แคลคูลัส 2: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

ลำดับและอนุกรม

ลำดับเลขคณิต: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
ลำดับเรขาคณิต: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-อนุกรม: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
การทดสอบอัตราส่วน: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
รัศมีการลู่เข้า: R = lim |c_k/c_k+1|
พหุนามเทย์เลอร์: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
อนุกรมแมคคลอริน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

วิธีการ

ระบุชนิด: เลขคณิต (ผลต่างคงที่) เรขาคณิต (อัตราส่วนคงที่) อนุกรมมาตรฐาน อนุกรมกำลัง หรือพหุนามเทย์เลอร์
สำหรับผลบวกใช้ Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) หรือ S = a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 โดย a₁ คือพจน์แรกของผลบวก
สำหรับการลู่เข้า: การทดสอบพจน์ที่ n ก่อน แล้วเปรียบเทียบกับ Σ1/kᵖ หรืออนุกรมเรขาคณิต และใช้การทดสอบอัตราส่วนหรือรากสำหรับแฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง k
สำหรับพหุนามเทย์เลอร์ ให้เขียนรายการ f(a), f′(a), f″(a), … หารอนุพันธ์อันดับ k ด้วย k! และหาขอบเขตความคลาดเคลื่อนด้วย M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

แคลคูลัสหลายตัวแปร

อนุพันธ์ย่อย: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
เกรเดียนต์: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
อนุพันธ์ตามทิศทาง: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
ระนาบสัมผัส: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
กฎลูกโซ่: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
อินทิกรัลสองชั้น: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
พิกัดเชิงขั้ว: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

วิธีการ

สำหรับอนุพันธ์ย่อย ให้ถือตัวแปรอีกตัวเป็นค่าคงที่และใช้กฎของตัวแปรเดียว
สำหรับโจทย์เกรเดียนต์ ให้คำนวณ ∇f = (f_x, f_y) ที่จุดนั้น ใช้ |∇f| สำหรับความชันสูงสุด และ ∇f·u ด้วยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u สำหรับอนุพันธ์ตามทิศทาง
สำหรับค่าสุดขีด ให้แก้ f_x = 0 และ f_y = 0 พร้อมกัน แล้วจัดประเภททุกจุดด้วย D = f_xx·f_yy − f_xy²
สำหรับอินทิกรัลสองชั้น ให้ร่างบริเวณ เลือกลำดับ (หรือพิกัดเชิงขั้วสำหรับจานวงกลม) เพื่อให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ และอินทิเกรตชั้นในก่อน

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2โจทย์ฝึก

1.อินทิกรัลปานกลาง

บริเวณใต้ y = √(x) จาก x = 0 ถึง x = 2 ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง (พาราโบลอยด์)

y = √(x)0 ≤ x ≤ 2

V =

2.อินทิกรัลยาก

บริเวณระหว่างเส้นตรง y = 2x กับพาราโบลา y = x² ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง

y = 2xy = x²

V =

3.ลำดับและอนุกรมปานกลาง

ใช้การทดสอบอัตราส่วนกับ Σ_k=1^∞ kᵏ/(5ᵏ·k!) จงหา L = lim |a_k+1/a_k|

a_k = kᵏ/(5ᵏ·k!)

L =

4.ลำดับและอนุกรมยาก

f(x) = eˣ ถูกประมาณด้วยพหุนามแมคคลอรินดีกรี 4 ที่ x = 0.5 ใช้ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์ M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! โดย M = e^0.5 = 1.649 เพื่อหาความคลาดเคลื่อนสูงสุดที่เป็นไปได้ |R₄|

f(x) = eˣn = 4x = 0.5M = 1.649

|R₄| =

5.แคลคูลัสหลายตัวแปรปานกลาง

สำหรับ f(x, y) = 3 sin(−x − 3y) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงสูงสุดของ f ที่จุด (2, 0.5) นั่นคือ |∇f|

f(x, y) = 3 sin(−x − 3y)P = (2, 0.5)

|∇f| =

6.แคลคูลัสหลายตัวแปรยาก

จงหาจุดวิกฤตของ f(x, y) = x³ − 3x + y² + 6y จัดประเภทมัน และให้ค่า f_min ของ f ที่ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

f(x, y) = x³ − 3x + y² + 6y

f_min =

7.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง

จงแก้ y″ + 2y′ + y = 0 โดย y(0) = 2 และ y′(0) = 2 จงหา y(1.5)

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 2y′(0) = 2

y(1.5) =

8.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก

จงแก้ปัญหาค่าเริ่มต้น y′ + y/x = 6 สำหรับ x > 0 โดย y(1) = −1 จงหา y(3)

y′ + y/x = 6y(1) = −1

y(3) =

3สารละลาย

1.อินทิกรัล

คำตอบ: V = 6.283

ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน

วิธีจาน

V = π∫₀² x dx

อินทิเกรต

V = π·1·2²/2 = 6.283

คำตอบ

V = 6.283

2.อินทิกรัล

คำตอบ: V = 13.4

จุดตัด

2x = 1x² → x = 0, x = 2

วิธีวงแหวน

V = π∫₀² ((2x)² − (1x²)²) dx

อินทิเกรต

V = π(4·2³/3 − 1·2⁵/5) = π·4.267 = 13.4

คำตอบ

V = 13.4

3.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: L = 0.5437

อัตราส่วนของพจน์ที่ต่อเนื่องกัน

|a_k+1/a_k| = (1 + 1/k)ᵏ/5 → e/5

สรุป

L = 0.5437 < 1

คำตอบ

L = 0.5437

L < 1 ดังนั้นอนุกรมลู่เข้า

4.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: |R₄| = 0.0004294

พหุนามเทย์เลอร์: ใกล้ x = a ฟังก์ชันเรียบประมาณได้ด้วย Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; สำหรับ a = 0 นี่คือพหุนามแมคคลอริน อนุกรมมาตรฐาน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! โดย M คือค่าที่มากที่สุดของ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| ระหว่าง a และ x

ขอบเขตของอนุพันธ์

M = e^0.5 = 1.649

ขอบเขตของลากรองจ์

|R₄| ≤ 1.649·0.5⁵/5! = 0.0004294

คำตอบ

|R₄| = 0.0004294

ความคลาดเคลื่อนจริงน้อยกว่า: |f(0.5) − P₄(0.5)| = 0.0002838

5.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: |∇f| = 8.884

เกรเดียนต์: ∇f = (f_x, f_y) ชี้ไปในทิศที่ชันที่สุดขึ้น และ |∇f| คืออัตราการเปลี่ยนแปลงที่มากที่สุด อนุพันธ์ตามทิศทาง v คือ D_uf = ∇f·u โดยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u = v/|v| ระนาบสัมผัสที่ (a, b) คือ z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) ซึ่งให้การประมาณเชิงเส้นของ f ใกล้จุดนั้น กฎลูกโซ่: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt

อนุพันธ์ย่อย

f_x = −3 cos(−x − 3y) → f_x(2, 0.5) = 2.809

f_y = −9 cos(−x − 3y) → f_y(2, 0.5) = 8.428

ความยาวของเกรเดียนต์

|∇f| = √(2.809² + 8.428²) = 8.884

คำตอบ

|∇f| = 8.884

6.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: f_min = −11

จุดวิกฤตและอินทิกรัลสองชั้น: จุดวิกฤตมี f_x = f_y = 0 การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองด้วย D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 และ f_xx > 0 คือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ D > 0 และ f_xx < 0 คือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ D < 0 คือจุดอานม้า และ D = 0 ตัดสินไม่ได้ สำหรับอินทิกรัลสองชั้นบนบริเวณทั่วไป ให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ สำหรับวงกลมและเซกเตอร์ให้ใช้พิกัดเชิงขั้ว x = r cos θ, y = r sin θ และ dA = r dr dθ (อย่าลืมตัวประกอบ r)

จุดวิกฤต

แก้ f_x = 0 และ f_y = 0 พร้อมกัน

f_x = (3x² − 3) = 0

f_y = (2y + 6) = 0

(1, −3), (−1, −3)

การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง

(1, −3): f_xx = 6, f_yy = 2, f_xy = 0, D = 12 → ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

(−1, −3): f_xx = −6, f_yy = 2, f_xy = 0, D = −12 → จุดอานม้า

ค่าที่จุดสุดขีด

f(1, −3) = −11

คำตอบ

f_min = −11

7.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(1.5) = 1.785

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = e^rt: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·e^rt (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 โดย ω_n คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

รากซ้ำ

(r + 1)² = 0 → r = −1

ค่าคงที่

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 1A → B = 2 + 2 = 4

คำนวณค่า

y(1.5) = (2 + 4·1.5)·e^−1.5 = 1.785

คำตอบ

y(1.5) = 1.785

8.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(3) = 7.667

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·e^kt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

ตัวประกอบอินทิเกรต

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

อินทิเกรต

(x¹y)′ = 6x → x¹y = 6x²/2 + C

เงื่อนไขเริ่มต้น

−1 = 6/2 + C → C = −4

คำนวณค่า

y(3) = (6·3²/2 + (−4))/3¹ = 7.667

คำตอบ

y(3) = 7.667

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2