แคลคูลัส 2: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

ลำดับและอนุกรม

ลำดับเลขคณิต: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
ลำดับเรขาคณิต: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-อนุกรม: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
การทดสอบอัตราส่วน: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
รัศมีการลู่เข้า: R = lim |c_k/c_k+1|
พหุนามเทย์เลอร์: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
อนุกรมแมคคลอริน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

วิธีการ

ระบุชนิด: เลขคณิต (ผลต่างคงที่) เรขาคณิต (อัตราส่วนคงที่) อนุกรมมาตรฐาน อนุกรมกำลัง หรือพหุนามเทย์เลอร์
สำหรับผลบวกใช้ Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) หรือ S = a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 โดย a₁ คือพจน์แรกของผลบวก
สำหรับการลู่เข้า: การทดสอบพจน์ที่ n ก่อน แล้วเปรียบเทียบกับ Σ1/kᵖ หรืออนุกรมเรขาคณิต และใช้การทดสอบอัตราส่วนหรือรากสำหรับแฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง k
สำหรับพหุนามเทย์เลอร์ ให้เขียนรายการ f(a), f′(a), f″(a), … หารอนุพันธ์อันดับ k ด้วย k! และหาขอบเขตความคลาดเคลื่อนด้วย M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

แคลคูลัสหลายตัวแปร

อนุพันธ์ย่อย: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
เกรเดียนต์: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
อนุพันธ์ตามทิศทาง: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
ระนาบสัมผัส: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
กฎลูกโซ่: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
อินทิกรัลสองชั้น: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
พิกัดเชิงขั้ว: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

วิธีการ

สำหรับอนุพันธ์ย่อย ให้ถือตัวแปรอีกตัวเป็นค่าคงที่และใช้กฎของตัวแปรเดียว
สำหรับโจทย์เกรเดียนต์ ให้คำนวณ ∇f = (f_x, f_y) ที่จุดนั้น ใช้ |∇f| สำหรับความชันสูงสุด และ ∇f·u ด้วยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u สำหรับอนุพันธ์ตามทิศทาง
สำหรับค่าสุดขีด ให้แก้ f_x = 0 และ f_y = 0 พร้อมกัน แล้วจัดประเภททุกจุดด้วย D = f_xx·f_yy − f_xy²
สำหรับอินทิกรัลสองชั้น ให้ร่างบริเวณ เลือกลำดับ (หรือพิกัดเชิงขั้วสำหรับจานวงกลม) เพื่อให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ และอินทิเกรตชั้นในก่อน

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2โจทย์ฝึก

1.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)² dx

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 1]

I =

2.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วย y = x² และ y = 2x

y = x²y = 2x

A =

3.ลำดับและอนุกรมปานกลาง

อนุกรมกำลัง Σ_k=1^∞ (x − 1)ᵏ/(1/2)ᵏ ลู่เข้าบนช่วงรอบ x₀ = 1 จงหาปลายด้านซ้าย x ของช่วงนั้น

Σ (x − 1)ᵏ/(1/2)ᵏx₀ = 1

x =

4.ลำดับและอนุกรมยาก

จงหาสัมประสิทธิ์ c₂ ของ (x − 3)² ในอนุกรมเทย์เลอร์ของ f(x) = 1/x รอบ a = 3

f(x) = 1/xa = 3k = 2

c₂ =

5.แคลคูลัสหลายตัวแปรปานกลาง

สำหรับ f(x, y) = 3xy³ + 3x² − 5y² − xy จงหาอนุพันธ์ตามทิศทาง D_uf ที่ (1, 3) ในทิศทางของ v = (0, −3)

f(x, y) = 3xy³ + 3x² − 5y² − xyP = (1, 3)v = (0, −3)

D_uf =

6.แคลคูลัสหลายตัวแปรยาก

อินทิกรัล I = ∫₀² ∫_y² cos(x²) dx dy ทำในลำดับนี้ไม่ได้ ให้สลับลำดับการอินทิเกรตแล้วคำนวณ

f = cos(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 2

I =

7.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง

จงแก้ y″ + 6y′ + 9y = 0 โดย y(0) = 5 และ y′(0) = -2 จงหา y(1)

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 5y′(0) = -2

y(1) =

8.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก

ถังบรรจุน้ำ 500 L ซึ่งมีเกลือละลายอยู่ 10 kg น้ำเกลือที่มีเกลือ 0.1 kg ต่อลิตรไหลเข้าด้วยอัตรา 20 L/min และสารละลายที่ผสมเข้ากันดีไหลออกด้วยอัตราเท่ากัน หลังผ่านไป 30 min จะมีเกลือในถังเท่าใด m

V = 500 Lm₀ = 10 kgc = 0.1 kg/Lr = 20 L/min

m = kg

3สารละลาย

1.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 2.333

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

การแทนค่า

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u² du

อินทิเกรตและคำนวณค่า

I = [u³/3]₁² = (8 − 1)/3 = 2.333

คำตอบ

I = 2.333

2.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 1.333

จุดตัด

x² = 2x → x = 0, x = 2

อินทิเกรตบนลบล่าง

A = [x² − 0.3333x³]₀² = 1.333

คำตอบ

A = 1.333

3.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: x = 0.5

สัมประสิทธิ์

c_k/c_k+1 = (1/2)

รัศมี

R = 0.5

ช่วง

0.5 < x < 1.5

x = 0.5

คำตอบ

x = 0.5

การทดสอบอัตราส่วนไม่บอกอะไรที่จุดปลายทั้งสอง ต้องตรวจแยกต่างหาก

4.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: c₂ = 0.03704

พหุนามเทย์เลอร์: ใกล้ x = a ฟังก์ชันเรียบประมาณได้ด้วย Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; สำหรับ a = 0 นี่คือพหุนามแมคคลอริน อนุกรมมาตรฐาน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! โดย M คือค่าที่มากที่สุดของ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| ระหว่าง a และ x

อนุพันธ์ f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = 2/x³

สัมประสิทธิ์

c₂ = 2/(3³·2) = 0.03704

c₂ = 0.03704

คำตอบ

c₂ = 0.03704

5.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: D_uf = −50

เกรเดียนต์: ∇f = (f_x, f_y) ชี้ไปในทิศที่ชันที่สุดขึ้น และ |∇f| คืออัตราการเปลี่ยนแปลงที่มากที่สุด อนุพันธ์ตามทิศทาง v คือ D_uf = ∇f·u โดยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u = v/|v| ระนาบสัมผัสที่ (a, b) คือ z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) ซึ่งให้การประมาณเชิงเส้นของ f ใกล้จุดนั้น กฎลูกโซ่: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt

เกรเดียนต์ที่จุดนั้น

f_x = 3y³ + 6x − y → f_x(1, 3) = 84

f_y = 9xy² − 10y − x → f_y(1, 3) = 50

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย

|v| = √(0² + (−3)²) = 3

u = (0, −1)

ผลคูณจุด

D_uf = 84·0 + 50·(−1) = −50

คำตอบ

D_uf = −50

6.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: I = −0.3784

จุดวิกฤตและอินทิกรัลสองชั้น: จุดวิกฤตมี f_x = f_y = 0 การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองด้วย D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 และ f_xx > 0 คือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ D > 0 และ f_xx < 0 คือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ D < 0 คือจุดอานม้า และ D = 0 ตัดสินไม่ได้ สำหรับอินทิกรัลสองชั้นบนบริเวณทั่วไป ให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ สำหรับวงกลมและเซกเตอร์ให้ใช้พิกัดเชิงขั้ว x = r cos θ, y = r sin θ และ dA = r dr dθ (อย่าลืมตัวประกอบ r)

บริเวณ

0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 2

ลำดับที่สลับ

I = ∫₀² ∫₀^x cos(x²) dy dx = ∫₀² x·cos(x²) dx

การแทนค่า u = x²

I = [sin(x²)/2]₀² = −0.3784

คำตอบ

I = −0.3784

7.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(1) = 0.8962

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = e^rt: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·e^rt (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 โดย ω_n คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

รากซ้ำ

(r + 3)² = 0 → r = −3

ค่าคงที่

A = y(0) = 5

y′(0) = B − 3A → B = -2 + 15 = 13

คำนวณค่า

y(1) = (5 + 13·1)·e⁻³ = 0.8962

คำตอบ

y(1) = 0.8962

8.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: m = 37.95 kg

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·e^kt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

ตั้งสมการ

dm/dt = 20·0.1 − (20/500)·m = 2 − 0.04·m

แก้สมการ

ตัวคูณอินทิเกรตคือ e^rt/V คำตอบเข้าใกล้ค่าสมดุล c·V

m(t) = 50 + (−40)·e^−t/25

แทนค่า t

m(30) = 50 + (−40)·0.3012 = 37.95 kg

คำตอบ

m = 37.95 kg

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2