เครื่องคำนวณค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ

กรอกค่าของคุณ คำตอบและวิธีทำฉบับเต็มจะอัปเดตขณะที่คุณพิมพ์

ผลลัพธ์

λ15
λ23
λ32
พหุนามลักษณะเฉพาะλ³ − 10λ² + 31λ − 30
ผลรวมเส้นทแยงมุมหลัก (เทรซ)10
ดีเทอร์มินันต์30
ค่าเฉพาะความซ้ำเวกเตอร์เฉพาะเวกเตอร์เฉพาะหนึ่งหน่วย
51(2, 0, 1)(0.8944, 0, 0.4472)
31(1, 1, −1)(0.5774, 0.5774, −0.5774)
21(1, 0, −1)(0.7071, 0, −0.7071)

หาค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของเมทริกซ์ 2×2 หรือ 3×3 เครื่องคำนวณกระจาย det(A − λI) เป็นพหุนามลักษณะเฉพาะ แก้หาค่าเฉพาะจริงหรือเชิงซ้อนพร้อมความซ้ำ และหาเวกเตอร์เฉพาะของค่าเฉพาะจริงทุกค่าโดยแก้ (A − λI)v = 0 เวกเตอร์เฉพาะแต่ละตัวตรวจสอบด้วยการคำนวณ A·v และสำหรับค่าเฉพาะที่ซ้ำจะแสดงว่าเมทริกซ์ทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้หรือไม่

เฉลยทีละขั้นตอน

สมการลักษณะเฉพาะ det(A − λI) = 0

det(A − λI) = (4 − λ)[(3 − λ)(3 − λ) − 0·(−1)] − 1[0(3 − λ) − 0·1] + 2[0·(−1) − (3 − λ)·1]
= −(λ³ − 10λ² + 31λ − 30)
tr A = 10, ผลรวมของไมเนอร์ลำดับ 2×2 บนเส้นทแยงมุมหลัก = 31, det A = 30
λ³ − (tr A)λ² + (ΣM)λ − det A = λ³ − 10λ² + 31λ − 30 = 0

ค่าเฉพาะ

(λ − 5)(λ − 3)(λ − 2) = 0
λ = 5, 3, 2
ตรวจสอบ: Σλ = 10 = tr A

เวกเตอร์เฉพาะ (λ = 5)

A − λI = [−1 1 2; 0 −2 0; 1 −1 −2]
(A − λI)·v = 0 → v = (2, 0, 1)
A·(2, 0, 1) = (10, 0, 5) = 5·(2, 0, 1) ✓

เวกเตอร์เฉพาะ (λ = 3)

A − λI = [1 1 2; 0 0 0; 1 −1 0]
(A − λI)·v = 0 → v = (1, 1, −1)
A·(1, 1, −1) = (3, 3, −3) = 3·(1, 1, −1) ✓

เวกเตอร์เฉพาะ (λ = 2)

A − λI = [2 1 2; 0 1 0; 1 −1 1]
(A − λI)·v = 0 → v = (1, 0, −1)
A·(1, 0, −1) = (2, 0, −2) = 2·(1, 0, −1) ✓

สูตรสำคัญ

ค่าเฉพาะ
det(A − λI) = 0

วิธีหาค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ

  1. ลบ λ ออกจากสมาชิกบนเส้นทแยงมุมทุกตัวของ A เพื่อให้ได้ A − λI
  2. ตั้งดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับศูนย์: det(A − λI) = 0 สำหรับเมทริกซ์ 2×2 คือ λ² − (tr A)λ + det A = 0 ส่วนเมทริกซ์ 3×3 เป็นสมการกำลังสาม
  3. แก้สมการลักษณะเฉพาะ ตรวจสอบ: ผลรวมของค่าเฉพาะเท่ากับเทรซ และผลคูณเท่ากับดีเทอร์มิแนนต์
  4. สำหรับแต่ละค่าเฉพาะ แก้ (A − λI)v = 0 ด้วยการดำเนินการตามแถว ผลเฉลยเป็นเส้นตรง (หรือระนาบ) เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใด ๆ ในนั้นเป็นเวกเตอร์เฉพาะ
  5. ตรวจสอบเวกเตอร์เฉพาะทุกตัว: A·v ต้องเท่ากับ λ·v

คำถามและคำตอบ

ป้อนเมทริกซ์อย่างไร

พิมพ์แต่ละแถวคั่นด้วยเซมิโคลอน และตัวเลขในแต่ละแถวคั่นด้วยช่องว่าง เช่น 4 1 2; 0 3 0; 1 -1 3 สำหรับเมทริกซ์ 3×3 ใช้ทศนิยมและจำนวนลบได้

ทำไมเมทริกซ์จึงมีค่าเฉพาะเชิงซ้อนได้

พหุนามลักษณะเฉพาะมีรากเชิงซ้อนได้ และสำหรับเมทริกซ์จริงรากเหล่านั้นจะเป็นคู่สังยุคเสมอ เมทริกซ์การหมุน 0 -1; 1 0 มีค่าเฉพาะ ±i เพราะไม่มีเวกเตอร์จริงใดคงทิศทางไว้ภายใต้การหมุน

ค่าเฉพาะที่ซ้ำหมายความว่าอย่างไร

รากของพหุนามลักษณะเฉพาะที่มีความซ้ำ 2 หรือ 3 เมทริกซ์อาจยังมีเวกเตอร์เฉพาะอิสระเชิงเส้นครบตามจำนวนนั้น เช่นเมทริกซ์เอกลักษณ์ หรืออาจน้อยกว่า ถ้าน้อยกว่าจะเป็นเมทริกซ์บกพร่องและทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมไม่ได้

เวกเตอร์เฉพาะมีค่าเดียวหรือไม่

ไม่ จำนวนเท่าที่ไม่ใช่ศูนย์ใด ๆ ของเวกเตอร์เฉพาะก็เป็นเวกเตอร์เฉพาะเช่นกัน เครื่องคำนวณแสดงรูปแบบที่เรียบง่าย โดยใช้จำนวนเต็มเมื่อทำได้ และเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีความยาว 1

ค่าเฉพาะใช้ทำอะไร

ใช้หาความถี่ธรรมชาติของระบบที่สั่น ความเค้นหลักของเทนเซอร์ความเค้น เสถียรภาพของระบบสมการเชิงอนุพันธ์ และทิศทางหลักในการวิเคราะห์องค์ประกอบหลัก

ลองทำเอง

เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอนวิธีแก้โจทย์เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ใบงาน เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ พร้อมเฉลย

ฝึกเมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

เครื่องคำนวณให้คำตอบ แต่ในการสอบคุณต้องมีวิธีทำ จึงควรฝึกกับโจทย์ใหม่ คำใบ้ และเฉลยละเอียด

ฝึก เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ ฟรีฝึก เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ เลยตัวอย่างวิธีทำ
</> ฝัง

ฟรีสำหรับครูและโรงเรียน: วางโค้ดนี้ในหน้ารายวิชา LMS หรือเว็บไซต์ของคุณ นักศึกษาใช้เครื่องคำนวณและวิธีทำทีละขั้นได้โดยไม่ต้องมีบัญชี

เครื่องคำนวณอื่น ๆ

เครื่องคำนวณคะแนนมาตรฐาน z และความน่าจะเป็นปกติเครื่องคำนวณช่วงความเชื่อมั่นเครื่องคำนวณขนาดตัวอย่างเครื่องคำนวณค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเครื่องคำนวณการถดถอยเชิงเส้นเครื่องคำนวณความเหมาะสมของไคสแควร์เครื่องคำนวณดีเทอร์มินันต์และอินเวอร์สของเมทริกซ์เครื่องคำนวณการแจกแจงปกติเครื่องคำนวณการแจกแจงทวินามเครื่องคำนวณการแจกแจงปัวซง