไม่มีคำตอบเดียว

ตรวจสอบตนเอง ดีเทอร์มิแนนต์ของ [4 2; 3 5] เป็นเท่าใด (แถว 1 คือ 4 2 แถว 2 คือ 3 5)
  1. 14
  2. 26
  3. 9
  4. −14

คำตอบ: 14. a·d − b·c = 4·5 − 2·3 = 20 − 6 = 14 การบวกผลคูณทั้งสองได้ 26 และการใช้ bc − ad ได้ −14

2ดีเทอร์มิแนนต์ 3×3 และผลคูณ

สำหรับเมทริกซ์ 3×3 ให้กระจายตามแถวแรก แต่ละสมาชิกคูณด้วยไมเนอร์ (minor) ของมัน: ดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 ที่เหลือเมื่อขีดฆ่าแถวและหลักของสมาชิกนั้น

det A = a11·M11 − a12·M12 + a13·M13

เครื่องหมายเป็น + − + ตามแถวแรก รูปแบบเครื่องหมายนี้เป็นส่วนที่ลืมง่ายที่สุด

ผลคูณเมทริกซ์ AB สร้างจากแถวของ A และหลักของ B สมาชิกที่แถว i หลัก j คือแถว i ของ A คูณหลัก j ของ B: คูณเป็นคู่แล้วบวก

[1 2; 3 4] · [5; 6] = [1·5 + 2·6; 3·5 + 4·6] = [17; 39]

ผลคูณมีอยู่ก็ต่อเมื่อ A มีจำนวนหลักเท่ากับจำนวนแถวของ B โดยทั่วไป AB ไม่เท่ากับ BA

ตรวจสอบตนเอง A = [2 1; 0 3] และ B = [1 4; 2 1] สมาชิกที่แถว 1 หลัก 2 ของ AB เป็นเท่าใด
  1. 13
  2. 4
  3. 6
  4. 9

คำตอบ: 9. แถว 1 ของ A คือ (2, 1) และหลัก 2 ของ B คือ (4, 1): 2·4 + 1·1 = 9 การคูณเฉพาะสมาชิกที่ตรงกันได้ 1·4 = 4 และ 13 เป็นสมาชิกของ BA

3ค่าไอเกนและระบบสมการ

ค่าไอเกน (eigenvalue) λ ของ A คือจำนวนที่ทำให้ A·v = λ·v สำหรับเวกเตอร์ v ≠ 0 บางตัว เมทริกซ์เพียงยืดเวกเตอร์นั้น ไม่ได้หมุน

หาค่าไอเกนจากสมการลักษณะเฉพาะ (characteristic equation) ในที่นี้ I คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ [1 0; 0 1]

det(A − λI) = 0

สำหรับเมทริกซ์ 2×2 จะกลายเป็นสมการกำลังสอง สัมประสิทธิ์กลางคือร่องรอย (trace) a + d และค่าคงตัวคือ det A:

λ² − (a + d)·λ + (ad − bc) = 0

สำหรับ [4 1; 2 3]: λ² − 7λ + 10 = 0 ดังนั้น (λ − 2)(λ − 5) = 0 และค่าไอเกนคือ 2 และ 5

กฎของคราเมอร์ (Cramer’s rule) แก้ระบบด้วยดีเทอร์มิแนนต์ แทนหลัก i ของ A ด้วยด้านขวามือเพื่อได้ Ai แล้ว xi = det Ai / det A

สำหรับ 2x + y = 5 และ x − y = 1: det A = −3 และ det Ax = 5·(−1) − 1·1 = −6 ดังนั้น x = −6/−3 = 2

ตรวจสอบตนเอง ค่าไอเกนที่มากกว่าของ [2 1; 1 2] คือเท่าใด
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

คำตอบ: 3. λ² − 4λ + 3 = 0 ให้ (λ − 1)(λ − 3) = 0 ดังนั้นค่าไอเกนคือ 1 และ 3 ส่วน 4 คือร่องรอย ซึ่งเป็นผลบวกของค่าไอเกน ไม่ใช่ค่าใดค่าหนึ่ง

4วิธีทำทีละขั้น

  1. คัดลอกเมทริกซ์อย่างระมัดระวัง รวมเครื่องหมายลบทุกตัว
  2. ดีเทอร์มิแนนต์ 2×2: ad − bc
  3. ดีเทอร์มิแนนต์ 3×3: สำหรับแต่ละสมาชิกของแถวแรก ขีดฆ่าแถวและหลักของมัน แล้วหาไมเนอร์ 2×2
  4. รวมด้วยเครื่องหมาย + − +: a11M11 − a12M12 + a13M13
  5. ค่าไอเกน: เขียน λ² − (a + d)λ + det A = 0 แล้วแก้สมการกำลังสอง
  6. ตรวจสอบ: แถวที่เป็นศูนย์ทั้งหมด หรือสองแถวที่เท่ากัน ให้ det A = 0 เสมอ

เคล็ดลับ: กระจายตามแถวหรือหลักที่มีศูนย์มาก สมาชิกที่เป็นศูนย์ทุกตัวช่วยให้ไม่ต้องหาไมเนอร์หนึ่งตัว

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

จงหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 3×3 A = [2 1 0; 1 3 1; 0 2 4]

1

ไมเนอร์แรก

210131024A =

ขีดฆ่าแถว 1 และหลัก 1 ของสมาชิก 2 ที่เหลือคือ [3 1; 2 4]

M11 = 3·4 − 1·2 = 10
2

ไมเนอร์ที่สอง

210131024A =

ขีดฆ่าแถว 1 และหลัก 2 ของสมาชิก 1 ที่เหลือคือ [1 1; 0 4]

M12 = 1·4 − 1·0 = 4
3

ไมเนอร์ที่สาม

สมาชิก a13 เป็น 0 พจน์ของมันจึงเป็น 0 ไม่ว่าไมเนอร์จะเป็นเท่าใด ข้ามได้

4

รวมด้วย + − +

det A = 2·10 − 1·4 + 0 = 20 − 4 = 16
5

ตรวจสอบคำตอบ

สำหรับเมทริกซ์ 3×3 กฎของซาร์รัส (rule of Sarrus) ให้ค่าเดียวกัน: ผลคูณเส้นทแยง “ลง” สามเส้นลบผลคูณเส้นทแยง “ขึ้น” สามเส้น

(2·3·4 + 1·1·0 + 0·1·2) − (0·3·0 + 2·1·2 + 1·1·4) = 24 − 8 = 16
คำตอบ

det A = 16

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • ลืมเครื่องหมายลบของพจน์กลางในการกระจาย 3×3
  • คำนวณ bc − ad แทน ad − bc
  • เครื่องหมายลบหายเมื่อสมาชิกเป็นลบ: −2 · −3 คือ +6
  • คูณเมทริกซ์ทีละสมาชิกแทนแถวคูณหลัก
  • ใช้ร่องรอยหรือสมาชิกบนเส้นทแยงมุมเป็นค่าไอเกนแทนการแก้สมการลักษณะเฉพาะ
ตรวจสอบตนเอง ดีเทอร์มิแนนต์ของ [1 2 0; 3 1 0; 0 0 2] เป็นเท่าใด
  1. 10
  2. 14
  3. −10
  4. −14

คำตอบ: −10. det = 1·(1·2 − 0) − 2·(3·2 − 0) + 0 = 2 − 12 = −10 การใช้ + สำหรับพจน์กลางได้ 2 + 12 = 14 ซึ่งเป็นความผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุด

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

  • ง่าย: ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 2×2 มักมีสมาชิกเป็นลบ ใช้ ad − bc
  • ปานกลาง: ดีเทอร์มิแนนต์ 3×3 หรือผลคูณเมทริกซ์ กระจายตามแถวแรกด้วย + − +
  • ยาก: ค่าไอเกนของเมทริกซ์ 2×2 หรือตัวไม่ทราบค่าหนึ่งตัวของระบบ 2×2 ด้วยกฎของคราเมอร์

ตรวจค่าไอเกนอย่างรวดเร็ว: ผลบวกต้องเท่ากับร่องรอย a + d และผลคูณต้องเท่ากับ det A

เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย
A =1−8−10

หาดีเทอร์มินันต์ det A ของเมทริกซ์ A ที่แสดง

A = [1 −8; −1 0]

จงหา det A

แสดงคำใบ้
  1. สำหรับเมทริกซ์ 2×2 det = ad − bc
  2. a และ d อยู่บนเส้นทแยงมุมหลัก b และ c อยู่บนเส้นทแยงมุมอีกเส้น
  3. ad = 0.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

เมทริกซ์: ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 คือ ad − bc สำหรับ 3×3 ให้กระจายตามแถว: แต่ละสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 ที่เหลือหลังตัดแถวและหลักของมันออก โดยเครื่องหมายสลับ + − + ค่าเฉพาะ λ เป็นคำตอบของ det(A − λI) = 0 สำหรับ 2×2 คือ λ² − (trace)·λ + det = 0

ผลคูณตามเส้นทแยงมุม

ad − bc = 1·0 − (−8)·(−1) = 0 − 8 = −8

คำตอบ

det A = −8
ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง
A =−153−5−1−3−513

หาดีเทอร์มินันต์ det A ของเมทริกซ์ 3×3 A ที่แสดง

A = [−1 5 3; −5 −1 −3; −5 1 3]

จงหา det A

แสดงคำใบ้
  1. กระจายตามแถวแรกด้วยเครื่องหมาย + − +
  2. แต่ละพจน์คือสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ 2×2 ที่เหลือเมื่อขีดฆ่าแถวและหลักของมัน
  3. ไมเนอร์: 0, −30, −10.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

เมทริกซ์: ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 คือ ad − bc สำหรับ 3×3 ให้กระจายตามแถว: แต่ละสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 ที่เหลือหลังตัดแถวและหลักของมันออก โดยเครื่องหมายสลับ + − + ค่าเฉพาะ λ เป็นคำตอบของ det(A − λI) = 0 สำหรับ 2×2 คือ λ² − (trace)·λ + det = 0

ไมเนอร์ 2×2 ของแถวแรก

M₁₁ = 0, M₁₂ = −30, M₁₃ = −10

การกระจายโคแฟกเตอร์

det A = (−1)·0 − 5·(−30) + 3·(−10) = 120

คำตอบ

det A = 120
ตัวอย่างที่ 3ยาก
A =−3−5−2−4b =19

แก้ระบบสมการ −3x − 5y = 1 และ −2x − 4y = 9 หา x

−3x − 5y = 1−2x − 4y = 9

จงหา x

แสดงคำใบ้
  1. กฎของคราเมอร์: x = det(Aₓ)/det(A) โดย Aₓ คือเมทริกซ์ที่แทนหลักแรกด้วยด้านขวาของสมการ
  2. det A = 2.
  3. det Aₓ = 41.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

เมทริกซ์: ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 คือ ad − bc สำหรับ 3×3 ให้กระจายตามแถว: แต่ละสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 ที่เหลือหลังตัดแถวและหลักของมันออก โดยเครื่องหมายสลับ + − + ค่าเฉพาะ λ เป็นคำตอบของ det(A − λI) = 0 สำหรับ 2×2 คือ λ² − (trace)·λ + det = 0

ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์

det A = (−3)·(−4) − (−5)·(−2) = 2

แทนหลัก x

det Aₓ = 1·(−4) − (−5)·9 = 41
x = 41/2 = 20.5

คำตอบ

x = 20.5
y = −12.5

คำถามและคำตอบ

เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ คืออะไร

วิศวกรใช้เมทริกซ์เขียนหลายสมการพร้อมกัน ระบบ 2x + y = 5 และ x − y = 1 เก็บเป็นเมทริกซ์ [2 1; 1 −1] ของสัมประสิทธิ์

เมทริกซ์จัตุรัสมีตัวเลขพิเศษหนึ่งตัว คือดีเทอร์มิแนนต์ (determinant) เขียน det A สำหรับเมทริกซ์ 2×2 คือผลคูณของเส้นทแยงมุมหนึ่งลบผลคูณของอีกเส้น

จะแก้โจทย์ เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ ทีละขั้นได้อย่างไร

เมทริกซ์: ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 คือ ad − bc สำหรับ 3×3 ให้กระจายตามแถว: แต่ละสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 ที่เหลือหลังตัดแถวและหลักของมันออก โดยเครื่องหมายสลับ + − + ค่าเฉพาะ λ เป็นคำตอบของ det(A − λI) = 0 สำหรับ 2×2 คือ λ² − (trace)·λ + det = 0

แบบฝึกหัด เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง
  • ง่าย: ดีเทอร์มินันต์ 2×2
  • ปานกลาง: 3×3 และผลคูณ
  • ยาก: ค่าเฉพาะและระบบสมการ

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

  • โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
  • ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
  • ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณดีเทอร์มินันต์และอินเวอร์สของเมทริกซ์เครื่องคำนวณค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะเครื่องแก้ระบบสมการเชิงเส้น (2×2 และ 3×3)

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

คณิตศาสตร์วิศวกรรมคณิตศาสตร์วิศวกรรม 2วิธีเชิงตัวเลข

หัวข้ออื่นในคณิตศาสตร์และสถิติ

ลิมิตอนุพันธ์การหาค่าเหมาะที่สุดอินทิกรัลลำดับและอนุกรมแคลคูลัสหลายตัวแปรสมการเชิงอนุพันธ์จำนวนเชิงซ้อนวิธีเชิงตัวเลขเวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันทฤษฎีกราฟทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ความน่าจะเป็นสถิติเชิงพรรณนาการแจกแจงปกติช่วงความเชื่อมั่นการทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นการถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์การทดสอบไคสแควร์

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ พร้อมเฉลย
ฝึก เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ ฟรีฝึก เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร