แคลคูลัส 2: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

อินทิกรัล

กฎกำลัง
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต
∫ab f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง
∫ab (f − g) dx

วิธีการ

  1. เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
  2. ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ ex, 1/x, sin และ cos
  3. ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
  4. สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

ลำดับและอนุกรม

ลำดับเลขคณิต
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
ลำดับเรขาคณิต
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-อนุกรม
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
การทดสอบอัตราส่วน
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
รัศมีการลู่เข้า
R = lim |ck/ck+1|
พหุนามเทย์เลอร์
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
อนุกรมแมคคลอริน
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

วิธีการ

  1. ระบุชนิด: เลขคณิต (ผลต่างคงที่) เรขาคณิต (อัตราส่วนคงที่) อนุกรมมาตรฐาน อนุกรมกำลัง หรือพหุนามเทย์เลอร์
  2. สำหรับผลบวกใช้ Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) หรือ S = a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 โดย a₁ คือพจน์แรกของผลบวก
  3. สำหรับการลู่เข้า: การทดสอบพจน์ที่ n ก่อน แล้วเปรียบเทียบกับ Σ1/kᵖ หรืออนุกรมเรขาคณิต และใช้การทดสอบอัตราส่วนหรือรากสำหรับแฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง k
  4. สำหรับพหุนามเทย์เลอร์ ให้เขียนรายการ f(a), f′(a), f″(a), … หารอนุพันธ์อันดับ k ด้วย k! และหาขอบเขตความคลาดเคลื่อนด้วย M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

แคลคูลัสหลายตัวแปร

อนุพันธ์ย่อย
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
เกรเดียนต์
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
อนุพันธ์ตามทิศทาง
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
ระนาบสัมผัส
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
กฎลูกโซ่
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
อินทิกรัลสองชั้น
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
พิกัดเชิงขั้ว
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

วิธีการ

  1. สำหรับอนุพันธ์ย่อย ให้ถือตัวแปรอีกตัวเป็นค่าคงที่และใช้กฎของตัวแปรเดียว
  2. สำหรับโจทย์เกรเดียนต์ ให้คำนวณ ∇f = (fx, fy) ที่จุดนั้น ใช้ |∇f| สำหรับความชันสูงสุด และ ∇f·u ด้วยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u สำหรับอนุพันธ์ตามทิศทาง
  3. สำหรับค่าสุดขีด ให้แก้ fx = 0 และ fy = 0 พร้อมกัน แล้วจัดประเภททุกจุดด้วย D = fxx·fyy − fxy²
  4. สำหรับอินทิกรัลสองชั้น ให้ร่างบริเวณ เลือกลำดับ (หรือพิกัดเชิงขั้วสำหรับจานวงกลม) เพื่อให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ และอินทิเกรตชั้นในก่อน

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล
dy/dt = ky → y = y0ekt
ครึ่งชีวิต
k = ln 2 / t½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
ถังผสม
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2โจทย์ฝึก

1.อินทิกรัลปานกลาง
xy2y = x·sin x

จงหาค่าของ I = ∫₀2 x·sin x dx (x ในหน่วยเรเดียน)

∫₀2 x·sin x dx
I =
2.อินทิกรัลยาก
xyy = 0.5x2​y = 4x

หาพื้นที่ A ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วย y = 0.5x2 และ y = 4x

y = 0.5x2y = 4x
A =
3.ลำดับและอนุกรมปานกลาง
AΣ 3ᵏ/k³k = 1 … ∞BΣ (k + 3)/k²k = 1 … ∞CΣ (1/3)ᵏk = 1 … ∞DΣ (5/3)ᵏk = 1 … ∞

มีเพียงหนึ่งในสี่อนุกรมเท่านั้นที่ลู่เข้า ให้คลิกอนุกรมนั้น

A: Σ 3ᵏ/k³B: Σ (k + 3)/k²C: Σ (1/3)ᵏD: Σ (5/3)ᵏ
  1. 1A: Σ 3ᵏ/k³
  2. 2B: Σ (k + 3)/k²
  3. 3C: Σ (1/3)ᵏ
  4. 4D: Σ (5/3)ᵏ
4.ลำดับและอนุกรมยาก

f(x) = eˣ ถูกประมาณที่ x = 1 ด้วยพหุนามแมคคลอรินดีกรี n ด้วยขอบเขตของลากรองจ์ M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! และ M = 3 จงหาดีกรีที่น้อยที่สุด n ที่รับประกันว่าความคลาดเคลื่อนต่ำกว่า 0.0005

f(x) = eˣx = 1M = 3ε = 0.0005
n =
5.แคลคูลัสหลายตัวแปรปานกลาง
xy0.5−1∇fP

สำหรับ f(x, y) = 2 sin(−3x + 2y) จงหาทิศทางที่ชันที่สุดขึ้นที่ (0.5, −1) เป็นมุม θ จากแกน x บวก เป็นองศาระหว่าง −180° และ 180°

f(x, y) = 2 sin(−3x + 2y)P = (0.5, −1)
θ = °
6.แคลคูลัสหลายตัวแปรยาก
xyy = 3xy = x²39

จงคำนวณ I = ∬R x dA เมื่อ R คือบริเวณระหว่างพาราโบลา y = x² และเส้นตรง y = 3x

y = x²y = 3xf = x
I =
7.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง
tyy(0) = 2y(0.5) = ?

จงแก้ y″ + 4y′ + 4y = 0 โดย y(0) = 2 และ y′(0) = 4 จงหา y(0.5)

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 2y′(0) = 4
y(0.5) =
8.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก
ty1.5y(1.5) = ?

จงแก้ y′ + 2y = 8e−0.5t โดย y(0) = 3 จงหา y(1.5)

y′ + 2y = 8e−0.5ty(0) = 3
y(1.5) =

3สารละลาย

1.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 1.742

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

เลือก u และ dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

ปฏิยานุพันธ์

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

ลิมิต

(−2·cos 2 + sin 2) − (0 + 0) = 1.742

คำตอบ

I = 1.742
2.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 42.67

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

จุดตัด

0.5x2 = 4x → x = 0, x = 8

อินทิเกรตบนลบล่าง

A = [2x2 − 0.1667x3]08 = 42.67

คำตอบ

A = 42.67
3.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: C: Σ (1/3)ᵏ

การลู่เข้า: ถ้าพจน์ไม่ลู่เข้าสู่ 0 อนุกรมจะลู่ออก (การทดสอบพจน์ที่ n) Σ1/kᵖ ลู่เข้าเฉพาะเมื่อ p > 1 และ Σrᵏ ลู่เข้าเฉพาะเมื่อ |r| < 1 ให้เปรียบเทียบอนุกรมกับหนึ่งในนี้เมื่อพจน์ของมันมีพฤติกรรมเหมือนกันสำหรับ k ขนาดใหญ่ การทดสอบอัตราส่วน: L = lim |ak+1/ak|; การทดสอบราก: L = lim |ak|1/k L < 1 ลู่เข้า L > 1 ลู่ออก L = 1 ตัดสินไม่ได้ อนุกรมกำลัง Σck(x − x₀)ᵏ ลู่เข้าสำหรับ |x − x₀| < R โดย R = lim |ck/ck+1|; อนุกรมสลับที่พจน์ลดลงสู่ 0 ลู่เข้า

ทดสอบแต่ละอนุกรม

A: Σ 3ᵏ/k³ → การทดสอบอัตราส่วน: L = 3 > 1 ลู่ออก
B: Σ (k + 3)/k² → มีพฤติกรรมเหมือน 1/k สำหรับ k ขนาดใหญ่: ลู่ออกโดยการเปรียบเทียบกับอนุกรมฮาร์มอนิก
C: Σ (1/3)ᵏ → อนุกรมเรขาคณิตที่ r = 1/3, |r| < 1: ลู่เข้า
D: Σ (5/3)ᵏ → อนุกรมเรขาคณิตที่ r = 5/3 > 1: พจน์เพิ่มขึ้น ดังนั้นลู่ออก

คำตอบ

C: Σ (1/3)ᵏ

คำตอบ

C: Σ (1/3)ᵏ
4.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: n = 7

พหุนามเทย์เลอร์: ใกล้ x = a ฟังก์ชันเรียบประมาณได้ด้วย Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; สำหรับ a = 0 นี่คือพหุนามแมคคลอริน อนุกรมมาตรฐาน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! โดย M คือค่าที่มากที่สุดของ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| ระหว่าง a และ x

n(n + 1)!ขอบเขต013121.5260.53240.12541200.02557200.004167650400.00059527403207.44 × 10⁻⁵

ขอบเขตสำหรับ n ที่เพิ่มขึ้น

n = 6: 0.0005952 ≥ 0.0005
n = 7: 7.44 × 10⁻⁵ < 0.0005

ดีกรีที่น้อยที่สุด

n = 7

คำตอบ

n = 7
5.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: θ = −33.69 °

เกรเดียนต์: ∇f = (fx, fy) ชี้ไปในทิศที่ชันที่สุดขึ้น และ |∇f| คืออัตราการเปลี่ยนแปลงที่มากที่สุด อนุพันธ์ตามทิศทาง v คือ Duf = ∇f·u โดยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u = v/|v| ระนาบสัมผัสที่ (a, b) คือ z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) ซึ่งให้การประมาณเชิงเส้นของ f ใกล้จุดนั้น กฎลูกโซ่: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt

อนุพันธ์ย่อย

fx = −6 cos(−3x + 2y) → fx(0.5, −1) = 5.619
fy = 4 cos(−3x + 2y) → fy(0.5, −1) = −3.746

ทิศทาง

θ = atan2(−3.746, 5.619) = −33.69°

คำตอบ

θ = −33.69°
6.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: I = 6.75

จุดวิกฤตและอินทิกรัลสองชั้น: จุดวิกฤตมี fx = fy = 0 การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองด้วย D = fxxfyy − fxy²: D > 0 และ fxx > 0 คือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ D > 0 และ fxx < 0 คือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ D < 0 คือจุดอานม้า และ D = 0 ตัดสินไม่ได้ สำหรับอินทิกรัลสองชั้นบนบริเวณทั่วไป ให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ สำหรับวงกลมและเซกเตอร์ให้ใช้พิกัดเชิงขั้ว x = r cos θ, y = r sin θ และ dA = r dr dθ (อย่าลืมตัวประกอบ r)

จุดตัด

x² = 3x → x = 0, x = 3

อินทิกรัลชั้นใน

∫x²3x x dy = x(3x − x²) = 3x² − x³

อินทิกรัลชั้นนอก

I = ∫03 (3x² − x³) dx = 6.75

คำตอบ

I = 6.75
7.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(0.5) = 2.207

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = ert: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·er₁t + B·er₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·ert (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 โดย ωn คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

รากซ้ำ

(r + 2)² = 0 → r = −2

ค่าคงที่

A = y(0) = 2
y′(0) = B − 2A → B = 4 + 4 = 8

คำนวณค่า

y(0.5) = (2 + 8·0.5)·e−1 = 2.207

คำตอบ

y(0.5) = 2.207
8.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(1.5) = 2.403

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·ekt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e∫p dx: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

ตัวประกอบอินทิเกรต

μ = e2t
(e2ty)′ = 8e1.5t

คำตอบทั่วไป

y = 8/1.5·e−0.5t + C·e−2t = 5.333·e−0.5t + C·e−2t

เงื่อนไขเริ่มต้น

3 = 5.333 + C → C = −2.333

คำนวณค่า

y(1.5) = 5.333·0.4724 + (−2.333)·0.04979 = 2.403

คำตอบ

y(1.5) = 2.403

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2