แคลคูลัส 2: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

ลำดับและอนุกรม

ลำดับเลขคณิต: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
ลำดับเรขาคณิต: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-อนุกรม: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
การทดสอบอัตราส่วน: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
รัศมีการลู่เข้า: R = lim |c_k/c_k+1|
พหุนามเทย์เลอร์: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
อนุกรมแมคคลอริน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

วิธีการ

ระบุชนิด: เลขคณิต (ผลต่างคงที่) เรขาคณิต (อัตราส่วนคงที่) อนุกรมมาตรฐาน อนุกรมกำลัง หรือพหุนามเทย์เลอร์
สำหรับผลบวกใช้ Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) หรือ S = a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 โดย a₁ คือพจน์แรกของผลบวก
สำหรับการลู่เข้า: การทดสอบพจน์ที่ n ก่อน แล้วเปรียบเทียบกับ Σ1/kᵖ หรืออนุกรมเรขาคณิต และใช้การทดสอบอัตราส่วนหรือรากสำหรับแฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง k
สำหรับพหุนามเทย์เลอร์ ให้เขียนรายการ f(a), f′(a), f″(a), … หารอนุพันธ์อันดับ k ด้วย k! และหาขอบเขตความคลาดเคลื่อนด้วย M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

แคลคูลัสหลายตัวแปร

อนุพันธ์ย่อย: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
เกรเดียนต์: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
อนุพันธ์ตามทิศทาง: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
ระนาบสัมผัส: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
กฎลูกโซ่: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
อินทิกรัลสองชั้น: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
พิกัดเชิงขั้ว: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

วิธีการ

สำหรับอนุพันธ์ย่อย ให้ถือตัวแปรอีกตัวเป็นค่าคงที่และใช้กฎของตัวแปรเดียว
สำหรับโจทย์เกรเดียนต์ ให้คำนวณ ∇f = (f_x, f_y) ที่จุดนั้น ใช้ |∇f| สำหรับความชันสูงสุด และ ∇f·u ด้วยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u สำหรับอนุพันธ์ตามทิศทาง
สำหรับค่าสุดขีด ให้แก้ f_x = 0 และ f_y = 0 พร้อมกัน แล้วจัดประเภททุกจุดด้วย D = f_xx·f_yy − f_xy²
สำหรับอินทิกรัลสองชั้น ให้ร่างบริเวณ เลือกลำดับ (หรือพิกัดเชิงขั้วสำหรับจานวงกลม) เพื่อให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ และอินทิเกรตชั้นในก่อน

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2โจทย์ฝึก

1.อินทิกรัลปานกลาง

บริเวณใต้ y = √(4x) จาก x = 0 ถึง x = 3 ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง (พาราโบลอยด์)

y = √(4x)0 ≤ x ≤ 3

V =

2.อินทิกรัลยาก

บริเวณระหว่างเส้นตรง y = 4x กับพาราโบลา y = 3x² ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง

y = 4xy = 3x²

V =

3.ลำดับและอนุกรมปานกลาง

ใช้การทดสอบอัตราส่วนกับ Σ_k=1^∞ (k!)²·5ᵏ/(2k)! จงหา L = lim |a_k+1/a_k|

a_k = (k!)²·5ᵏ/(2k)!

L =

4.ลำดับและอนุกรมยาก

f(x) = sin x ถูกประมาณที่ x = 0.5 ด้วยพหุนามแมคคลอรินดีกรี n ด้วยขอบเขตของลากรองจ์ M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! และ M = 1 จงหาดีกรีที่น้อยที่สุด n ที่รับประกันว่าความคลาดเคลื่อนต่ำกว่า 1 × 10⁻⁵

f(x) = sin xx = 0.5M = 1ε = 1 × 10⁻⁵

n =

5.แคลคูลัสหลายตัวแปรปานกลาง

ระนาบสัมผัสของ z = 4xy² + x³ − y² + 3xy ที่จุดซึ่ง (x, y) = (−2, −1) เขียนได้เป็น z = px + qy + c จงหา c

f(x, y) = 4xy² + x³ − y² + 3xy(a, b) = (−2, −1)

c =

6.แคลคูลัสหลายตัวแปรยาก

จุดที่ทำเครื่องหมายคือจุดวิกฤตของ f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy ให้คลิกจุดอานม้า

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy

1A (2, 2)
2B (0, 0)
3C (−2, −2)

7.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง

น้ำอัดลมหนึ่งกระป๋องอุณหภูมิ 5 °C ถูกนำออกจากตู้เย็นมาไว้ในห้องที่มีอุณหภูมิ 24 °C หลังผ่านไป 29 min อุณหภูมิเท่ากับ 18 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) จงหาค่าคงที่ k ในหน่วย min⁻¹

T₀ = 5 °CT_a = 24 °CT(29) = 18 °C

k = min⁻¹

8.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก

ระบบเป็นไปตาม y″ + 2y′ + 5y = 10 สำหรับ t ≥ 0 เริ่มจากหยุดนิ่ง: y(0) = 0, y′(0) = 0 จงหา y(0.75) มุมเป็นเรเดียน

y″ + 2y′ + 5y = 10y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.75) =

3สารละลาย

1.อินทิกรัล

คำตอบ: V = 56.55

ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน

วิธีจาน

V = π∫₀³ 4x dx

อินทิเกรต

V = π·4·3²/2 = 56.55

คำตอบ

V = 56.55

2.อินทิกรัล

คำตอบ: V = 15.89

จุดตัด

4x = 3x² → x = 0, x = 1.333

วิธีวงแหวน

V = π∫₀^1.333 ((4x)² − (3x²)²) dx

อินทิเกรต

V = π(16·1.333³/3 − 9·1.333⁵/5) = π·5.057 = 15.89

คำตอบ

V = 15.89

3.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: L = 1.25

อัตราส่วนของพจน์ที่ต่อเนื่องกัน

|a_k+1/a_k| = 5·(k + 1)²/((2k + 2)(2k + 1)) → 5/4

สรุป

L = 1.25 > 1

คำตอบ

L = 1.25

L > 1 ดังนั้นอนุกรมลู่ออก

4.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: n = 6

พหุนามเทย์เลอร์: ใกล้ x = a ฟังก์ชันเรียบประมาณได้ด้วย Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; สำหรับ a = 0 นี่คือพหุนามแมคคลอริน อนุกรมมาตรฐาน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! โดย M คือค่าที่มากที่สุดของ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| ระหว่าง a และ x

ขอบเขตสำหรับ n ที่เพิ่มขึ้น

n = 5: 2.17 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵

n = 6: 1.55 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵

ดีกรีที่น้อยที่สุด

n = 6

คำตอบ

n = 6

5.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: c = 27

เกรเดียนต์: ∇f = (f_x, f_y) ชี้ไปในทิศที่ชันที่สุดขึ้น และ |∇f| คืออัตราการเปลี่ยนแปลงที่มากที่สุด อนุพันธ์ตามทิศทาง v คือ D_uf = ∇f·u โดยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u = v/|v| ระนาบสัมผัสที่ (a, b) คือ z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) ซึ่งให้การประมาณเชิงเส้นของ f ใกล้จุดนั้น กฎลูกโซ่: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt

ค่าและความชันที่จุดนั้น

f(−2, −1) = −11

f_x = 4y² + 3x² + 3y → f_x(−2, −1) = 13

f_y = 8xy − 2y + 3x → f_y(−2, −1) = 12

ระนาบสัมผัส

z = −11 + 13(x + 2) + 12(y + 1)

z = 13x + 12y + 27

พจน์คงที่

c = 27

คำตอบ

c = 27

6.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: B (0, 0)

จุดวิกฤตและอินทิกรัลสองชั้น: จุดวิกฤตมี f_x = f_y = 0 การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองด้วย D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 และ f_xx > 0 คือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ D > 0 และ f_xx < 0 คือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ D < 0 คือจุดอานม้า และ D = 0 ตัดสินไม่ได้ สำหรับอินทิกรัลสองชั้นบนบริเวณทั่วไป ให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ สำหรับวงกลมและเซกเตอร์ให้ใช้พิกัดเชิงขั้ว x = r cos θ, y = r sin θ และ dA = r dr dθ (อย่าลืมตัวประกอบ r)

จุดวิกฤต

แก้ f_x = 0 และ f_y = 0 พร้อมกัน

f_x = 4x³ − 16y = 0

f_y = 4y³ − 16x = 0

(0, 0), (2, 2), (−2, −2)

การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง

(0, 0): f_xx = 0, f_yy = 0, f_xy = −16, D = −256 → จุดอานม้า

(2, 2): f_xx = 48, f_yy = 48, f_xy = −16, D = 2048 → ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

(−2, −2): f_xx = 48, f_yy = 48, f_xy = −16, D = 2048 → ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

จุด

B (0, 0): จุดอานม้า

คำตอบ

B (0, 0)

7.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: k = 0.03975 min⁻¹

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·e^kt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

อัตราส่วนของผลต่างอุณหภูมิ

e^−29k = -6/-19

แก้หา k

k = ln(-19/-6)/29 = 0.03975 min⁻¹

คำตอบ

k = 0.03975 min⁻¹

8.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(0.75) = 1.462

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = e^rt: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·e^rt (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 โดย ω_n คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

ค่าคงตัวและราก

y_ss = 2, r = −1 ± 2j

ค่าคงที่จากค่าเริ่มต้น

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −1A + 2B = 0 → B = −1

คำนวณค่า

y(0.75) = 2·(1 − e^−0.75(cos 1.5 + 0.5·sin 1.5)) = 1.462

คำตอบ

y(0.75) = 1.462

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2