แคลคูลัส 2: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

ลำดับและอนุกรม

ลำดับเลขคณิต: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
ลำดับเรขาคณิต: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-อนุกรม: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
การทดสอบอัตราส่วน: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
รัศมีการลู่เข้า: R = lim |c_k/c_k+1|
พหุนามเทย์เลอร์: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
อนุกรมแมคคลอริน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

วิธีการ

ระบุชนิด: เลขคณิต (ผลต่างคงที่) เรขาคณิต (อัตราส่วนคงที่) อนุกรมมาตรฐาน อนุกรมกำลัง หรือพหุนามเทย์เลอร์
สำหรับผลบวกใช้ Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) หรือ S = a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 โดย a₁ คือพจน์แรกของผลบวก
สำหรับการลู่เข้า: การทดสอบพจน์ที่ n ก่อน แล้วเปรียบเทียบกับ Σ1/kᵖ หรืออนุกรมเรขาคณิต และใช้การทดสอบอัตราส่วนหรือรากสำหรับแฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง k
สำหรับพหุนามเทย์เลอร์ ให้เขียนรายการ f(a), f′(a), f″(a), … หารอนุพันธ์อันดับ k ด้วย k! และหาขอบเขตความคลาดเคลื่อนด้วย M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

แคลคูลัสหลายตัวแปร

อนุพันธ์ย่อย: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
เกรเดียนต์: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
อนุพันธ์ตามทิศทาง: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
ระนาบสัมผัส: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
กฎลูกโซ่: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
อินทิกรัลสองชั้น: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
พิกัดเชิงขั้ว: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

วิธีการ

สำหรับอนุพันธ์ย่อย ให้ถือตัวแปรอีกตัวเป็นค่าคงที่และใช้กฎของตัวแปรเดียว
สำหรับโจทย์เกรเดียนต์ ให้คำนวณ ∇f = (f_x, f_y) ที่จุดนั้น ใช้ |∇f| สำหรับความชันสูงสุด และ ∇f·u ด้วยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u สำหรับอนุพันธ์ตามทิศทาง
สำหรับค่าสุดขีด ให้แก้ f_x = 0 และ f_y = 0 พร้อมกัน แล้วจัดประเภททุกจุดด้วย D = f_xx·f_yy − f_xy²
สำหรับอินทิกรัลสองชั้น ให้ร่างบริเวณ เลือกลำดับ (หรือพิกัดเชิงขั้วสำหรับจานวงกลม) เพื่อให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ และอินทิเกรตชั้นในก่อน

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2โจทย์ฝึก

1.อินทิกรัลปานกลาง

บริเวณใต้ y = 3x จาก x = 0 ถึง x = 3 ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง (กรวย)

y = 3x0 ≤ x ≤ 3

V =

2.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณระหว่างพาราโบลา y = 9 − x² กับแกน x

y = 9 − x²

A =

3.ลำดับและอนุกรมปานกลาง

จงหารัศมีการลู่เข้า R ของอนุกรมกำลัง Σ_k=1^∞ k·5ᵏ·xᵏ

Σ k·5ᵏ·xᵏx₀ = 0

R =

4.ลำดับและอนุกรมยาก

ใช้พหุนามแมคคลอรินดีกรี 4 ของ f(x) = cos(2x) เพื่อประมาณ f(1) ให้ P₄(1)

f(x) = cos(2x)n = 4x = 1

P₄(1) =

5.แคลคูลัสหลายตัวแปรปานกลาง

ระนาบสัมผัสของ z = 2 sin(2x − 3y) ที่จุดซึ่ง (x, y) = (0.5, 2) เขียนได้เป็น z = px + qy + c จงหา c

f(x, y) = 2 sin(2x − 3y)(a, b) = (0.5, 2)

c =

6.แคลคูลัสหลายตัวแปรยาก

จงหาจุดวิกฤตของ f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy จัดประเภทมัน และให้ค่า f_min ของ f ที่ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy

f_min =

7.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง

กาแฟหนึ่งถ้วยอุณหภูมิ 80 °C วางไว้ในห้องที่มีอุณหภูมิ 23 °C หลังผ่านไป 5 min อุณหภูมิเท่ากับ 72 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) หลังจากเริ่มต้นนานเท่าใด t จึงจะถึง 76 °C

T₀ = 80 °CT_a = 23 °CT(5) = 72 °CT = 76 °C

t = min

8.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก

จงแก้ y′ + y = 9e^−0.5t โดย y(0) = 0 จงหา y(2)

y′ + y = 9e^−0.5ty(0) = 0

y(2) =

3สารละลาย

1.อินทิกรัล

คำตอบ: V = 254.5

ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน

วิธีจาน

V = π∫₀³ 9x² dx

อินทิเกรต

V = π·9·3³/3 = 254.5

คำตอบ

V = 254.5

ตรวจสอบ: กรวยรัศมี 9 และสูง 3 มี (1/3)πr²h = 254.5

2.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 36

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ค่าศูนย์

9 − x² = 0 → x = ±3

อินทิเกรต

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

คำตอบ

A = 36

3.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: R = 0.2

สัมประสิทธิ์

c_k/c_k+1 = (1/5)·(k/(k + 1)) → 1/5

รัศมี

R = 0.2

คำตอบ

R = 0.2

การทดสอบอัตราส่วนไม่บอกอะไรที่จุดปลายทั้งสอง ต้องตรวจแยกต่างหาก

4.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: P₄(1) = −0.3333

พหุนามเทย์เลอร์: ใกล้ x = a ฟังก์ชันเรียบประมาณได้ด้วย Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; สำหรับ a = 0 นี่คือพหุนามแมคคลอริน อนุกรมมาตรฐาน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! โดย M คือค่าที่มากที่สุดของ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| ระหว่าง a และ x

พหุนามแมคคลอริน

P₄(x) = 1 − 2x² + 0.6667x⁴

แทนค่า

P₄(1) = 1 − 2 + 0.666667 = −0.3333

คำตอบ

P₄(1) = −0.3333

ค่าที่แท้จริงคือ f(1) = −0.416147; ความคลาดเคลื่อน −0.0828135 ลดลงเมื่อใช้พจน์มากขึ้นหรือจุดที่ใกล้ 0 มากขึ้น

5.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: c = 4.754

เกรเดียนต์: ∇f = (f_x, f_y) ชี้ไปในทิศที่ชันที่สุดขึ้น และ |∇f| คืออัตราการเปลี่ยนแปลงที่มากที่สุด อนุพันธ์ตามทิศทาง v คือ D_uf = ∇f·u โดยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u = v/|v| ระนาบสัมผัสที่ (a, b) คือ z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) ซึ่งให้การประมาณเชิงเส้นของ f ใกล้จุดนั้น กฎลูกโซ่: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt

ค่าและความชันที่จุดนั้น

f(0.5, 2) = 1.918

f_x = 4 cos(2x − 3y) → f_x(0.5, 2) = 1.135

f_y = −6 cos(2x − 3y) → f_y(0.5, 2) = −1.702

ระนาบสัมผัส

z = 1.918 + 1.135(x − 0.5) − 1.702(y − 2)

z = 1.135x − 1.702y + 4.754

พจน์คงที่

c = 4.754

คำตอบ

c = 4.754

6.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: f_min = −2

จุดวิกฤตและอินทิกรัลสองชั้น: จุดวิกฤตมี f_x = f_y = 0 การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองด้วย D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 และ f_xx > 0 คือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ D > 0 และ f_xx < 0 คือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ D < 0 คือจุดอานม้า และ D = 0 ตัดสินไม่ได้ สำหรับอินทิกรัลสองชั้นบนบริเวณทั่วไป ให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ สำหรับวงกลมและเซกเตอร์ให้ใช้พิกัดเชิงขั้ว x = r cos θ, y = r sin θ และ dA = r dr dθ (อย่าลืมตัวประกอบ r)

จุดวิกฤต

แก้ f_x = 0 และ f_y = 0 พร้อมกัน

f_x = 4x³ − 4y = 0

f_y = 4y³ − 4x = 0

(0, 0), (1, 1), (−1, −1)

การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง

(0, 0): f_xx = 0, f_yy = 0, f_xy = −4, D = −16 → จุดอานม้า

(1, 1): f_xx = 12, f_yy = 12, f_xy = −4, D = 128 → ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

(−1, −1): f_xx = 12, f_yy = 12, f_xy = −4, D = 128 → ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

ค่าที่จุดสุดขีด

f(1, 1) = −2

คำตอบ

f_min = −2

7.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: t = 2.406 min

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·e^kt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

ค่าคงที่การเย็นตัว

k = ln(57/49)/5 = 0.03025 min⁻¹

เวลาที่ถึงเป้าหมาย

t = ln(57/53)/0.03025 = 2.406 min

คำตอบ

t = 2.406 min

8.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(2) = 4.186

ตัวประกอบอินทิเกรต

μ = e^t

(e^ty)′ = 9e^0.5t

คำตอบทั่วไป

y = 9/0.5·e^−0.5t + C·e^−t = 18·e^−0.5t + C·e^−t

เงื่อนไขเริ่มต้น

0 = 18 + C → C = −18

คำนวณค่า

y(2) = 18·0.3679 + (−18)·0.1353 = 4.186

คำตอบ

y(2) = 4.186

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2