แคลคูลัส 2: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

อินทิกรัล

กฎกำลัง
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต
∫ab f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง
∫ab (f − g) dx

วิธีการ

  1. เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
  2. ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ ex, 1/x, sin และ cos
  3. ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
  4. สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

ลำดับและอนุกรม

ลำดับเลขคณิต
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
ลำดับเรขาคณิต
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-อนุกรม
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
การทดสอบอัตราส่วน
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
รัศมีการลู่เข้า
R = lim |ck/ck+1|
พหุนามเทย์เลอร์
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
อนุกรมแมคคลอริน
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

วิธีการ

  1. ระบุชนิด: เลขคณิต (ผลต่างคงที่) เรขาคณิต (อัตราส่วนคงที่) อนุกรมมาตรฐาน อนุกรมกำลัง หรือพหุนามเทย์เลอร์
  2. สำหรับผลบวกใช้ Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) หรือ S = a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 โดย a₁ คือพจน์แรกของผลบวก
  3. สำหรับการลู่เข้า: การทดสอบพจน์ที่ n ก่อน แล้วเปรียบเทียบกับ Σ1/kᵖ หรืออนุกรมเรขาคณิต และใช้การทดสอบอัตราส่วนหรือรากสำหรับแฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง k
  4. สำหรับพหุนามเทย์เลอร์ ให้เขียนรายการ f(a), f′(a), f″(a), … หารอนุพันธ์อันดับ k ด้วย k! และหาขอบเขตความคลาดเคลื่อนด้วย M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

แคลคูลัสหลายตัวแปร

อนุพันธ์ย่อย
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
เกรเดียนต์
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
อนุพันธ์ตามทิศทาง
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
ระนาบสัมผัส
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
กฎลูกโซ่
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
อินทิกรัลสองชั้น
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
พิกัดเชิงขั้ว
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

วิธีการ

  1. สำหรับอนุพันธ์ย่อย ให้ถือตัวแปรอีกตัวเป็นค่าคงที่และใช้กฎของตัวแปรเดียว
  2. สำหรับโจทย์เกรเดียนต์ ให้คำนวณ ∇f = (fx, fy) ที่จุดนั้น ใช้ |∇f| สำหรับความชันสูงสุด และ ∇f·u ด้วยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u สำหรับอนุพันธ์ตามทิศทาง
  3. สำหรับค่าสุดขีด ให้แก้ fx = 0 และ fy = 0 พร้อมกัน แล้วจัดประเภททุกจุดด้วย D = fxx·fyy − fxy²
  4. สำหรับอินทิกรัลสองชั้น ให้ร่างบริเวณ เลือกลำดับ (หรือพิกัดเชิงขั้วสำหรับจานวงกลม) เพื่อให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ และอินทิเกรตชั้นในก่อน

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล
dy/dt = ky → y = y0ekt
ครึ่งชีวิต
k = ln 2 / t½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
ถังผสม
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2โจทย์ฝึก

1.อินทิกรัลปานกลาง
xy3y = √(x)

บริเวณใต้ y = √(x) จาก x = 0 ถึง x = 3 ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง (พาราโบลอยด์)

y = √(x)0 ≤ x ≤ 3
V =
2.อินทิกรัลยาก
xyy = x2​y = x

หาพื้นที่ A ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วย y = x2 และ y = x

y = x2y = x
A =
3.ลำดับและอนุกรมปานกลาง
kSn​12345678910S = ?

จงหาผลบวก S = Σk=1∞ 12/(k(k + 2))

ak = 12/(k(k + 2))
S =
4.ลำดับและอนุกรมยาก

f(x) = cos x ถูกประมาณที่ x = 2 ด้วยพหุนามแมคคลอรินดีกรี n ด้วยขอบเขตของลากรองจ์ M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! และ M = 1 จงหาดีกรีที่น้อยที่สุด n ที่รับประกันว่าความคลาดเคลื่อนต่ำกว่า 1 × 10⁻⁵

f(x) = cos xx = 2M = 1ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.แคลคูลัสหลายตัวแปรปานกลาง
xy−3−2−101012vP

สำหรับ f(x, y) = y·e−xy จงหาอนุพันธ์ตามทิศทาง Duf ที่ (−1, 1) ในทิศทางของ v = (1, −1)

f(x, y) = y·e−xyP = (−1, 1)v = (1, −1)
Duf =
6.แคลคูลัสหลายตัวแปรยาก
xyy = 2y = x22

อินทิกรัล I = ∫02 ∫x2 sin(y²) dy dx ทำในลำดับนี้ไม่ได้ ให้สลับลำดับการอินทิเกรตแล้วคำนวณ

f = sin(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 2
I =
7.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง
t (min)T (°C)14Ta​42 °C54 °C

กาแฟหนึ่งถ้วยอุณหภูมิ 81 °C วางไว้ในห้องที่มีอุณหภูมิ 19 °C หลังผ่านไป 14 min อุณหภูมิเท่ากับ 42 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) หลังจากเริ่มต้นนานเท่าใด t จึงจะถึง 54 °C

T0 = 81 °CTa = 19 °CT(14) = 42 °CT = 54 °C
t = min
8.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก
tyK = 5ymax​ = ?

ระบบเป็นไปตาม y″ + 2y′ + 26y = 130 สำหรับ t ≥ 0 เริ่มจากหยุดนิ่ง: y(0) = 0, y′(0) = 0 จงหาค่ายอด ymax ของการตอบสนองต่อขั้น

y″ + 2y′ + 26y = 130y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =

3สารละลาย

1.อินทิกรัล

คำตอบ: V = 14.14

ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน

วิธีจาน

V = π∫₀3 x dx

อินทิเกรต

V = π·1·3²/2 = 14.14

คำตอบ

V = 14.14
2.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 0.1667

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

จุดตัด

x2 = x → x = 0, x = 1

อินทิเกรตบนลบล่าง

A = [0.5x2 − 0.3333x3]01 = 0.1667

คำตอบ

A = 0.1667
3.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: S = 9

การลู่เข้า: ถ้าพจน์ไม่ลู่เข้าสู่ 0 อนุกรมจะลู่ออก (การทดสอบพจน์ที่ n) Σ1/kᵖ ลู่เข้าเฉพาะเมื่อ p > 1 และ Σrᵏ ลู่เข้าเฉพาะเมื่อ |r| < 1 ให้เปรียบเทียบอนุกรมกับหนึ่งในนี้เมื่อพจน์ของมันมีพฤติกรรมเหมือนกันสำหรับ k ขนาดใหญ่ การทดสอบอัตราส่วน: L = lim |ak+1/ak|; การทดสอบราก: L = lim |ak|1/k L < 1 ลู่เข้า L > 1 ลู่ออก L = 1 ตัดสินไม่ได้ อนุกรมกำลัง Σck(x − x₀)ᵏ ลู่เข้าสำหรับ |x − x₀| < R โดย R = lim |ck/ck+1|; อนุกรมสลับที่พจน์ลดลงสู่ 0 ลู่เข้า

เศษส่วนย่อย

12/(k(k + 2)) = (12/2)·(1/k − 1/(k + 2))

ยกเลิก

S = (12/2)·(1 + 1/2) = 9

คำตอบ

S = 9
4.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: n = 11

พหุนามเทย์เลอร์: ใกล้ x = a ฟังก์ชันเรียบประมาณได้ด้วย Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; สำหรับ a = 0 นี่คือพหุนามแมคคลอริน อนุกรมมาตรฐาน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! โดย M คือค่าที่มากที่สุดของ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| ระหว่าง a และ x

n(n + 1)!ขอบเขต012122261.3333240.666741200.266757200.08889650400.02547403200.00634983628800.001411936288000.000282210399168005.131 × 10⁻⁵114790016008.551 × 10⁻⁶

ขอบเขตสำหรับ n ที่เพิ่มขึ้น

n = 10: 5.131 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵
n = 11: 8.551 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵

ดีกรีที่น้อยที่สุด

n = 11

คำตอบ

n = 11
5.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: Duf = −5.766

เกรเดียนต์: ∇f = (fx, fy) ชี้ไปในทิศที่ชันที่สุดขึ้น และ |∇f| คืออัตราการเปลี่ยนแปลงที่มากที่สุด อนุพันธ์ตามทิศทาง v คือ Duf = ∇f·u โดยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u = v/|v| ระนาบสัมผัสที่ (a, b) คือ z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) ซึ่งให้การประมาณเชิงเส้นของ f ใกล้จุดนั้น กฎลูกโซ่: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt

เกรเดียนต์ที่จุดนั้น

fx = −y²e−xy → fx(−1, 1) = −2.718
fy = e−xy(1 − xy) → fy(−1, 1) = 5.437

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย

|v| = √(1² + (−1)²) = 1.414
u = (0.7071, −0.7071)

ผลคูณจุด

Duf = (−2.718)·0.7071 + 5.437·(−0.7071) = −5.766

คำตอบ

Duf = −5.766
6.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: I = 0.8268

จุดวิกฤตและอินทิกรัลสองชั้น: จุดวิกฤตมี fx = fy = 0 การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองด้วย D = fxxfyy − fxy²: D > 0 และ fxx > 0 คือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ D > 0 และ fxx < 0 คือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ D < 0 คือจุดอานม้า และ D = 0 ตัดสินไม่ได้ สำหรับอินทิกรัลสองชั้นบนบริเวณทั่วไป ให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ สำหรับวงกลมและเซกเตอร์ให้ใช้พิกัดเชิงขั้ว x = r cos θ, y = r sin θ และ dA = r dr dθ (อย่าลืมตัวประกอบ r)

บริเวณ

0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 2

ลำดับที่สลับ

I = ∫02 ∫0y sin(y²) dx dy = ∫02 y·sin(y²) dy

การแทนค่า u = y²

I = [−cos(y²)/2]02 = 0.8268

คำตอบ

I = 0.8268
7.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: t = 8.072 min

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·ekt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e∫p dx: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

ค่าคงที่การเย็นตัว

k = ln(62/23)/14 = 0.07083 min⁻¹

เวลาที่ถึงเป้าหมาย

t = ln(62/35)/0.07083 = 8.072 min

คำตอบ

t = 8.072 min
8.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: ymax = 7.667

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = ert: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·er₁t + B·er₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·ert (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 โดย ωn คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

ค่าคงตัวและราก

yss = 5, r = −1 ± 5j

ค่าคงที่จากค่าเริ่มต้น

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5
y′(0) = −1A + 5B = 0 → B = −1

ยอด

t = π/5 = 0.6283
ymax = 5·(1 + e−1·π/5) = 7.667

คำตอบ

ymax = 7.667

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2