แคลคูลัส 2: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

ลำดับและอนุกรม

ลำดับเลขคณิต: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
ลำดับเรขาคณิต: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-อนุกรม: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
การทดสอบอัตราส่วน: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
รัศมีการลู่เข้า: R = lim |c_k/c_k+1|
พหุนามเทย์เลอร์: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
อนุกรมแมคคลอริน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

วิธีการ

ระบุชนิด: เลขคณิต (ผลต่างคงที่) เรขาคณิต (อัตราส่วนคงที่) อนุกรมมาตรฐาน อนุกรมกำลัง หรือพหุนามเทย์เลอร์
สำหรับผลบวกใช้ Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) หรือ S = a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 โดย a₁ คือพจน์แรกของผลบวก
สำหรับการลู่เข้า: การทดสอบพจน์ที่ n ก่อน แล้วเปรียบเทียบกับ Σ1/kᵖ หรืออนุกรมเรขาคณิต และใช้การทดสอบอัตราส่วนหรือรากสำหรับแฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง k
สำหรับพหุนามเทย์เลอร์ ให้เขียนรายการ f(a), f′(a), f″(a), … หารอนุพันธ์อันดับ k ด้วย k! และหาขอบเขตความคลาดเคลื่อนด้วย M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

แคลคูลัสหลายตัวแปร

อนุพันธ์ย่อย: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
เกรเดียนต์: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
อนุพันธ์ตามทิศทาง: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
ระนาบสัมผัส: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
กฎลูกโซ่: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
อินทิกรัลสองชั้น: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
พิกัดเชิงขั้ว: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

วิธีการ

สำหรับอนุพันธ์ย่อย ให้ถือตัวแปรอีกตัวเป็นค่าคงที่และใช้กฎของตัวแปรเดียว
สำหรับโจทย์เกรเดียนต์ ให้คำนวณ ∇f = (f_x, f_y) ที่จุดนั้น ใช้ |∇f| สำหรับความชันสูงสุด และ ∇f·u ด้วยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u สำหรับอนุพันธ์ตามทิศทาง
สำหรับค่าสุดขีด ให้แก้ f_x = 0 และ f_y = 0 พร้อมกัน แล้วจัดประเภททุกจุดด้วย D = f_xx·f_yy − f_xy²
สำหรับอินทิกรัลสองชั้น ให้ร่างบริเวณ เลือกลำดับ (หรือพิกัดเชิงขั้วสำหรับจานวงกลม) เพื่อให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ และอินทิเกรตชั้นในก่อน

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2โจทย์ฝึก

1.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₀³ e^x dx

f(x) = e^x[0, 3]

I =

2.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณระหว่างพาราโบลา y = 9 − x² กับแกน x

y = 9 − x²

A =

3.ลำดับและอนุกรมปานกลาง

มีเพียงหนึ่งในสี่อนุกรมเท่านั้นที่ลู่ออก ให้คลิกอนุกรมนั้น

A: Σ k³/5ᵏB: Σ (2/3)ᵏC: Σ (−1)ᵏ/√kD: Σ (k + 4)/k²

1A: Σ k³/5ᵏ
2B: Σ (2/3)ᵏ
3C: Σ (−1)ᵏ/√k
4D: Σ (k + 4)/k²

4.ลำดับและอนุกรมยาก

ใช้พหุนามแมคคลอรินดีกรี 3 ของ f(x) = ln(1 + 2x) เพื่อประมาณ f(0.25) ให้ P₃(0.25)

f(x) = ln(1 + 2x)n = 3x = 0.25

P₃(0.25) =

5.แคลคูลัสหลายตัวแปรปานกลาง

ระนาบสัมผัสของ z = −4x²y − 4x³ − y³ − xy ที่จุดซึ่ง (x, y) = (−1, −1) เขียนได้เป็น z = px + qy + c จงหา c

f(x, y) = −4x²y − 4x³ − y³ − xy(a, b) = (−1, −1)

c =

6.แคลคูลัสหลายตัวแปรยาก

อินทิกรัล I = ∫₀^1.5 ∫_x^1.5 sin(y²) dy dx ทำในลำดับนี้ไม่ได้ ให้สลับลำดับการอินทิเกรตแล้วคำนวณ

f = sin(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 1.5

I =

7.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง

จงแก้ y″ + 8y′ + 16y = 0 โดย y(0) = 5 และ y′(0) = 4 จงหา y(1.5)

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 5y′(0) = 4

y(1.5) =

8.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก

จงแก้ y″ + 2y′ + 17y = 0 โดย y(0) = 1 และ y′(0) = 0 (ปล่อยจากหยุดนิ่ง) จงหา y(1) มุมเป็นเรเดียน

y″ + 2y′ + 17y = 0y(0) = 1y′(0) = 0

y(1) =

3สารละลาย

1.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 19.09

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ปฏิยานุพันธ์

F(x) = e^x/1

คำนวณที่ค่าขอบเขต

I = (e³ − 1)/1 = (20.09 − 1)/1 = 19.09

คำตอบ

I = 19.09

2.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 36

ค่าศูนย์

9 − x² = 0 → x = ±3

อินทิเกรต

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

คำตอบ

A = 36

3.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: D: Σ (k + 4)/k²

ทดสอบแต่ละอนุกรม

A: Σ k³/5ᵏ → การทดสอบอัตราส่วน: L = 1/5 < 1 ลู่เข้า

B: Σ (2/3)ᵏ → อนุกรมเรขาคณิตที่ r = 2/3, |r| < 1: ลู่เข้า

C: Σ (−1)ᵏ/√k → อนุกรมสลับ โดย 1/√k ลดลงสู่ 0: ลู่เข้า (แบบมีเงื่อนไข)

D: Σ (k + 4)/k² → มีพฤติกรรมเหมือน 1/k สำหรับ k ขนาดใหญ่: ลู่ออกโดยการเปรียบเทียบกับอนุกรมฮาร์มอนิก

คำตอบ

D: Σ (k + 4)/k²

คำตอบ

D: Σ (k + 4)/k²

4.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: P₃(0.25) = 0.4167

พหุนามเทย์เลอร์: ใกล้ x = a ฟังก์ชันเรียบประมาณได้ด้วย Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; สำหรับ a = 0 นี่คือพหุนามแมคคลอริน อนุกรมมาตรฐาน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! โดย M คือค่าที่มากที่สุดของ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| ระหว่าง a และ x

พหุนามแมคคลอริน

P₃(x) = 2x − 2x² + 2.667x³

แทนค่า

P₃(0.25) = 0.5 − 0.125 + 0.0416667 = 0.4167

คำตอบ

P₃(0.25) = 0.4167

ค่าที่แท้จริงคือ f(0.25) = 0.405465; ความคลาดเคลื่อน −0.0112016 ลดลงเมื่อใช้พจน์มากขึ้นหรือจุดที่ใกล้ 0 มากขึ้น

5.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: c = −17

เกรเดียนต์: ∇f = (f_x, f_y) ชี้ไปในทิศที่ชันที่สุดขึ้น และ |∇f| คืออัตราการเปลี่ยนแปลงที่มากที่สุด อนุพันธ์ตามทิศทาง v คือ D_uf = ∇f·u โดยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u = v/|v| ระนาบสัมผัสที่ (a, b) คือ z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) ซึ่งให้การประมาณเชิงเส้นของ f ใกล้จุดนั้น กฎลูกโซ่: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt

ค่าและความชันที่จุดนั้น

f(−1, −1) = 8

f_x = −8xy − 12x² − y → f_x(−1, −1) = −19

f_y = −4x² − 3y² − x → f_y(−1, −1) = −6

ระนาบสัมผัส

z = 8 − 19(x + 1) − 6(y + 1)

z = −19x − 6y − 17

พจน์คงที่

c = −17

คำตอบ

c = −17

6.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: I = 0.8141

จุดวิกฤตและอินทิกรัลสองชั้น: จุดวิกฤตมี f_x = f_y = 0 การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองด้วย D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 และ f_xx > 0 คือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ D > 0 และ f_xx < 0 คือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ D < 0 คือจุดอานม้า และ D = 0 ตัดสินไม่ได้ สำหรับอินทิกรัลสองชั้นบนบริเวณทั่วไป ให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ สำหรับวงกลมและเซกเตอร์ให้ใช้พิกัดเชิงขั้ว x = r cos θ, y = r sin θ และ dA = r dr dθ (อย่าลืมตัวประกอบ r)

บริเวณ

0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 1.5

ลำดับที่สลับ

I = ∫₀^1.5 ∫₀^y sin(y²) dx dy = ∫₀^1.5 y·sin(y²) dy

การแทนค่า u = y²

I = [−cos(y²)/2]₀^1.5 = 0.8141

คำตอบ

I = 0.8141

7.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(1.5) = 0.1016

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = e^rt: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·e^rt (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 โดย ω_n คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

รากซ้ำ

(r + 4)² = 0 → r = −4

ค่าคงที่

A = y(0) = 5

y′(0) = B − 4A → B = 4 + 20 = 24

คำนวณค่า

y(1.5) = (5 + 24·1.5)·e⁻⁶ = 0.1016

คำตอบ

y(1.5) = 0.1016

8.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(1) = −0.3101

รากเชิงซ้อน

r = −1 ± 4j

ค่าคงที่

A = 1, B = 1·1/4 = 0.25

คำนวณค่า

y(1) = e⁻¹(1·cos 4 + 0.25·sin 4) = −0.3101

คำตอบ

y(1) = −0.3101

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2