แคลคูลัส 2: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

อินทิกรัล

กฎกำลัง
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต
∫ab f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง
∫ab (f − g) dx

วิธีการ

  1. เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
  2. ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ ex, 1/x, sin และ cos
  3. ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
  4. สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

ลำดับและอนุกรม

ลำดับเลขคณิต
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
ลำดับเรขาคณิต
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-อนุกรม
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
การทดสอบอัตราส่วน
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
รัศมีการลู่เข้า
R = lim |ck/ck+1|
พหุนามเทย์เลอร์
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
อนุกรมแมคคลอริน
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

วิธีการ

  1. ระบุชนิด: เลขคณิต (ผลต่างคงที่) เรขาคณิต (อัตราส่วนคงที่) อนุกรมมาตรฐาน อนุกรมกำลัง หรือพหุนามเทย์เลอร์
  2. สำหรับผลบวกใช้ Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) หรือ S = a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 โดย a₁ คือพจน์แรกของผลบวก
  3. สำหรับการลู่เข้า: การทดสอบพจน์ที่ n ก่อน แล้วเปรียบเทียบกับ Σ1/kᵖ หรืออนุกรมเรขาคณิต และใช้การทดสอบอัตราส่วนหรือรากสำหรับแฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง k
  4. สำหรับพหุนามเทย์เลอร์ ให้เขียนรายการ f(a), f′(a), f″(a), … หารอนุพันธ์อันดับ k ด้วย k! และหาขอบเขตความคลาดเคลื่อนด้วย M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

แคลคูลัสหลายตัวแปร

อนุพันธ์ย่อย
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
เกรเดียนต์
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
อนุพันธ์ตามทิศทาง
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
ระนาบสัมผัส
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
กฎลูกโซ่
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
อินทิกรัลสองชั้น
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
พิกัดเชิงขั้ว
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

วิธีการ

  1. สำหรับอนุพันธ์ย่อย ให้ถือตัวแปรอีกตัวเป็นค่าคงที่และใช้กฎของตัวแปรเดียว
  2. สำหรับโจทย์เกรเดียนต์ ให้คำนวณ ∇f = (fx, fy) ที่จุดนั้น ใช้ |∇f| สำหรับความชันสูงสุด และ ∇f·u ด้วยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u สำหรับอนุพันธ์ตามทิศทาง
  3. สำหรับค่าสุดขีด ให้แก้ fx = 0 และ fy = 0 พร้อมกัน แล้วจัดประเภททุกจุดด้วย D = fxx·fyy − fxy²
  4. สำหรับอินทิกรัลสองชั้น ให้ร่างบริเวณ เลือกลำดับ (หรือพิกัดเชิงขั้วสำหรับจานวงกลม) เพื่อให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ และอินทิเกรตชั้นในก่อน

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล
dy/dt = ky → y = y0ekt
ครึ่งชีวิต
k = ln 2 / t½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
ถังผสม
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2โจทย์ฝึก

1.อินทิกรัลปานกลาง
xy15y = x ln x

จงหาค่าของ I = ∫₁5 x·ln x dx

∫₁5 x ln x dx
I =
2.อินทิกรัลยาก
xy−11

หาพื้นที่ A ของบริเวณระหว่างพาราโบลา y = 1 − x² กับแกน x

y = 1 − x²
A =
3.ลำดับและอนุกรมปานกลาง
AΣ k/3ᵏk = 1 … ∞BΣ (−1)ᵏ/kk = 1 … ∞CΣ (3/2)ᵏk = 1 … ∞DΣ (1/2)ᵏk = 1 … ∞

มีเพียงหนึ่งในสี่อนุกรมเท่านั้นที่ลู่ออก ให้คลิกอนุกรมนั้น

A: Σ k/3ᵏB: Σ (−1)ᵏ/kC: Σ (3/2)ᵏD: Σ (1/2)ᵏ
  1. 1A: Σ k/3ᵏ
  2. 2B: Σ (−1)ᵏ/k
  3. 3C: Σ (3/2)ᵏ
  4. 4D: Σ (1/2)ᵏ
4.ลำดับและอนุกรมยาก

f(x) = cos x ถูกประมาณที่ x = 1 ด้วยพหุนามแมคคลอรินดีกรี n ด้วยขอบเขตของลากรองจ์ M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! และ M = 1 จงหาดีกรีที่น้อยที่สุด n ที่รับประกันว่าความคลาดเคลื่อนต่ำกว่า 1 × 10⁻⁵

f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.แคลคูลัสหลายตัวแปรปานกลาง
xy−10.5∇fP

สำหรับ f(x, y) = y·exy จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงสูงสุดของ f ที่จุด (−1, 0.5) นั่นคือ |∇f|

f(x, y) = y·exyP = (−1, 0.5)
|∇f| =
6.แคลคูลัสหลายตัวแปรยาก
xy−202−202(0, 0)(1, 1)(−1, −1)

จงหาจุดวิกฤตของ f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy จัดประเภทมัน และให้ค่า fmin ของ f ที่ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy
fmin =
7.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง
tyy(0) = 5y(2) = ?

จงแก้ y″ + 6y′ + 8y = 0 โดย y(0) = 5 และ y′(0) = 4 จงหา y(2)

y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 5y′(0) = 4
y(2) =
8.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก
tyK = 1ymax​ = ?

ระบบเป็นไปตาม y″ + 4y′ + 20y = 20 สำหรับ t ≥ 0 เริ่มจากหยุดนิ่ง: y(0) = 0, y′(0) = 0 จงหาค่ายอด ymax ของการตอบสนองต่อขั้น

y″ + 4y′ + 20y = 20y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =

3สารละลาย

1.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 14.12

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

เลือก u และ dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

ปฏิยานุพันธ์

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

ลิมิต

(12.5·ln 5 − 6.25) − (0 − 0.25) = 14.12

คำตอบ

I = 14.12
2.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 1.333

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ค่าศูนย์

1 − x² = 0 → x = ±1

อินทิเกรต

A = [1x − x³/3]−11 = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

คำตอบ

A = 1.333
3.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: C: Σ (3/2)ᵏ

การลู่เข้า: ถ้าพจน์ไม่ลู่เข้าสู่ 0 อนุกรมจะลู่ออก (การทดสอบพจน์ที่ n) Σ1/kᵖ ลู่เข้าเฉพาะเมื่อ p > 1 และ Σrᵏ ลู่เข้าเฉพาะเมื่อ |r| < 1 ให้เปรียบเทียบอนุกรมกับหนึ่งในนี้เมื่อพจน์ของมันมีพฤติกรรมเหมือนกันสำหรับ k ขนาดใหญ่ การทดสอบอัตราส่วน: L = lim |ak+1/ak|; การทดสอบราก: L = lim |ak|1/k L < 1 ลู่เข้า L > 1 ลู่ออก L = 1 ตัดสินไม่ได้ อนุกรมกำลัง Σck(x − x₀)ᵏ ลู่เข้าสำหรับ |x − x₀| < R โดย R = lim |ck/ck+1|; อนุกรมสลับที่พจน์ลดลงสู่ 0 ลู่เข้า

ทดสอบแต่ละอนุกรม

A: Σ k/3ᵏ → การทดสอบอัตราส่วน: L = 1/3 < 1 ลู่เข้า
B: Σ (−1)ᵏ/k → อนุกรมสลับ โดย 1/k ลดลงสู่ 0: ลู่เข้า (แบบมีเงื่อนไข)
C: Σ (3/2)ᵏ → อนุกรมเรขาคณิตที่ r = 3/2 > 1: พจน์เพิ่มขึ้น ดังนั้นลู่ออก
D: Σ (1/2)ᵏ → อนุกรมเรขาคณิตที่ r = 1/2, |r| < 1: ลู่เข้า

คำตอบ

C: Σ (3/2)ᵏ

คำตอบ

C: Σ (3/2)ᵏ
4.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: n = 8

พหุนามเทย์เลอร์: ใกล้ x = a ฟังก์ชันเรียบประมาณได้ด้วย Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; สำหรับ a = 0 นี่คือพหุนามแมคคลอริน อนุกรมมาตรฐาน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! โดย M คือค่าที่มากที่สุดของ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| ระหว่าง a และ x

n(n + 1)!ขอบเขต011120.5260.16673240.0416741200.00833357200.001389650400.00019847403202.48 × 10⁻⁵83628802.756 × 10⁻⁶

ขอบเขตสำหรับ n ที่เพิ่มขึ้น

n = 7: 2.48 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵
n = 8: 2.756 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵

ดีกรีที่น้อยที่สุด

n = 8

คำตอบ

n = 8
5.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: |∇f| = 0.3391

เกรเดียนต์: ∇f = (fx, fy) ชี้ไปในทิศที่ชันที่สุดขึ้น และ |∇f| คืออัตราการเปลี่ยนแปลงที่มากที่สุด อนุพันธ์ตามทิศทาง v คือ Duf = ∇f·u โดยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u = v/|v| ระนาบสัมผัสที่ (a, b) คือ z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) ซึ่งให้การประมาณเชิงเส้นของ f ใกล้จุดนั้น กฎลูกโซ่: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt

อนุพันธ์ย่อย

fx = y²exy → fx(−1, 0.5) = 0.1516
fy = exy(1 + xy) → fy(−1, 0.5) = 0.3033

ความยาวของเกรเดียนต์

|∇f| = √(0.1516² + 0.3033²) = 0.3391

คำตอบ

|∇f| = 0.3391
6.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: fmin = −2

จุดวิกฤตและอินทิกรัลสองชั้น: จุดวิกฤตมี fx = fy = 0 การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองด้วย D = fxxfyy − fxy²: D > 0 และ fxx > 0 คือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ D > 0 และ fxx < 0 คือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ D < 0 คือจุดอานม้า และ D = 0 ตัดสินไม่ได้ สำหรับอินทิกรัลสองชั้นบนบริเวณทั่วไป ให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ สำหรับวงกลมและเซกเตอร์ให้ใช้พิกัดเชิงขั้ว x = r cos θ, y = r sin θ และ dA = r dr dθ (อย่าลืมตัวประกอบ r)

จุดวิกฤต

แก้ fx = 0 และ fy = 0 พร้อมกัน

fx = 4x³ − 4y = 0
fy = 4y³ − 4x = 0
(0, 0), (1, 1), (−1, −1)

การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง

(0, 0): fxx = 0, fyy = 0, fxy = −4, D = −16 → จุดอานม้า
(1, 1): fxx = 12, fyy = 12, fxy = −4, D = 128 → ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
(−1, −1): fxx = 12, fyy = 12, fxy = −4, D = 128 → ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

ค่าที่จุดสุดขีด

f(−1, −1) = −2

คำตอบ

fmin = −2
7.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(2) = 0.2174

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = ert: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·er₁t + B·er₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·ert (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 โดย ωn คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

รากลักษณะเฉพาะ

(r + 2)(r + 4) = 0 → r = −2, −4

ค่าคงที่จากค่าเริ่มต้น

A + B = 5, −2A − 4B = 4
A = 12, B = −7

คำนวณค่า

y(2) = 12·e−4 + (−7)·e−8 = 0.2174

คำตอบ

y(2) = 0.2174
8.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: ymax = 1.208

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = ert: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·er₁t + B·er₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·ert (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 โดย ωn คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

ค่าคงตัวและราก

yss = 1, r = −2 ± 4j

ค่าคงที่จากค่าเริ่มต้น

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1
y′(0) = −2A + 4B = 0 → B = −0.5

ยอด

t = π/4 = 0.7854
ymax = 1·(1 + e−2·π/4) = 1.208

คำตอบ

ymax = 1.208

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2