แคลคูลัส 2: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

ลำดับและอนุกรม

ลำดับเลขคณิต: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
ลำดับเรขาคณิต: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-อนุกรม: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
การทดสอบอัตราส่วน: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
รัศมีการลู่เข้า: R = lim |c_k/c_k+1|
พหุนามเทย์เลอร์: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
อนุกรมแมคคลอริน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

วิธีการ

ระบุชนิด: เลขคณิต (ผลต่างคงที่) เรขาคณิต (อัตราส่วนคงที่) อนุกรมมาตรฐาน อนุกรมกำลัง หรือพหุนามเทย์เลอร์
สำหรับผลบวกใช้ Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) หรือ S = a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 โดย a₁ คือพจน์แรกของผลบวก
สำหรับการลู่เข้า: การทดสอบพจน์ที่ n ก่อน แล้วเปรียบเทียบกับ Σ1/kᵖ หรืออนุกรมเรขาคณิต และใช้การทดสอบอัตราส่วนหรือรากสำหรับแฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง k
สำหรับพหุนามเทย์เลอร์ ให้เขียนรายการ f(a), f′(a), f″(a), … หารอนุพันธ์อันดับ k ด้วย k! และหาขอบเขตความคลาดเคลื่อนด้วย M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

แคลคูลัสหลายตัวแปร

อนุพันธ์ย่อย: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
เกรเดียนต์: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
อนุพันธ์ตามทิศทาง: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
ระนาบสัมผัส: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
กฎลูกโซ่: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
อินทิกรัลสองชั้น: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
พิกัดเชิงขั้ว: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

วิธีการ

สำหรับอนุพันธ์ย่อย ให้ถือตัวแปรอีกตัวเป็นค่าคงที่และใช้กฎของตัวแปรเดียว
สำหรับโจทย์เกรเดียนต์ ให้คำนวณ ∇f = (f_x, f_y) ที่จุดนั้น ใช้ |∇f| สำหรับความชันสูงสุด และ ∇f·u ด้วยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u สำหรับอนุพันธ์ตามทิศทาง
สำหรับค่าสุดขีด ให้แก้ f_x = 0 และ f_y = 0 พร้อมกัน แล้วจัดประเภททุกจุดด้วย D = f_xx·f_yy − f_xy²
สำหรับอินทิกรัลสองชั้น ให้ร่างบริเวณ เลือกลำดับ (หรือพิกัดเชิงขั้วสำหรับจานวงกลม) เพื่อให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ และอินทิเกรตชั้นในก่อน

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2โจทย์ฝึก

1.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₂⁸ 5/x dx

f(x) = 5/x[2, 8]

I =

2.อินทิกรัลยาก

จงหาค่าของ I = ∫₀^1.5 x²·eˣ dx

∫₀^1.5 x²eˣ dx

I =

3.ลำดับและอนุกรมปานกลาง

จงหาผลบวก S = Σ_k=1^∞ 3/(k(k + 4))

a_k = 3/(k(k + 4))

S =

4.ลำดับและอนุกรมยาก

ใช้พหุนามแมคคลอรินดีกรี 4 ของ f(x) = e^−x เพื่อประมาณ f(1.2) ให้ P₄(1.2)

f(x) = e^−xn = 4x = 1.2

P₄(1.2) =

5.แคลคูลัสหลายตัวแปรปานกลาง

สำหรับ f(x, y) = −4xy − 3x³ + 3y² จงหาอนุพันธ์ตามทิศทาง D_uf ที่ (3, 1) ในทิศทางของ v = (−3, −2)

f(x, y) = −4xy − 3x³ + 3y²P = (3, 1)v = (−3, −2)

D_uf =

6.แคลคูลัสหลายตัวแปรยาก

ใช้พิกัดเชิงขั้วเพื่อคำนวณ I = ∬_R √(x² + y²) dA เมื่อ R คือ หนึ่งในสี่ของจานวงกลม x² + y² ≤ 1 ในจตุภาคที่หนึ่ง

f = √(x² + y²)0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ π/2

I =

7.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง

จงแก้ y″ + 7y′ + 12y = 0 โดย y(0) = 4 และ y′(0) = -4 จงหา y(1.5)

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 4y′(0) = -4

y(1.5) =

8.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก

ถังบรรจุน้ำบริสุทธิ์ 100 L น้ำเกลือที่มีเกลือ 0.05 kg ต่อลิตรไหลเข้าด้วยอัตรา 5 L/min และสารละลายที่ผสมเข้ากันดีไหลออกด้วยอัตราเท่ากัน ต้องใช้เวลากี่นาที t ในถังจึงมีเกลือ 4 kg

V = 100 Lm₀ = 0 kgc = 0.05 kg/Lr = 5 L/min

t = min

3สารละลาย

1.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 6.931

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ปฏิยานุพันธ์

F(x) = 5·ln x

คำนวณที่ค่าขอบเขต

I = 5·(ln 8 − ln 2) = 5·ln 4 = 6.931

คำตอบ

I = 6.931

2.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 3.602

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

รอบแรก

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

รอบที่สอง

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

ลิมิต

4.482·(1.25) − 1·2 = 3.602

คำตอบ

I = 3.602

3.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: S = 1.562

เศษส่วนย่อย

3/(k(k + 4)) = (3/4)·(1/k − 1/(k + 4))

ยกเลิก

S = (3/4)·(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 1.562

คำตอบ

S = 1.562

4.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: P₄(1.2) = 0.3184

พหุนามเทย์เลอร์: ใกล้ x = a ฟังก์ชันเรียบประมาณได้ด้วย Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; สำหรับ a = 0 นี่คือพหุนามแมคคลอริน อนุกรมมาตรฐาน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! โดย M คือค่าที่มากที่สุดของ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| ระหว่าง a และ x

พหุนามแมคคลอริน

P₄(x) = 1 − x + 0.5x² − 0.1667x³ + 0.04167x⁴

แทนค่า

P₄(1.2) = 1 − 1.2 + 0.72 − 0.288 + 0.0864 = 0.3184

คำตอบ

P₄(1.2) = 0.3184

ค่าที่แท้จริงคือ f(1.2) = 0.301194; ความคลาดเคลื่อน −0.0172058 ลดลงเมื่อใช้พจน์มากขึ้นหรือจุดที่ใกล้ 0 มากขึ้น

5.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: D_uf = 74.05

เกรเดียนต์: ∇f = (f_x, f_y) ชี้ไปในทิศที่ชันที่สุดขึ้น และ |∇f| คืออัตราการเปลี่ยนแปลงที่มากที่สุด อนุพันธ์ตามทิศทาง v คือ D_uf = ∇f·u โดยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u = v/|v| ระนาบสัมผัสที่ (a, b) คือ z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) ซึ่งให้การประมาณเชิงเส้นของ f ใกล้จุดนั้น กฎลูกโซ่: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt

เกรเดียนต์ที่จุดนั้น

f_x = −4y − 9x² → f_x(3, 1) = −85

f_y = −4x + 6y → f_y(3, 1) = −6

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย

|v| = √((−3)² + (−2)²) = 3.606

u = (−0.8321, −0.5547)

ผลคูณจุด

D_uf = (−85)·(−0.8321) + (−6)·(−0.5547) = 74.05

คำตอบ

D_uf = 74.05

6.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: I = 0.5236

จุดวิกฤตและอินทิกรัลสองชั้น: จุดวิกฤตมี f_x = f_y = 0 การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองด้วย D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 และ f_xx > 0 คือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ D > 0 และ f_xx < 0 คือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ D < 0 คือจุดอานม้า และ D = 0 ตัดสินไม่ได้ สำหรับอินทิกรัลสองชั้นบนบริเวณทั่วไป ให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ สำหรับวงกลมและเซกเตอร์ให้ใช้พิกัดเชิงขั้ว x = r cos θ, y = r sin θ และ dA = r dr dθ (อย่าลืมตัวประกอบ r)

รูปเชิงขั้ว

I = ∫₀^π/2 ∫₀¹ r·r dr dθ

อินทิเกรต

∫ r·r dr = [r³/3]

I = 0.5236

คำตอบ

I = 0.5236

7.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(1.5) = 0.1135

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = e^rt: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·e^rt (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 โดย ω_n คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

รากลักษณะเฉพาะ

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

ค่าคงที่จากค่าเริ่มต้น

A + B = 4, −3A − 4B = -4

A = 12, B = −8

คำนวณค่า

y(1.5) = 12·e^−4.5 + (−8)·e⁻⁶ = 0.1135

คำตอบ

y(1.5) = 0.1135

8.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: t = 32.19 min

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·e^kt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

ผลลัพธ์

m(t) = 5 + (−5)·e^−t/20

แก้หา t

e^−t/20 = (5 − 4)/(5 − 0) = 0.2

t = 20·ln(5) = 32.19 min

คำตอบ

t = 32.19 min

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2