แคลคูลัส 2: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

อินทิกรัล

กฎกำลัง
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต
∫ab f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง
∫ab (f − g) dx

วิธีการ

  1. เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
  2. ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ ex, 1/x, sin และ cos
  3. ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
  4. สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

ลำดับและอนุกรม

ลำดับเลขคณิต
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
ลำดับเรขาคณิต
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-อนุกรม
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
การทดสอบอัตราส่วน
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
รัศมีการลู่เข้า
R = lim |ck/ck+1|
พหุนามเทย์เลอร์
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
อนุกรมแมคคลอริน
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

วิธีการ

  1. ระบุชนิด: เลขคณิต (ผลต่างคงที่) เรขาคณิต (อัตราส่วนคงที่) อนุกรมมาตรฐาน อนุกรมกำลัง หรือพหุนามเทย์เลอร์
  2. สำหรับผลบวกใช้ Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) หรือ S = a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 โดย a₁ คือพจน์แรกของผลบวก
  3. สำหรับการลู่เข้า: การทดสอบพจน์ที่ n ก่อน แล้วเปรียบเทียบกับ Σ1/kᵖ หรืออนุกรมเรขาคณิต และใช้การทดสอบอัตราส่วนหรือรากสำหรับแฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง k
  4. สำหรับพหุนามเทย์เลอร์ ให้เขียนรายการ f(a), f′(a), f″(a), … หารอนุพันธ์อันดับ k ด้วย k! และหาขอบเขตความคลาดเคลื่อนด้วย M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

แคลคูลัสหลายตัวแปร

อนุพันธ์ย่อย
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
เกรเดียนต์
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
อนุพันธ์ตามทิศทาง
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
ระนาบสัมผัส
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
กฎลูกโซ่
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
อินทิกรัลสองชั้น
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
พิกัดเชิงขั้ว
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

วิธีการ

  1. สำหรับอนุพันธ์ย่อย ให้ถือตัวแปรอีกตัวเป็นค่าคงที่และใช้กฎของตัวแปรเดียว
  2. สำหรับโจทย์เกรเดียนต์ ให้คำนวณ ∇f = (fx, fy) ที่จุดนั้น ใช้ |∇f| สำหรับความชันสูงสุด และ ∇f·u ด้วยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u สำหรับอนุพันธ์ตามทิศทาง
  3. สำหรับค่าสุดขีด ให้แก้ fx = 0 และ fy = 0 พร้อมกัน แล้วจัดประเภททุกจุดด้วย D = fxx·fyy − fxy²
  4. สำหรับอินทิกรัลสองชั้น ให้ร่างบริเวณ เลือกลำดับ (หรือพิกัดเชิงขั้วสำหรับจานวงกลม) เพื่อให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ และอินทิเกรตชั้นในก่อน

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล
dy/dt = ky → y = y0ekt
ครึ่งชีวิต
k = ln 2 / t½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
ถังผสม
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2โจทย์ฝึก

1.อินทิกรัลปานกลาง
xy4y = 2x

บริเวณใต้ y = 2x จาก x = 0 ถึง x = 4 ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง (กรวย)

y = 2x0 ≤ x ≤ 4
V =
2.อินทิกรัลยาก
xyy = x2​y = 3x

หาพื้นที่ A ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วย y = x2 และ y = 3x

y = x2y = 3x
A =
3.ลำดับและอนุกรมปานกลาง
k|aₖ₊₁/aₖ|123456789101112

ใช้การทดสอบอัตราส่วนกับ Σk=1∞ k·2ᵏ/5ᵏ จงหา L = lim |ak+1/ak|

ak = k·2ᵏ/5ᵏ
L =
4.ลำดับและอนุกรมยาก

f(x) = eˣ ถูกประมาณที่ x = 1 ด้วยพหุนามแมคคลอรินดีกรี n ด้วยขอบเขตของลากรองจ์ M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! และ M = 3 จงหาดีกรีที่น้อยที่สุด n ที่รับประกันว่าความคลาดเคลื่อนต่ำกว่า 1 × 10⁻⁵

f(x) = eˣx = 1M = 3ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.แคลคูลัสหลายตัวแปรปานกลาง
xy−2−1P

ใช้ระนาบสัมผัสของ f(x, y) = −3x³y + 5x² + 4y² − 2xy ที่ (−2, −1) เพื่อประมาณ f(−1.9, −0.9) ให้การประมาณเชิงเส้น L

f(x, y) = −3x³y + 5x² + 4y² − 2xy(a, b) = (−2, −1)(x, y) = (−1.9, −0.9)
L =
6.แคลคูลัสหลายตัวแปรยาก
xy−20−20AB

จุดที่ทำเครื่องหมายคือจุดวิกฤตของ f(x, y) = x³ + y³ + 6xy ให้คลิกค่าสูงสุดสัมพัทธ์

f(x, y) = x³ + y³ + 6xy
  1. 1A (−2, −2)
  2. 2B (0, 0)
7.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง
tyy(0) = 5y(1.5) = ?

จงแก้ y″ + 6y′ + 9y = 0 โดย y(0) = 5 และ y′(0) = 2 จงหา y(1.5)

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 5y′(0) = 2
y(1.5) =
8.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก
tyK = 10ymax​ = ?

ระบบเป็นไปตาม y″ + 3y′ + 18.25y = 182.5 สำหรับ t ≥ 0 เริ่มจากหยุดนิ่ง: y(0) = 0, y′(0) = 0 จงหาค่ายอด ymax ของการตอบสนองต่อขั้น

y″ + 3y′ + 18.25y = 182.5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =

3สารละลาย

1.อินทิกรัล

คำตอบ: V = 268.1

ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน

วิธีจาน

V = π∫₀4 4x² dx

อินทิเกรต

V = π·4·4³/3 = 268.1

คำตอบ

V = 268.1

ตรวจสอบ: กรวยรัศมี 8 และสูง 4 มี (1/3)πr²h = 268.1

2.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 4.5

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

จุดตัด

x2 = 3x → x = 0, x = 3

อินทิเกรตบนลบล่าง

A = [1.5x2 − 0.3333x3]03 = 4.5

คำตอบ

A = 4.5
3.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: L = 0.4

การลู่เข้า: ถ้าพจน์ไม่ลู่เข้าสู่ 0 อนุกรมจะลู่ออก (การทดสอบพจน์ที่ n) Σ1/kᵖ ลู่เข้าเฉพาะเมื่อ p > 1 และ Σrᵏ ลู่เข้าเฉพาะเมื่อ |r| < 1 ให้เปรียบเทียบอนุกรมกับหนึ่งในนี้เมื่อพจน์ของมันมีพฤติกรรมเหมือนกันสำหรับ k ขนาดใหญ่ การทดสอบอัตราส่วน: L = lim |ak+1/ak|; การทดสอบราก: L = lim |ak|1/k L < 1 ลู่เข้า L > 1 ลู่ออก L = 1 ตัดสินไม่ได้ อนุกรมกำลัง Σck(x − x₀)ᵏ ลู่เข้าสำหรับ |x − x₀| < R โดย R = lim |ck/ck+1|; อนุกรมสลับที่พจน์ลดลงสู่ 0 ลู่เข้า

อัตราส่วนของพจน์ที่ต่อเนื่องกัน

|ak+1/ak| = ((k + 1)/k)·2/5 → 2/5

สรุป

L = 0.4 < 1

คำตอบ

L = 0.4

L < 1 ดังนั้นอนุกรมลู่เข้า

4.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: n = 8

พหุนามเทย์เลอร์: ใกล้ x = a ฟังก์ชันเรียบประมาณได้ด้วย Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; สำหรับ a = 0 นี่คือพหุนามแมคคลอริน อนุกรมมาตรฐาน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! โดย M คือค่าที่มากที่สุดของ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| ระหว่าง a และ x

n(n + 1)!ขอบเขต013121.5260.53240.12541200.02557200.004167650400.00059527403207.44 × 10⁻⁵83628808.267 × 10⁻⁶

ขอบเขตสำหรับ n ที่เพิ่มขึ้น

n = 7: 7.44 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵
n = 8: 8.267 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵

ดีกรีที่น้อยที่สุด

n = 8

คำตอบ

n = 8
5.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: L = −0.2

เกรเดียนต์: ∇f = (fx, fy) ชี้ไปในทิศที่ชันที่สุดขึ้น และ |∇f| คืออัตราการเปลี่ยนแปลงที่มากที่สุด อนุพันธ์ตามทิศทาง v คือ Duf = ∇f·u โดยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u = v/|v| ระนาบสัมผัสที่ (a, b) คือ z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) ซึ่งให้การประมาณเชิงเส้นของ f ใกล้จุดนั้น กฎลูกโซ่: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt

ค่าและความชันที่จุดนั้น

f(−2, −1) = −4
fx = −9x²y + 10x − 2y → fx(−2, −1) = 18
fy = −3x³ + 8y − 2x → fy(−2, −1) = 20

ระนาบสัมผัส

z = −4 + 18(x + 2) + 20(y + 1)
z = 18x + 20y + 52

การประมาณเชิงเส้น

L = −4 + 18·0.1 + 20·0.1 = −0.2

คำตอบ

L = −0.2

ค่าที่แท้จริงคือ f = −0.6493; ระนาบใกล้เคียงเพราะขั้นมีขนาดเล็ก

6.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: A (−2, −2)

จุดวิกฤตและอินทิกรัลสองชั้น: จุดวิกฤตมี fx = fy = 0 การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองด้วย D = fxxfyy − fxy²: D > 0 และ fxx > 0 คือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ D > 0 และ fxx < 0 คือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ D < 0 คือจุดอานม้า และ D = 0 ตัดสินไม่ได้ สำหรับอินทิกรัลสองชั้นบนบริเวณทั่วไป ให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ สำหรับวงกลมและเซกเตอร์ให้ใช้พิกัดเชิงขั้ว x = r cos θ, y = r sin θ และ dA = r dr dθ (อย่าลืมตัวประกอบ r)

จุดวิกฤต

แก้ fx = 0 และ fy = 0 พร้อมกัน

fx = 3x² + 6y = 0
fy = 3y² + 6x = 0
(0, 0), (−2, −2)

การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง

(0, 0): fxx = 0, fyy = 0, fxy = 6, D = −36 → จุดอานม้า
(−2, −2): fxx = −12, fyy = −12, fxy = 6, D = 108 → ค่าสูงสุดสัมพัทธ์

จุด

A (−2, −2): ค่าสูงสุดสัมพัทธ์

คำตอบ

A (−2, −2)
7.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(1.5) = 0.3388

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = ert: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·er₁t + B·er₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·ert (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 โดย ωn คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

รากซ้ำ

(r + 3)² = 0 → r = −3

ค่าคงที่

A = y(0) = 5
y′(0) = B − 3A → B = 2 + 15 = 17

คำนวณค่า

y(1.5) = (5 + 17·1.5)·e−4.5 = 0.3388

คำตอบ

y(1.5) = 0.3388
8.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: ymax = 13.08

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = ert: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·er₁t + B·er₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·ert (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 โดย ωn คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

ค่าคงตัวและราก

yss = 10, r = −1.5 ± 4j

ค่าคงที่จากค่าเริ่มต้น

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10
y′(0) = −1.5A + 4B = 0 → B = −3.75

ยอด

t = π/4 = 0.7854
ymax = 10·(1 + e−1.5·π/4) = 13.08

คำตอบ

ymax = 13.08

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2