แคลคูลัส 2: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

ลำดับและอนุกรม

ลำดับเลขคณิต: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
ลำดับเรขาคณิต: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-อนุกรม: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
การทดสอบอัตราส่วน: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
รัศมีการลู่เข้า: R = lim |c_k/c_k+1|
พหุนามเทย์เลอร์: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
อนุกรมแมคคลอริน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

วิธีการ

ระบุชนิด: เลขคณิต (ผลต่างคงที่) เรขาคณิต (อัตราส่วนคงที่) อนุกรมมาตรฐาน อนุกรมกำลัง หรือพหุนามเทย์เลอร์
สำหรับผลบวกใช้ Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) หรือ S = a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 โดย a₁ คือพจน์แรกของผลบวก
สำหรับการลู่เข้า: การทดสอบพจน์ที่ n ก่อน แล้วเปรียบเทียบกับ Σ1/kᵖ หรืออนุกรมเรขาคณิต และใช้การทดสอบอัตราส่วนหรือรากสำหรับแฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง k
สำหรับพหุนามเทย์เลอร์ ให้เขียนรายการ f(a), f′(a), f″(a), … หารอนุพันธ์อันดับ k ด้วย k! และหาขอบเขตความคลาดเคลื่อนด้วย M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

แคลคูลัสหลายตัวแปร

อนุพันธ์ย่อย: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
เกรเดียนต์: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
อนุพันธ์ตามทิศทาง: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
ระนาบสัมผัส: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
กฎลูกโซ่: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
อินทิกรัลสองชั้น: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
พิกัดเชิงขั้ว: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

วิธีการ

สำหรับอนุพันธ์ย่อย ให้ถือตัวแปรอีกตัวเป็นค่าคงที่และใช้กฎของตัวแปรเดียว
สำหรับโจทย์เกรเดียนต์ ให้คำนวณ ∇f = (f_x, f_y) ที่จุดนั้น ใช้ |∇f| สำหรับความชันสูงสุด และ ∇f·u ด้วยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u สำหรับอนุพันธ์ตามทิศทาง
สำหรับค่าสุดขีด ให้แก้ f_x = 0 และ f_y = 0 พร้อมกัน แล้วจัดประเภททุกจุดด้วย D = f_xx·f_yy − f_xy²
สำหรับอินทิกรัลสองชั้น ให้ร่างบริเวณ เลือกลำดับ (หรือพิกัดเชิงขั้วสำหรับจานวงกลม) เพื่อให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ และอินทิเกรตชั้นในก่อน

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2โจทย์ฝึก

1.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₀² 2x·(x² + 1)¹ dx

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 2]

I =

2.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณระหว่างพาราโบลา y = 1 − x² กับแกน x

y = 1 − x²

A =

3.ลำดับและอนุกรมปานกลาง

มีเพียงหนึ่งในสี่อนุกรมเท่านั้นที่ลู่เข้า ให้คลิกอนุกรมนั้น

A: Σ 5/k³B: Σ (2k + 1)/(k + 2)C: Σ (k + 5)/k²D: Σ 5/k

1A: Σ 5/k³
2B: Σ (2k + 1)/(k + 2)
3C: Σ (k + 5)/k²
4D: Σ 5/k

4.ลำดับและอนุกรมยาก

จงจำอนุกรมและหาผลบวก: S = Σ_k=1^∞ k·(1/3)ᵏ

a_k = k·(1/3)ᵏ

S =

5.แคลคูลัสหลายตัวแปรปานกลาง

ระนาบสัมผัสของ z = −4xy² + 5x² − 3y² − 4xy ที่จุดซึ่ง (x, y) = (2, 2) เขียนได้เป็น z = px + qy + c จงหา c

f(x, y) = −4xy² + 5x² − 3y² − 4xy(a, b) = (2, 2)

c =

6.แคลคูลัสหลายตัวแปรยาก

f(x, y) = x³ − 3x + y² − 6y มีจุดวิกฤตที่ (−1, 3) จงคำนวณตัวจำแนก D = f_xxf_yy − f_xy² ที่นั่น

f(x, y) = x³ − 3x + y² − 6yP = (−1, 3)

D =

7.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง

ชิ้นส่วนเหล็กหลอมอุณหภูมิ 440 °C ถูกวางทิ้งไว้ให้เย็นลงในโรงงานที่มีอุณหภูมิ 22 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) เมื่อ k = 0.01 min⁻¹ จงหาอุณหภูมิ T หลังผ่านไป 31 min

T₀ = 440 °CT_a = 22 °Ck = 0.01 min⁻¹t = 31 min

T = °C

8.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก

ระบบเป็นไปตาม y″ + 2y′ + 5y = 50 สำหรับ t ≥ 0 เริ่มจากหยุดนิ่ง: y(0) = 0, y′(0) = 0 จงหา y(0.25) มุมเป็นเรเดียน

y″ + 2y′ + 5y = 50y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.25) =

3สารละลาย

1.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 12

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

การแทนค่า

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u¹ du

อินทิเกรตและคำนวณค่า

I = [u²/2]₁⁵ = (25 − 1)/2 = 12

คำตอบ

I = 12

2.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 1.333

ค่าศูนย์

1 − x² = 0 → x = ±1

อินทิเกรต

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

คำตอบ

A = 1.333

3.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: A: Σ 5/k³

ทดสอบแต่ละอนุกรม

A: Σ 5/k³ → p-อนุกรมที่ p = 3 > 1: ลู่เข้า

B: Σ (2k + 1)/(k + 2) → พจน์ลู่เข้าสู่ 2 ไม่ใช่ 0: ลู่ออกโดยการทดสอบพจน์ที่ n

C: Σ (k + 5)/k² → มีพฤติกรรมเหมือน 1/k สำหรับ k ขนาดใหญ่: ลู่ออกโดยการเปรียบเทียบกับอนุกรมฮาร์มอนิก

D: Σ 5/k → พหุคูณของอนุกรมฮาร์มอนิก (p = 1): ลู่ออก

คำตอบ

A: Σ 5/k³

คำตอบ

A: Σ 5/k³

4.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: S = 0.75

พหุนามเทย์เลอร์: ใกล้ x = a ฟังก์ชันเรียบประมาณได้ด้วย Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; สำหรับ a = 0 นี่คือพหุนามแมคคลอริน อนุกรมมาตรฐาน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! โดย M คือค่าที่มากที่สุดของ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| ระหว่าง a และ x

อนุกรมมาตรฐาน

Σ k·xᵏ = x/(1 − x)²

แทนค่า

x = 1/3

S = 0.3333/(1 − 0.3333)² = 0.75

คำตอบ

S = 0.75

5.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: c = 72

เกรเดียนต์: ∇f = (f_x, f_y) ชี้ไปในทิศที่ชันที่สุดขึ้น และ |∇f| คืออัตราการเปลี่ยนแปลงที่มากที่สุด อนุพันธ์ตามทิศทาง v คือ D_uf = ∇f·u โดยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u = v/|v| ระนาบสัมผัสที่ (a, b) คือ z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) ซึ่งให้การประมาณเชิงเส้นของ f ใกล้จุดนั้น กฎลูกโซ่: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt

ค่าและความชันที่จุดนั้น

f(2, 2) = −40

f_x = −4y² + 10x − 4y → f_x(2, 2) = −4

f_y = −8xy − 6y − 4x → f_y(2, 2) = −52

ระนาบสัมผัส

z = −40 − 4(x − 2) − 52(y − 2)

z = −4x − 52y + 72

พจน์คงที่

c = 72

คำตอบ

c = 72

6.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: D = −12

จุดวิกฤตและอินทิกรัลสองชั้น: จุดวิกฤตมี f_x = f_y = 0 การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองด้วย D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 และ f_xx > 0 คือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ D > 0 และ f_xx < 0 คือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ D < 0 คือจุดอานม้า และ D = 0 ตัดสินไม่ได้ สำหรับอินทิกรัลสองชั้นบนบริเวณทั่วไป ให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ สำหรับวงกลมและเซกเตอร์ให้ใช้พิกัดเชิงขั้ว x = r cos θ, y = r sin θ และ dA = r dr dθ (อย่าลืมตัวประกอบ r)

อนุพันธ์อันดับสอง

f_xx = −6, f_yy = 2, f_xy = 0

ตัวจำแนก

D = (−6)·2 − 0² = −12

→ จุดอานม้า

คำตอบ

D = −12

7.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: T = 328.6 °C

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·e^kt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

คำตอบของกฎการเย็นตัว

T(t) = 22 + 418·e^−0.01t

แทนค่า t

T(31) = 22 + 418·0.7334 = 328.6 °C

คำตอบ

T = 328.6 °C

8.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(0.25) = 1.298

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = e^rt: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·e^rt (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 โดย ω_n คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

ค่าคงตัวและราก

y_ss = 10, r = −1 ± 2j

ค่าคงที่จากค่าเริ่มต้น

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −1A + 2B = 0 → B = −5

คำนวณค่า

y(0.25) = 10·(1 − e^−0.25(cos 0.5 + 0.5·sin 0.5)) = 1.298

คำตอบ

y(0.25) = 1.298

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2