การแจกแจงปกติ: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

แบบฝึกหัด การแจกแจงปกติ ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: พื้นที่ในหางด้านเดียว, พื้นที่ระหว่างสองค่า, เปอร์เซ็นไทล์

โจทย์ฝึกฟรีง่าย
μ = 6567.5P = ?

คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 65 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน สัดส่วนที่สูงกว่า 67.5 คะแนน เป็นเท่าใด หา P(X > x) เป็นทศนิยม

μ = 65σ = 10x = 67.5
โจทย์ถัดไป →
ฝึก การแจกแจงปกติ ฟรีฝึก การแจกแจงปกติ เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

  1. ง่ายพื้นที่ในหางด้านเดียว
  2. ปานกลางพื้นที่ระหว่างสองค่า
  3. ยากเปอร์เซ็นไทล์

วิธีแก้โจทย์การแจกแจงปกติ

  1. แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
  2. ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
  3. สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
  4. สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • อ่านตารางผิดหาง
  • ลืมหารด้วย σ
  • ใช้เครื่องหมายของ z กลับด้านสำหรับเปอร์เซ็นไทล์ที่ต่ำกว่า 50%

สูตรสำคัญ

คะแนนมาตรฐาน z
z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x
P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง
Φ(z2) − Φ(z1)
เปอร์เซ็นไทล์
x = μ + z·σ

เรียนรู้ การแจกแจงปกติ ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: สถิติเชิงพรรณนา

1โค้งระฆังคว่ำ

ปริมาณจำนวนมาก เช่น ส่วนสูง คะแนน IQ หรือน้ำหนักของห่อที่เครื่องผลิต เป็นไปตามการแจกแจงปกติ ค่าส่วนใหญ่อยู่ใกล้กลาง และค่าที่ห่างไกลพบได้น้อย

กราฟเป็นระฆังคว่ำที่สมมาตร มีตัวเลขสองค่า: ค่าเฉลี่ย μ ซึ่งเป็นตำแหน่งยอด และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ซึ่งกำหนดความกว้าง

7085100μ115130

แนวคิดหลัก: ความน่าจะเป็นคือพื้นที่ใต้เส้นโค้ง พื้นที่รวมเท่ากับ 1 ครึ่งซ้ายที่แรเงามีพื้นที่ 0.5 ดังนั้นครึ่งหนึ่งของค่าทั้งหมดอยู่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ย

ประมาณ 68% ของค่าอยู่ภายใน σ หนึ่งหน่วยจากค่าเฉลี่ย และประมาณ 95% อยู่ภายในสองหน่วย σ

ตรวจสอบตนเอง ห่อสินค้ามีน้ำหนักแจกแจงปกติที่ค่าเฉลี่ย 500 g สัดส่วนของห่อที่หนักน้อยกว่า 500 g เป็นเท่าใด
  1. 0.5
  2. 0.68
  3. 0.95
  4. ขึ้นกับ σ

คำตอบ: 0.5. เส้นโค้งสมมาตรรอบค่าเฉลี่ย ดังนั้นครึ่งหนึ่งของพื้นที่พอดีอยู่ต่ำกว่า μ ไม่ว่า σ จะเป็นเท่าใด ส่วน 0.68 คือพื้นที่ภายในหนึ่ง σ ทั้งสองข้าง

2คะแนน z และตาราง

การแจกแจงปกติทุกแบบกลายเป็นเส้นโค้งปกติมาตรฐานเดียวกัน (ค่าเฉลี่ย 0, σ = 1) เมื่อคุณแปลงค่า x เป็นคะแนน z:

z = (x − μ) / σ

ตารางให้ค่า Φ(z): พื้นที่ทางซ้ายของ z ตัวอย่างเช่น Φ(1.2) = 0.8849 ดังนั้น 88.49% ของค่าอยู่ต่ำกว่า z = 1.2

  • ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
  • สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z) เพราะพื้นที่รวมเท่ากับ 1
  • สำหรับ z ลบ: Φ(−z) = 1 − Φ(z) โดยสมมาตร ดังนั้น Φ(−1.2) = 0.1151

ค่าที่คุณจะพบบ่อย: Φ(1) = 0.8413, Φ(1.5) = 0.9332, Φ(2) = 0.9772

ตรวจสอบตนเอง Φ(1.2) = 0.8849 P(Z > 1.2) เป็นเท่าใด
  1. 0.1151
  2. 0.3849
  3. 0.8849
  4. 1.2

คำตอบ: 0.1151. ตารางให้พื้นที่ทางซ้าย พื้นที่ทางขวาคือ 1 − 0.8849 = 0.1151 การใช้ 0.8849 โดยตรงคืออ่านหางผิดข้าง

3ระหว่างสองค่าและเปอร์เซ็นไทล์

สำหรับพื้นที่ระหว่างสองค่า ให้ลบพื้นที่ทางซ้ายทั้งสอง: ทุกอย่างที่ต่ำกว่าค่าบน ลบด้วยทุกอย่างที่ต่ำกว่าค่าล่าง

P(x₁ < X < x₂) = Φ(z₂) − Φ(z₁)

เปอร์เซ็นไทล์ทำงานย้อนกลับ เปอร์เซ็นไทล์ที่ 90 คือค่าที่มีพื้นที่ 90% อยู่ทางซ้ายของมัน

  • หา z ที่ Φ(z) เท่ากับพื้นที่ สำหรับ 90% z = 1.2816 สำหรับ 80% z = 0.8416
  • แปลงกลับเป็น x: x = μ + z · σ

สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ที่ต่ำกว่า 50% z เป็นลบ เปอร์เซ็นไทล์ที่ 10 มี z = −1.2816

ตรวจสอบตนเอง คะแนน IQ แจกแจงปกติที่ μ = 100 และ σ = 15 ค่า z ของเปอร์เซ็นไทล์ที่ 80 คือ 0.8416 เปอร์เซ็นไทล์ที่ 80 เป็นเท่าใด
  1. 100.8
  2. 112.6
  3. 115
  4. 87.4

คำตอบ: 112.6. x = 100 + 0.8416 · 15 = 112.6 การใช้เครื่องหมายลบให้ 87.4 ซึ่งเป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 20 ส่วน 100.8 ลืมคูณด้วย σ

4วิธีทำทีละขั้น

  1. ร่างโค้งระฆังคว่ำ ทำเครื่องหมาย μ และค่า แล้วแรเงาพื้นที่ที่ถาม
  2. แปลงแต่ละค่าเป็นคะแนน z: z = (x − μ)/σ
  3. ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้าย
  4. ต่ำกว่า: Φ(z) สูงกว่า: 1 − Φ(z) ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
  5. สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ย้อนกลับ: พื้นที่ → z → x = μ + zσ
  6. เปรียบเทียบกับภาพร่างของคุณ: พื้นที่แรเงาที่น้อยกว่าครึ่งต้องให้ตัวเลขต่ำกว่า 0.5

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

คะแนน IQ แจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 100 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 15 สัดส่วน P ที่อยู่ระหว่าง 91 และ 121 เป็นเท่าใด

1

ร่างพื้นที่

91x₁100121x₂

พื้นที่แรเงาครอบคลุมตรงกลางและด้านขวามากกว่า คาดว่าจะได้ตัวเลขที่มากกว่า 0.5 เล็กน้อย

2

คะแนน z ล่าง

z₁ = (91 − 100) / 15 = −9/15 = −0.6
3

คะแนน z บน

z₂ = (121 − 100) / 15 = 21/15 = 1.4
4

หาพื้นที่ทั้งสอง

Φ(1.4) = 0.9192
Φ(−0.6) = 1 − Φ(0.6) = 1 − 0.7257 = 0.2743
5

ลบ

P = 0.9192 − 0.2743 = 0.6449

ค่านี้มากกว่า 0.5 เล็กน้อย ตามที่ภาพร่างทำนายไว้

คำตอบ

P ≈ 0.645: ประมาณ 64.5% ของคะแนนอยู่ระหว่าง 91 และ 121

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • อ่านหางผิดข้าง: ใช้ Φ(z) ทั้งที่โจทย์ถามพื้นที่เหนือ x
  • ลืมหารด้วย σ ในคะแนน z
  • บวกพื้นที่ทางซ้ายทั้งสองสำหรับช่วงแทนที่จะลบ
  • ใช้เครื่องหมายของ z ผิดสำหรับเปอร์เซ็นไทล์ที่ต่ำกว่า 50%
  • สับสนระหว่าง σ กับความแปรปรวน σ² ให้หารด้วย σ ซึ่งเป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ตรวจสอบตนเอง คะแนนสอบแจกแจงปกติที่ μ = 65 และ σ = 10 Φ(−1.5) = 0.0668 สัดส่วนที่ได้คะแนนสูงกว่า 50 เป็นเท่าใด
  1. 0.0668
  2. 0.4332
  3. 0.5668
  4. 0.9332

คำตอบ: 0.9332. z = (50 − 65)/10 = −1.5 และ P(X > 50) = 1 − Φ(−1.5) = 0.9332 ส่วน 0.0668 คือพื้นที่ต่ำกว่า 50 ซึ่งเป็นหางผิดข้าง นักเรียนส่วนใหญ่ได้คะแนนสูงกว่า 50 คำตอบจึงต้องมีค่ามาก

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

  • ง่าย: พื้นที่ในหางเดียว หา P(X < x) หรือ P(X > x) ด้วยคะแนน z หนึ่งค่า
  • ปานกลาง: พื้นที่ระหว่างสองค่า Φ(z₂) − Φ(z₁) ตามตัวอย่าง
  • ยาก: เปอร์เซ็นไทล์ หาค่าที่ข้อมูล 80% หรือ 90% อยู่ต่ำกว่า

ร่างภาพก่อนเสมอ ภาพร่างสิบวินาทีช่วยจับข้อผิดพลาดเรื่องหางได้เกือบทั้งหมด

เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย
μ = 3236.8P = ?

เวลาจัดส่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 32 min และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 6 min สัดส่วนที่สูงกว่า 36.8 min เป็นเท่าใด หา P(X > x) เป็นทศนิยม

μ = 32σ = 6x = 36.8

จงหา P(X > x)

แสดงคำใบ้
  1. แปลงเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
  2. z = (36.8 − 32)/6 = 0.8.
  3. พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z)
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

คะแนนมาตรฐาน z

z = (36.8 − 32)/6 = 0.8

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(0.8) = 1 − 0.7881 = 0.2119

คำตอบ

P = 0.2119

นั่นคือ 21.19%

ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง
750 g769.7 gX + Y?

X มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 250 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 4 g Y เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 500 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 9 g จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X + Y มากกว่า 769.7 g ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 769.7 g

จงหา P

แสดงคำใบ้
  1. E(X + Y) = 250 + 500 = 750 g.
  2. σ = √(4² + 9²) = 9.849 g.
  3. z = (769.7 − 750)/9.849.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μX ± μY ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σX² + σY² ดังนั้น σ = √(σX² + σY²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลรวม

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (769.7 − 750)/9.849 = 2

หางด้านบน

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9772 = 0.02275

คำตอบ

P = 0.02275
ตัวอย่างที่ 3ยาก
μ = 178x = ?20%

ส่วนสูงของผู้ชายวัยผู้ใหญ่มีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 178 cm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 7 cm หาค่า x ที่ต่ำกว่าค่านั้นมี 20% (เปอร์เซ็นไทล์ที่ 20)

μ = 178σ = 7P = 20%

จงหา x (cm)

แสดงคำใบ้
  1. ทำย้อนกลับ: หา z ที่ Φ(z) = P/100 จากตาราง
  2. z = −0.8416.
  3. จากนั้น x = μ + z·σ
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

z สำหรับเปอร์เซ็นไทล์

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

กลับไปเป็น x

x = 178 + −0.8416·7 = 172.11 cm

คำตอบ

x = 172.11 cm

คำถามและคำตอบ

การแจกแจงปกติ คืออะไร

ปริมาณจำนวนมาก เช่น ส่วนสูง คะแนน IQ หรือน้ำหนักของห่อที่เครื่องผลิต เป็นไปตามการแจกแจงปกติ ค่าส่วนใหญ่อยู่ใกล้กลาง และค่าที่ห่างไกลพบได้น้อย

กราฟเป็นระฆังคว่ำที่สมมาตร มีตัวเลขสองค่า: ค่าเฉลี่ย μ ซึ่งเป็นตำแหน่งยอด และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ซึ่งกำหนดความกว้าง

จะแก้โจทย์ การแจกแจงปกติ ทีละขั้นได้อย่างไร
  1. แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
  2. ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
  3. สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
  4. สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน การแจกแจงปกติ มีอะไรบ้าง
  • อ่านตารางผิดหาง
  • ลืมหารด้วย σ
  • ใช้เครื่องหมายของ z กลับด้านสำหรับเปอร์เซ็นไทล์ที่ต่ำกว่า 50%
แบบฝึกหัด การแจกแจงปกติ ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง
  • ง่าย: พื้นที่ในหางด้านเดียว
  • ปานกลาง: พื้นที่ระหว่างสองค่า
  • ยาก: เปอร์เซ็นไทล์

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

  • โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
  • ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
  • ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

สถิติเชิงพรรณนา

เรียนต่อด้วย

ช่วงความเชื่อมั่น

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณคะแนนมาตรฐาน z และความน่าจะเป็นปกติเครื่องคำนวณการแจกแจงปกติ

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

ระเบียบวิธีวิจัยและสถิติสำหรับจิตวิทยาสถิติเบื้องต้นคณิตศาสตร์วิศวกรรมสถิติ 2: การอนุมานเชิงสถิติฝึกข้อสอบ FE โยธาโจทย์ฝึก AP Statisticsฝึก CFA Level I วิธีเชิงปริมาณและตราสารหนี้

หัวข้ออื่นในคณิตศาสตร์และสถิติ

ลิมิตอนุพันธ์การหาค่าเหมาะที่สุดอินทิกรัลลำดับและอนุกรมแคลคูลัสหลายตัวแปรสมการเชิงอนุพันธ์จำนวนเชิงซ้อนวิธีเชิงตัวเลขเมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันทฤษฎีกราฟทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ความน่าจะเป็นสถิติเชิงพรรณนาช่วงความเชื่อมั่นการทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นการถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์การทดสอบไคสแควร์

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน การแจกแจงปกติ พร้อมเฉลย
ฝึก การแจกแจงปกติ ฟรีฝึก การแจกแจงปกติ เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร