ลิมิต: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

Q: ลิมิต คืออะไร

ลิมิต (limit) อธิบายค่าที่ฟังก์ชันเข้าใกล้เมื่อ x เข้าใกล้จำนวนหนึ่ง ไม่สำคัญว่าที่จำนวนนั้นพอดีเกิดอะไรขึ้น ลองดู f(x) = (x² − 1)/(x − 1) ที่ x = 1 จะได้ 0/0 ซึ่งไม่มีค่า แต่คุณลองตัวเลขที่ใกล้ 1 ได้

Q: จะแก้โจทย์ ลิมิต ทีละขั้นได้อย่างไร

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

Q: แบบฝึกหัด ลิมิต ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง

ง่าย: การแทนค่าโดยตรงและการแยกตัวประกอบ ปานกลาง: ลิมิตที่อนันต์ ยาก: กฎของโลปีตาล โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

แบบฝึกหัด ลิมิต ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: การแทนค่าโดยตรงและการแยกตัวประกอบ, ลิมิตที่อนันต์, กฎของโลปีตาล

โจทย์ฝึกฟรีง่าย

หาลิมิต L = lim_x→9 (√x − 3)/(x − 9)

f(x) = (√x − 3)/(x − 9)x → 9

โจทย์ถัดไป →

ฝึก ลิมิต ฟรี ฝึก ลิมิต เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

ง่ายการแทนค่าโดยตรงและการแยกตัวประกอบ
ปานกลางลิมิตที่อนันต์
ยากกฎของโลปีตาล

สูตรสำคัญ

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

เรียนรู้ ลิมิต ตั้งแต่ต้น

1ลิมิตคืออะไร

ลิมิต (limit) อธิบายค่าที่ฟังก์ชันเข้าใกล้เมื่อ x เข้าใกล้จำนวนหนึ่ง ไม่สำคัญว่าที่จำนวนนั้นพอดีเกิดอะไรขึ้น

ลองดู f(x) = (x² − 1)/(x − 1) ที่ x = 1 จะได้ 0/0 ซึ่งไม่มีค่า แต่คุณลองตัวเลขที่ใกล้ 1 ได้

x = 0.9 ให้ f = 1.9
x = 0.99 ให้ f = 1.99
x = 1.01 ให้ f = 2.01

ค่าเข้าใกล้ 2 มากขึ้นเรื่อย ๆ เขียนได้ว่า:

lim_x→1 (x² − 1)/(x − 1) = 2

กราฟเป็นเส้นตรงที่ขาดไปหนึ่งจุด คือรูที่ (1, 2) ลิมิตคือความสูงของรู

ตรวจสอบตนเอง ฟังก์ชัน g ให้ g(2.9) = 5.9, g(2.99) = 5.99 และ g(3.01) = 6.01 มันไม่นิยามที่ x = 3 ลิมิตเมื่อ x → 3 เป็นเท่าใด

3
5.99
6
ไม่มี เพราะ g(3) ไม่นิยาม

คำตอบ: 6. ค่าเข้าใกล้ 6 จากทั้งสองข้าง ลิมิตจึงเป็น 6 ลิมิตดูเฉพาะค่าใกล้ x = 3 ไม่เคยดูที่ x = 3 เอง

2การแทนค่า 0/0 และการแยกตัวประกอบ

ลองแทนค่าโดยตรงก่อนเสมอ: ใส่ตัวเลขลงไป ถ้าได้จำนวนปกติ นั่นคือลิมิต

lim_x→2 (x² + 3x) = 4 + 6 = 10

ถ้าได้ 0/0 ยังไม่จบ 0/0 เรียกว่ารูปแบบยังไม่กำหนด (indeterminate form): เป็นสัญญาณให้จัดรูปให้ง่ายขึ้น ไม่ใช่คำตอบ

โดยปกติตัวเศษและตัวส่วนมีตัวประกอบร่วมที่เป็นศูนย์ที่จุดนั้น แยกตัวประกอบทั้งสอง ตัดตัวประกอบร่วม แล้วแทนค่าอีกครั้ง

(x² − 9)/(x − 3) = (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3

ดังนั้นลิมิตเมื่อ x → 3 คือ 3 + 3 = 6 รูปแบบตัวประกอบที่มีประโยชน์:

x² − a² = (x − a)(x + a)
x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²)
x³ + a³ = (x + a)(x² − ax + a²)
พหุนามกำลังสอง เช่น x² − x − 30 แยกเป็น (x − 6)(x + 5): หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ −30 และบวกกันได้ −1

เมื่อมีรากที่สอง ให้คูณเศษและส่วนด้วยสังยุค (conjugate): (√x − 2)(√x + 2) = x − 4

ตรวจสอบตนเอง lim_x→2 (x² − 4)/(x − 2) เท่ากับเท่าใด

0
2
4
ไม่มี เพราะได้ 0/0

คำตอบ: 4. การแทนค่าได้ 0/0 จึงแยกตัวประกอบ: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2 ซึ่งเป็น 4 ที่ x = 2 การหยุดที่ 0/0 คือความผิดพลาดเบื้องหลัง “ไม่มี”

3ลิมิตที่อนันต์และกฎของลอปิตาล

x → ∞ หมายถึง x เพิ่มไม่สิ้นสุด สำหรับเศษส่วนของพหุนาม เมื่อ x ใหญ่มาก เฉพาะกำลังสูงสุดเท่านั้นที่สำคัญ

หารทุกพจน์ด้วยกำลังสูงสุดของ x ในตัวส่วน พจน์อย่าง 4/x และ 7/x² เข้าสู่ 0

(6x² + x)/(3x² − 5) = (6 + 1/x)/(3 − 5/x²) → 6/3 = 2

กำลังสูงสุดเท่ากันทั้งเศษและส่วน: ลิมิตคืออัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
กำลังที่สูงกว่าอยู่ที่ตัวส่วน: ลิมิตคือ 0
กำลังที่สูงกว่าอยู่ที่เศษ: เศษส่วนเพิ่มไม่สิ้นสุด จึงไม่มีลิมิตจำกัด

สำหรับ √(x² + 6x) − x ให้คูณด้วยสังยุค จะได้ 6x/(√(x² + 6x) + x) ซึ่งเข้าสู่ 6/(1 + 1) = 3

กฎของลอปิตาล (L’Hôpital’s rule): ถ้าการแทนค่าได้ 0/0 หรือ ∞/∞ คุณแทนเศษและส่วนด้วยอนุพันธ์ของแต่ละตัวได้ โดยหาแยกกัน

lim_x→0 (eˣ − 1)/x = lim_x→0 eˣ/1 = 1

ถ้าได้ 0/0 อีก ให้ใช้กฎอีกครั้ง ลิมิตตรีโกณมิติใช้ x เป็นเรเดียนเสมอ

ตรวจสอบตนเอง lim_x→∞ (4x² + 1)/(2x² + 3x) เท่ากับเท่าใด

คำตอบ: 2. กำลังสูงสุดเท่ากัน (x²) ลิมิตจึงเป็นอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ: 4/2 = 2 ส่วน ½ มาจากการหารกลับด้าน

4วิธีทำทีละขั้น

แทนตัวเลข จำนวนปกติคือคำตอบ
ถ้าได้ 0/0 ให้แยกตัวประกอบเศษและส่วน หรือคูณด้วยสังยุคถ้ามีราก
ตัดตัวประกอบร่วมแล้วแทนค่าอีกครั้ง
ถ้า x → ∞ ให้หารทุกพจน์ด้วยกำลังสูงสุดของ x และให้พจน์อย่าง a/x เข้าสู่ 0
ถ้าแยกตัวประกอบไม่ได้ (eˣ, sin, cos, ln) ให้ใช้กฎของลอปิตาลกับรูป 0/0 หรือ ∞/∞
ตรวจด้วยตัวเลขที่ใกล้จุดมาก เช่น x = 1.001

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

จงหา L = lim_x→−2 (x³ + 8)/(x + 2)

ลองแทนค่า

((−2)³ + 8)/(−2 + 2) = (−8 + 8)/0 = 0/0

นี่คือรูปแบบยังไม่กำหนด 0/0 จึงต้องจัดรูปให้ง่ายก่อน

แยกตัวประกอบเศษ

8 = 2³ เศษจึงเป็นผลบวกของกำลังสาม โดย a = 2

x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4)

ตัดตัวประกอบร่วม

(x + 2)(x² − 2x + 4)/(x + 2) = x² − 2x + 4

ทำได้เพราะ x เพียงเข้าใกล้ −2 ดังนั้น x + 2 จึงไม่เคยเป็น 0 พอดี

แทนค่าอีกครั้ง

(−2)² − 2·(−2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12

ตรวจสอบคำตอบ

ลอง x = −1.99: (−7.880599 + 8)/0.01 = 11.94 ซึ่งใกล้ 12

กราฟเป็นพาราโบลา x² − 2x + 4 ที่มีรูที่ (−2, 12)

คำตอบ

L = 12

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

เขียน 0/0 เป็นคำตอบ หรือบอกว่าลิมิตไม่มี 0/0 หมายความว่า: ให้จัดรูปให้ง่ายก่อน
ใช้กฎของลอปิตาลเมื่อการแทนค่าไม่ได้ 0/0 หรือ ∞/∞
ใช้กฎการหารในกฎของลอปิตาล ให้หาอนุพันธ์ของเศษและส่วนแยกกัน
ที่อนันต์ เปรียบเทียบพจน์แรกที่เขียนไว้แทนกำลังสูงสุด
ใช้องศาแทนเรเดียนในลิมิตที่มี sin หรือ cos

ตรวจสอบตนเอง lim_x→1 (x² + 1)/(x + 1) เท่ากับเท่าใด

0
1
2
ไม่มี

คำตอบ: 1. การแทนค่าได้ 2/2 = 1 ซึ่งเป็นจำนวนปกติ นั่นคือลิมิต การใช้กฎของลอปิตาลที่นี่ (2x/1 = 2) ผิด เพราะรูปแบบไม่ใช่ 0/0

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

ง่าย: การแทนค่าโดยตรงและการแยกตัวประกอบ การแทนค่าได้ 0/0 แล้วแยกตัวประกอบและตัดกัน เหมือนในตัวอย่าง
ปานกลาง: ลิมิตที่อนันต์ หารด้วยกำลังสูงสุด หรือใช้สังยุคสำหรับรากอย่าง √(x² + 4x) − x
ยาก: กฎของลอปิตาล เช่น (eˣ − 1 − x)/x² หรือ (1 − cos 3x)/x² เมื่อ x → 0 อาจต้องใช้กฎสองครั้ง

ตรวจอย่างรวดเร็ว: ใส่ตัวเลขที่ใกล้จุดมากด้วยเครื่องคิดเลข ผลลัพธ์ควรใกล้คำตอบของคุณ

เรียนรู้ทีละขั้นในแอป เรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย

หาลิมิต L = lim_x→1 (x⁴ − 1)/(x − 1)

f(x) = (x⁴ − 1)/(x − 1)x → 1

จงหา L

แสดงคำใบ้

การแทนค่าให้ 0/0 แยกตัวประกอบตัวเศษ
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
x⁴ − 1 = (x − 1)(x³ + x² + x + 1).

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

ลองแทนค่าโดยตรง

ตัวเศษ → 0 และตัวส่วน → 0 ดังนั้นรูปแบบคือ 0/0

แยกตัวประกอบและตัดกัน

(x⁴ − 1)/(x − 1) = x³ + x² + x + 1

แทนค่า

L = 1·1³ + 1·1² + 1·1 + 1·1 = 4

คำตอบ

L = 4

นี่คืออนุพันธ์ของ xⁿ ที่ x = a: n·aⁿ⁻¹

ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (1 + 1/x)^x ตอบเป็นค่าทศนิยม

f(x) = (1 + 1/x)^xx → ∞

จงหา L

แสดงคำใบ้

รูปแบบคือ 1^∞ เขียน L = e^(ln L) แล้วหา ln L
ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 1/x).
เมื่อ u มีค่าน้อย ln(1 + u) ≈ u ในที่นี้ u = 1/x

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

หาลอการิทึม

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 1/x)

คำนวณค่า

ln(1 + u)/u → 1 เมื่อ u → 0 ดังนั้น x·ln(1 + a/x) → a

ln L = 1·1 = 1

ย้อนกลับลอการิทึม

L = e¹ = 2.718

คำตอบ

L = 2.718

ตัวอย่างที่ 3ยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(3x) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(3x)x → 0

จงหา L

แสดงคำใบ้

ที่ x = 0: ln 1 = 0 และ sin 0 = 0 จึงอยู่ในรูป 0/0
(ln(1 + 2x))′ = 2/(1 + 2x), (sin 3x)′ = 3·cos 3x.
แทนค่า x = 0 ใน f′/g′

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

กฎของโลปีตาล

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[3·cos 3x]

แทนค่า x = 0

L = 2/3 = 0.6667

คำตอบ

L = 0.6667

คำถามและคำตอบ

ลิมิต คืออะไร

ลองดู f(x) = (x² − 1)/(x − 1) ที่ x = 1 จะได้ 0/0 ซึ่งไม่มีค่า แต่คุณลองตัวเลขที่ใกล้ 1 ได้

จะแก้โจทย์ ลิมิต ทีละขั้นได้อย่างไร

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน ลิมิต มีอะไรบ้าง

เก็บทุกพจน์ของตัวประกอบที่สอง: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹) และที่ x = a ทั้ง n พจน์เท่ากัน
รูปแบบ 1^∞ เป็นรูปแบบยังไม่กำหนดค่า ไม่ใช่ 1 ให้หาลอการิทึมธรรมชาติก่อน
ให้อนุพันธ์ของตัวเศษอยู่ด้านบน: lim f/g = lim f′/g′

แบบฝึกหัด ลิมิต ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง

ง่าย: การแทนค่าโดยตรงและการแยกตัวประกอบ
ปานกลาง: ลิมิตที่อนันต์
ยาก: กฎของโลปีตาล

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

เรียนต่อด้วย

อนุพันธ์ลำดับและอนุกรม

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

แคลคูลัส 1 คณิตศาสตร์วิศวกรรม โจทย์ฝึก AP Calculus

หัวข้ออื่นในคณิตศาสตร์และสถิติ

อนุพันธ์การหาค่าเหมาะที่สุด อินทิกรัล ลำดับและอนุกรม แคลคูลัสหลายตัวแปร สมการเชิงอนุพันธ์จำนวนเชิงซ้อน วิธีเชิงตัวเลข เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน ทฤษฎีกราฟ ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ความน่าจะเป็น สถิติเชิงพรรณนา การแจกแจงปกติ ช่วงความเชื่อมั่น การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์การทดสอบไคสแควร์

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน ลิมิต พร้อมเฉลย

ฝึก ลิมิต ฟรี ฝึก ลิมิต เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร