แคลคูลัส 2: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

อินทิกรัล

กฎกำลัง
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต
∫ab f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง
∫ab (f − g) dx

วิธีการ

  1. เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
  2. ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ ex, 1/x, sin และ cos
  3. ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
  4. สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

ลำดับและอนุกรม

ลำดับเลขคณิต
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
ลำดับเรขาคณิต
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-อนุกรม
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
การทดสอบอัตราส่วน
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
รัศมีการลู่เข้า
R = lim |ck/ck+1|
พหุนามเทย์เลอร์
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
อนุกรมแมคคลอริน
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

วิธีการ

  1. ระบุชนิด: เลขคณิต (ผลต่างคงที่) เรขาคณิต (อัตราส่วนคงที่) อนุกรมมาตรฐาน อนุกรมกำลัง หรือพหุนามเทย์เลอร์
  2. สำหรับผลบวกใช้ Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) หรือ S = a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 โดย a₁ คือพจน์แรกของผลบวก
  3. สำหรับการลู่เข้า: การทดสอบพจน์ที่ n ก่อน แล้วเปรียบเทียบกับ Σ1/kᵖ หรืออนุกรมเรขาคณิต และใช้การทดสอบอัตราส่วนหรือรากสำหรับแฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง k
  4. สำหรับพหุนามเทย์เลอร์ ให้เขียนรายการ f(a), f′(a), f″(a), … หารอนุพันธ์อันดับ k ด้วย k! และหาขอบเขตความคลาดเคลื่อนด้วย M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

แคลคูลัสหลายตัวแปร

อนุพันธ์ย่อย
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
เกรเดียนต์
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
อนุพันธ์ตามทิศทาง
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
ระนาบสัมผัส
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
กฎลูกโซ่
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
อินทิกรัลสองชั้น
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
พิกัดเชิงขั้ว
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

วิธีการ

  1. สำหรับอนุพันธ์ย่อย ให้ถือตัวแปรอีกตัวเป็นค่าคงที่และใช้กฎของตัวแปรเดียว
  2. สำหรับโจทย์เกรเดียนต์ ให้คำนวณ ∇f = (fx, fy) ที่จุดนั้น ใช้ |∇f| สำหรับความชันสูงสุด และ ∇f·u ด้วยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u สำหรับอนุพันธ์ตามทิศทาง
  3. สำหรับค่าสุดขีด ให้แก้ fx = 0 และ fy = 0 พร้อมกัน แล้วจัดประเภททุกจุดด้วย D = fxx·fyy − fxy²
  4. สำหรับอินทิกรัลสองชั้น ให้ร่างบริเวณ เลือกลำดับ (หรือพิกัดเชิงขั้วสำหรับจานวงกลม) เพื่อให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ และอินทิเกรตชั้นในก่อน

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล
dy/dt = ky → y = y0ekt
ครึ่งชีวิต
k = ln 2 / t½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
ถังผสม
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2โจทย์ฝึก

1.อินทิกรัลปานกลาง
xy1y = x

บริเวณใต้ y = x จาก x = 0 ถึง x = 1 ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง (กรวย)

y = x0 ≤ x ≤ 1
V =
2.อินทิกรัลยาก
xy1.5y = 3xy = 2x²

บริเวณระหว่างเส้นตรง y = 3x กับพาราโบลา y = 2x² ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง

y = 3xy = 2x²
V =
3.ลำดับและอนุกรมปานกลาง
AΣ (3/2)ᵏk = 1 … ∞BΣ 1/(2ᵏ + k)k = 1 … ∞CΣ k!/3ᵏk = 1 … ∞DΣ (2k + 1)/(k + 2)k = 1 … ∞

มีเพียงหนึ่งในสี่อนุกรมเท่านั้นที่ลู่เข้า ให้คลิกอนุกรมนั้น

A: Σ (3/2)ᵏB: Σ 1/(2ᵏ + k)C: Σ k!/3ᵏD: Σ (2k + 1)/(k + 2)
  1. 1A: Σ (3/2)ᵏ
  2. 2B: Σ 1/(2ᵏ + k)
  3. 3C: Σ k!/3ᵏ
  4. 4D: Σ (2k + 1)/(k + 2)
4.ลำดับและอนุกรมยาก

f(x) = cos x ถูกประมาณด้วยพหุนามแมคคลอรินดีกรี 4 ที่ x = 0.3 ใช้ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์ M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! โดย M = 1 เพื่อหาความคลาดเคลื่อนสูงสุดที่เป็นไปได้ |R₄|

f(x) = cos xn = 4x = 0.3M = 1
|R₄| =
5.แคลคูลัสหลายตัวแปรปานกลาง

z = 3 sin(−x − 3y) โดย x = −t และ y = t² − 2 ใช้กฎลูกโซ่เพื่อหา dz/dt ที่ t = 1

z = 3 sin(−x − 3y)x = −ty = t² − 2t = 1
dz/dt =
6.แคลคูลัสหลายตัวแปรยาก
xy−20202(2, 2)(−2, 2)

f(x, y) = x³ − 12x + y² − 4y มีจุดวิกฤตที่ (2, 2) จงคำนวณตัวจำแนก D = fxxfyy − fxy² ที่นั่น

f(x, y) = x³ − 12x + y² − 4yP = (2, 2)
D =
7.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง
t (min)T (°C)12Ta​T = ?

กาแฟหนึ่งถ้วยอุณหภูมิ 93 °C วางไว้ในห้องที่มีอุณหภูมิ 21 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) เมื่อ k = 0.12 min⁻¹ จงหาอุณหภูมิ T หลังผ่านไป 12 min

T0 = 93 °CTa = 21 °Ck = 0.12 min⁻¹t = 12 min
T = °C
8.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก
tyK = 2y(1.5) = ?

ระบบเป็นไปตาม y″ + 2y′ + 5y = 10 สำหรับ t ≥ 0 เริ่มจากหยุดนิ่ง: y(0) = 0, y′(0) = 0 จงหา y(1.5) มุมเป็นเรเดียน

y″ + 2y′ + 5y = 10y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =

3สารละลาย

1.อินทิกรัล

คำตอบ: V = 1.047

ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน

วิธีจาน

V = π∫₀1 1x² dx

อินทิเกรต

V = π·1·1³/3 = 1.047

คำตอบ

V = 1.047

ตรวจสอบ: กรวยรัศมี 1 และสูง 1 มี (1/3)πr²h = 1.047

2.อินทิกรัล

คำตอบ: V = 12.72

ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน

จุดตัด

3x = 2x² → x = 0, x = 1.5

วิธีวงแหวน

V = π∫₀1.5 ((3x)² − (2x²)²) dx

อินทิเกรต

V = π(9·1.5³/3 − 4·1.5⁵/5) = π·4.05 = 12.72

คำตอบ

V = 12.72
3.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: B: Σ 1/(2ᵏ + k)

การลู่เข้า: ถ้าพจน์ไม่ลู่เข้าสู่ 0 อนุกรมจะลู่ออก (การทดสอบพจน์ที่ n) Σ1/kᵖ ลู่เข้าเฉพาะเมื่อ p > 1 และ Σrᵏ ลู่เข้าเฉพาะเมื่อ |r| < 1 ให้เปรียบเทียบอนุกรมกับหนึ่งในนี้เมื่อพจน์ของมันมีพฤติกรรมเหมือนกันสำหรับ k ขนาดใหญ่ การทดสอบอัตราส่วน: L = lim |ak+1/ak|; การทดสอบราก: L = lim |ak|1/k L < 1 ลู่เข้า L > 1 ลู่ออก L = 1 ตัดสินไม่ได้ อนุกรมกำลัง Σck(x − x₀)ᵏ ลู่เข้าสำหรับ |x − x₀| < R โดย R = lim |ck/ck+1|; อนุกรมสลับที่พจน์ลดลงสู่ 0 ลู่เข้า

ทดสอบแต่ละอนุกรม

A: Σ (3/2)ᵏ → อนุกรมเรขาคณิตที่ r = 3/2 > 1: พจน์เพิ่มขึ้น ดังนั้นลู่ออก
B: Σ 1/(2ᵏ + k) → น้อยกว่า (1/2)ᵏ ซึ่งเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่ลู่เข้า: ลู่เข้าโดยการเปรียบเทียบ
C: Σ k!/3ᵏ → การทดสอบอัตราส่วน: L = lim (k + 1)/3 = ∞ ลู่ออก
D: Σ (2k + 1)/(k + 2) → พจน์ลู่เข้าสู่ 2 ไม่ใช่ 0: ลู่ออกโดยการทดสอบพจน์ที่ n

คำตอบ

B: Σ 1/(2ᵏ + k)

คำตอบ

B: Σ 1/(2ᵏ + k)
4.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: |R₄| = 2.025 × 10⁻⁵

พหุนามเทย์เลอร์: ใกล้ x = a ฟังก์ชันเรียบประมาณได้ด้วย Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; สำหรับ a = 0 นี่คือพหุนามแมคคลอริน อนุกรมมาตรฐาน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! โดย M คือค่าที่มากที่สุดของ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| ระหว่าง a และ x

ขอบเขตของอนุพันธ์

M = 1

ขอบเขตของลากรองจ์

|R₄| ≤ 1·0.3⁵/5! = 2.025 × 10⁻⁵

คำตอบ

|R₄| = 2.025 × 10⁻⁵

ความคลาดเคลื่อนจริงน้อยกว่า: |f(0.3) − P₄(0.3)| = 1.011 × 10⁻⁶

5.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: dz/dt = 9.805

เกรเดียนต์: ∇f = (fx, fy) ชี้ไปในทิศที่ชันที่สุดขึ้น และ |∇f| คืออัตราการเปลี่ยนแปลงที่มากที่สุด อนุพันธ์ตามทิศทาง v คือ Duf = ∇f·u โดยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u = v/|v| ระนาบสัมผัสที่ (a, b) คือ z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) ซึ่งให้การประมาณเชิงเส้นของ f ใกล้จุดนั้น กฎลูกโซ่: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt

จุดและอัตราการเปลี่ยนแปลง

x(1) = −1, y(1) = −1
dx/dt = −1, dy/dt = 2t = 2

อนุพันธ์ย่อย

fx = −3 cos(−x − 3y) = 1.961
fy = −9 cos(−x − 3y) = 5.883

กฎลูกโซ่

dz/dt = 1.961·(−1) + 5.883·2 = 9.805

คำตอบ

dz/dt = 9.805
6.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: D = 24

จุดวิกฤตและอินทิกรัลสองชั้น: จุดวิกฤตมี fx = fy = 0 การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองด้วย D = fxxfyy − fxy²: D > 0 และ fxx > 0 คือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ D > 0 และ fxx < 0 คือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ D < 0 คือจุดอานม้า และ D = 0 ตัดสินไม่ได้ สำหรับอินทิกรัลสองชั้นบนบริเวณทั่วไป ให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ สำหรับวงกลมและเซกเตอร์ให้ใช้พิกัดเชิงขั้ว x = r cos θ, y = r sin θ และ dA = r dr dθ (อย่าลืมตัวประกอบ r)

อนุพันธ์อันดับสอง

fxx = 12, fyy = 2, fxy = 0

ตัวจำแนก

D = 12·2 − 0² = 24
→ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

คำตอบ

D = 24
7.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: T = 38.06 °C

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·ekt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e∫p dx: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

คำตอบของกฎการเย็นตัว

T(t) = 21 + 72·e−0.12t

แทนค่า t

T(12) = 21 + 72·0.2369 = 38.06 °C

คำตอบ

T = 38.06 °C
8.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(1.5) = 2.41

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = ert: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·er₁t + B·er₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·ert (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 โดย ωn คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

ค่าคงตัวและราก

yss = 2, r = −1 ± 2j

ค่าคงที่จากค่าเริ่มต้น

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2
y′(0) = −1A + 2B = 0 → B = −1

คำนวณค่า

y(1.5) = 2·(1 − e−1.5(cos 3 + 0.5·sin 3)) = 2.41

คำตอบ

y(1.5) = 2.41

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2