ฝึก CFA Level I วิธีเชิงปริมาณและตราสารหนี้: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

มูลค่าของเงินตามเวลา

มูลค่าในอนาคต: FV = PV·(1 + i)ⁿ
มูลค่าปัจจุบัน: PV = FV/(1 + i)ⁿ
หลายงวดต่อปี: i = r/m, N = m·n
เงินงวด มูลค่าปัจจุบัน: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
เงินงวด มูลค่าในอนาคต: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

วิธีการ

วาดเส้นเวลาพร้อมกระแสเงินสดทุกรายการและเวลาของมัน
จับคู่อัตรากับงวด: ใช้อัตรารายเดือนสำหรับการผ่อนรายเดือน
ใช้ FV = PV·(1 + i)ⁿ สำหรับจำนวนเดียว และสูตรเงินงวดสำหรับการจ่ายเท่ากัน
ตรวจสอบเครื่องหมายและขนาดของคำตอบ

NPV และ IRR

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
กระแสเงินสดเท่ากัน: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
อัตราผลตอบแทนภายใน: r ที่ทำให้ NPV = 0
การตัดสินใจ: ยอมรับเมื่อ NPV > 0 (หรือ IRR > ผลตอบแทนที่ต้องการ)

วิธีการ

เขียนกระแสเงินสดทุกรายการพร้อมปี เงินลงทุนที่ปีที่ 0 เป็นลบ
คิดลดกระแสเงินสดแต่ละรายการ: CF_t/(1 + r)^t
บวกรวมเป็น NPV ค่าบวกหมายความว่าโครงการให้ผลตอบแทนมากกว่า r
สำหรับ IRR หาอัตราที่ทำให้ NPV เป็นศูนย์โดยการลองหรือการเทียบสัดส่วน

ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตร

ราคาพันธบัตร: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
ราย 6 เดือน: C/2, y/2 และ 2n งวด
อัตราผลตอบแทนปัจจุบัน: C/P
ราคาและอัตราผลตอบแทน: อัตราผลตอบแทนขึ้น → ราคาลง

วิธีการ

หาดอกเบี้ยต่องวดและอัตราผลตอบแทนต่องวด
ราคา = มูลค่าปัจจุบันของดอกเบี้ย (เงินงวด) + มูลค่าปัจจุบันของมูลค่าที่ตราไว้
สำหรับดอกเบี้ยราย 6 เดือน ใช้ดอกเบี้ยครึ่งหนึ่ง อัตราผลตอบแทนครึ่งหนึ่ง และจำนวนงวดสองเท่า
ตรวจสอบ: ถ้าอัตราผลตอบแทนสูงกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร ราคาจะต่ำกว่ามูลค่าที่ตราไว้

CAPM และ WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
มูลค่ากิจการ: V = E + D

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ: x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง: n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%: ปฏิเสธ H₀ ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น: x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน: b = S_xy/S_xx
ระยะตัดแกน: a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
ส่วนตกค้าง: e = y − ŷ

2โจทย์ฝึก

1.มูลค่าของเงินตามเวลาปานกลาง

เงินงวดจ่าย €8 000 ทุกสิ้นปีเป็นเวลา 16 ปี อัตราดอกเบี้ย 5% ต่อปี จงหามูลค่าปัจจุบัน PV ของเงินงวด

A = €8 000i = 5%n = 16

PV = €

2.มูลค่าของเงินตามเวลายาก

คุณฝาก €6 000 ต้นปีทุกปีเป็นเวลา 15 ปี โดยฝากครั้งแรกวันนี้ บัญชีให้ดอกเบี้ย 7% ต่อปี เมื่อสิ้นปีที่ 15 จะมีเงินในบัญชีเท่าใด จงหา FV

A = €6 000i = 7%n = 15

FV = €

3.NPV และ IRRปานกลาง

การลงทุน €30 000 ให้กระแสเงินสดเมื่อสิ้นปีที่ 1 ถึง 4 ดังนี้: €10 000, €12 000, €8 000, €7 000 ต้นทุนเงินทุนคือ 10% หามูลค่าปัจจุบันสุทธิ NPV

r = 10%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 000CF₂ = 12 000CF₃ = 8 000CF₄ = 7 000

NPV = €

4.NPV และ IRRยาก

เงินลงทุน €10 000 ให้ผลตอบแทน €3 000 ทุกสิ้นปีเป็นเวลา 7 ปี จงหาอัตราผลตอบแทนภายใน IRR เป็นเปอร์เซ็นต์

C₀ = €10 000CF = €3 000n = 7

IRR = %

5.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตรปานกลาง

พันธบัตรมูลค่าที่ตราไว้ €1 000 จ่ายดอกเบี้ยรายปี 5% แบ่งเป็นสองงวดต่อปี และครบกำหนดใน 8 ปี อัตราผลตอบแทนจนครบกำหนดคือ 5.5% ต่อปี หาราคา P ของพันธบัตร

F = €1 000ดอกเบี้ยตราสาร = 5%YTM = 5.5%n = 8

P = €

6.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตรยาก

พันธบัตรมูลค่าที่ตราไว้ €1 000 จ่ายดอกเบี้ยรายปี 4.5% และครบกำหนดใน 4 ปี อัตราผลตอบแทนจนถึงครบกำหนดคือ 3.5% จงหาดูเรชันแบบแมคคอเลย์ D ในหน่วยปี

F = €1 000ดอกเบี้ยตราสาร = 4.5%n = 4YTM = 3.5%

D = ปี

7.CAPM และ WACCปานกลาง

บริษัทมีส่วนของผู้ถือหุ้นมูลค่า €3 000 000 และหนี้สินมูลค่า €6 000 000 ต้นทุนของส่วนผู้ถือหุ้นคือ 14% ต้นทุนหนี้ก่อนภาษีคือ 3% และอัตราภาษีคือ 21% หา WACC

E = €3 000 000D = €6 000 000r_e = 14%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

8.CAPM และ WACCยาก

บริษัทมีหุ้น 2 500 000 หุ้น หุ้นละ €19.00 และพันธบัตร 20 000 ฉบับ ซื้อขายฉบับละ €1 020 ต้นทุนหนี้ก่อนภาษีคือ 3.5% และอัตราภาษีคือ 25.8% หุ้นมีเบตา 1.1 อัตราผลตอบแทนที่ปราศจากความเสี่ยง 2.5% และผลตอบแทนตลาด 9.5% หา WACC

β = 1.1r_f = 2.5%r_m = 9.5%r_d = 3.5%T = 25.8%

WACC = %

9.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 46, 26, 53, 12, 50

n = 5

s =

10.สถิติเชิงพรรณนายาก

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 50 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 สัดส่วน P ของค่าที่ต่ำกว่า 65 คือเท่าใด

μ = 50σ = 12x = 65

P =

11.ความน่าจะเป็นปานกลาง

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาความแปรปรวน Var(X) ของ X

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.25, 0.15, 0.35

Var(X) =

12.ความน่าจะเป็นยาก

ทดสอบชิ้นส่วน 10 ชิ้น แต่ละชิ้นเสียด้วยความน่าจะเป็น 0.1 อย่างอิสระ ความน่าจะเป็น P ที่เสียไม่เกินหนึ่งชิ้นคือเท่าใด

n = 10p = 0.1

P =

13.การแจกแจงปกติปานกลาง

ลาก z ให้พื้นที่แรเงาใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางขวาของ z เป็น 0.0582 หา z เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

A = 0.0582

z =

14.การแจกแจงปกติยาก

เวลาจัดส่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 32 min และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 6 min หาค่า x ที่ต่ำกว่าค่านั้นมี 99% (เปอร์เซ็นไทล์ที่ 99)

μ = 32σ = 6P = 99%

x = min

15.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ตัวอย่าง 16 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 27.5 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 1.5 ประชากรมีการแจกแจงใกล้เคียงปกติ หาค่าความคลาดเคลื่อน E ของช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ย

n = 16x̄ = 27.5s = 1.595%t(15) = 2.131

E =

16.ช่วงความเชื่อมั่นยาก

ไม่ทราบสัดส่วนของสินค้าบกพร่องล่วงหน้า ต้องตรวจสอบสินค้ากี่ชิ้น n เพื่อให้ช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับสัดส่วนมีค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ไม่เกิน 0.05

p = 0.5E = 0.0599%

n =

17.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ตัวอย่างนักเรียน 100 คนมีคะแนนเฉลี่ย 202.9 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง 12 หาตัวสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ = 200

μ₀ = 200x̄ = 202.9s = 12n = 100

t =

18.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก

ต้องใช้ขนาดตัวอย่างเท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 3 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 5 หาขนาดตัวอย่างที่น้อยที่สุด n

σ = 5E = 395%

n =

19.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r

n = 5

r =

20.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = น้ำหนักบรรทุกใน kN และ y = ระยะยืดใน mm ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x เส้นตรงทำนายว่า ŷ = 9 ที่ค่า x ใด

n = 5ŷ = 9

x =

3สารละลาย

1.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: PV = 86702 €

มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)ⁿ เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด

ตัวคูณเงินงวด

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.4581)/0.05 = 10.84

มูลค่าปัจจุบัน

PV = 8 000·10.84 = €86 702.16

คำตอบ

PV = €86 702.16

2.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: FV = 161328 €

ตัวคูณเงินงวดปกติ

((1 + 0.07)¹⁵ − 1)/0.07 = 25.13

เงินงวดต้นงวด

เงินฝากแต่ละครั้งถูกลงทุนนานกว่าหนึ่งปี

FV = 6 000·25.13·1.07 = €161 328.32

คำตอบ

FV = €161 328.32

3.NPV และ IRR

คำตอบ: NPV = −200.1 €

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: คิดลดกระแสเงินสดทุกรายการกลับมาที่วันนี้ด้วยอัตราผลตอบแทนที่ต้องการ r แล้วรวมกัน: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ โครงการที่มี NPV > 0 ให้ผลตอบแทนมากกว่า r และเพิ่มมูลค่า อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) คืออัตราที่ทำให้ NPV = 0

มูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดแต่ละรายการ

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 10 000/1.1 = 9 090.91

CF₂/(1 + 0.1)² = 12 000/1.21 = 9 917.36

CF₃/(1 + 0.1)³ = 8 000/1.331 = 6 010.52

CF₄/(1 + 0.1)⁴ = 7 000/1.464 = 4 781.09

รวมเข้าด้วยกัน

NPV = €−200.12

คำตอบ

NPV = €−200.12

NPV เป็นลบ ดังนั้นโครงการให้ผลตอบแทนน้อยกว่าที่ต้องการ

4.NPV และ IRR

คำตอบ: IRR = 22.93 %

ตัวคูณเงินงวดที่ต้องการ

(1 − (1 + i)⁻⁷)/i = 10 000/3 000 = 3.333

แก้หาอัตรา

ตัวคูณเงินงวดลดลงเมื่ออัตราสูงขึ้น ให้กำหนดช่วงของอัตราแล้วค่อย ๆ ตีกรอบให้แคบลง

i = 22%: 3.416

i = 23%: 3.327

IRR = 22.93%

คำตอบ

IRR = 22.93%

5.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตร

คำตอบ: P = 968 €

การตั้งราคาพันธบัตร: ราคาของพันธบัตรคือมูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสด คิดลดที่อัตราผลตอบแทนจนครบกำหนด (YTM): ดอกเบี้ยจ่ายเป็นเงินงวด และมูลค่าที่ตราไว้จ่ายคืนเมื่อครบกำหนด P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ เมื่ออัตราผลตอบแทนสูงกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร พันธบัตรจะซื้อขายต่ำกว่ามูลค่าที่ตราไว้ และกลับกัน

ต่องวด

C = €25.00, i = 0.0275, N = 16

มูลค่าปัจจุบันของดอกเบี้ย

€25.00·(1 − 0.6479)/0.0275 = €320.11

มูลค่าปัจจุบันของมูลค่าที่ตราไว้

€1 000·0.6479 = €647.87

ราคา

P = €967.99

คำตอบ

P = €967.99

อัตราผลตอบแทนสูงกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร พันธบัตรจึงขายต่ำกว่ามูลค่าที่ตราไว้

6.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตร

คำตอบ: D = 3.754 ปี

ดูเรชัน: ดูเรชันแบบแมคคอเลย์คือเวลาเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักที่พันธบัตรจ่ายกระแสเงินสด โดยใช้มูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดเป็นน้ำหนัก: D = Σ t·PVₜ/P ดูเรชันที่ปรับปรุงแล้ว D/(1 + y) ประมาณการเปลี่ยนแปลงของราคาเป็นร้อยละเมื่อผลตอบแทนเปลี่ยนเล็กน้อย: %ΔP ≈ −D_mod·Δy

มูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดแต่ละรายการ

t = 1: 45/1.035 = 43.48, t·PV = 43.48

t = 2: 45/1.071 = 42.01, t·PV = 84.02

t = 3: 45/1.109 = 40.59, t·PV = 121.76

t = 4: 1045/1.148 = 910.66, t·PV = 3 642.63

ดูเรชัน

P = 1 036.73

D = 3 891.89/1 036.73 = 3.754

คำตอบ

D = 3.754 ปี

7.CAPM และ WACC

คำตอบ: WACC = 6.247 %

ต้นทุนเงินทุน: CAPM ให้ผลตอบแทนที่ผู้ถือหุ้นต้องการ: r_e = r_f + β·(r_m − r_f) ต้นทุนเงินทุนถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักผสมส่วนของผู้ถือหุ้นและหนี้สินตามมูลค่าตลาด: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T) โดย V = E + D ดอกเบี้ยหักภาษีได้ จึงมี (1 − T)

น้ำหนัก

V = €9 000 000, E/V = 0.3333, D/V = 0.6667

WACC

WACC = 0.3333·14% + 0.6667·3%·(1 − 0.21) = 6.247%

คำตอบ

WACC = 6.247%

8.CAPM และ WACC

คำตอบ: WACC = 7.916 %

มูลค่าตลาด

E = 2 500 000·€19.00 = €47 500 000

D = 20 000·€1 020 = €20 400 000

ต้นทุนของส่วนผู้ถือหุ้น (CAPM)

r_e = 2.5% + 1.1·7% = 10.2%

น้ำหนัก

V = €67 900 000, E/V = 0.6996, D/V = 0.3004

WACC

WACC = 0.6996·10.2% + 0.3004·3.5%·(1 − 0.258) = 7.916%

คำตอบ

WACC = 7.916%

9.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 17.69

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 187/5 = 37.4

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = 8.6² + (−11.4)² + 15.6² + (−25.4)² + 12.6² = 1251

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1251/4) = 17.69

คำตอบ

s = 17.69

10.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.8944

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = 1.25

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(1.25) = 0.8944

P = 0.8944

คำตอบ

P = 0.8944

11.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: Var(X) = 5.76

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 0·0.25 + 2·0.25 + 4·0.15 + 6·0.35 = 3.2

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 0·0.25 + 4·0.25 + 16·0.15 + 36·0.35 = 16

ความแปรปรวน

Var(X) = 16 − 3.2² = 5.76

คำตอบ

Var(X) = 5.76

12.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.7361

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

เสียศูนย์ชิ้นและหนึ่งชิ้น

P(X = 0) = 0.9¹⁰ = 0.3487

P(X = 1) = 10·0.1·0.9⁹ = 0.3874

บวกเข้าด้วยกัน

P = 0.3487 + 0.3874 = 0.7361

คำตอบ

P = 0.7361

13.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: z = 1.57

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้ายของ z

Φ(z) = 1 − 0.0582 = 0.9418

อ่านตาราง z ย้อนกลับ

หา 0.9418 ในตารางและอ่านค่า z

z = 1.57

คำตอบ

z = 1.57

14.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 45.96 min

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

z สำหรับเปอร์เซ็นไทล์

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

กลับไปเป็น x

x = 32 + 2.326·6 = 45.96 min

คำตอบ

x = 45.96 min

15.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: E = 0.7991

ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น

ค่าวิกฤต

df = n − 1 = 15, t = 2.131

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 2.131·1.5/√16 = 0.7991

คำตอบ

E = 0.7991

16.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 664

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

แก้หา n

n = 2.576²·0.5·0.5/0.05² = 663.6

ปัดขึ้น

n = 664

คำตอบ

n = 664

17.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: t = 2.417

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

SE = 12/√100 = 12/10 = 1.2

ตัวสถิติทดสอบ

t = (202.9 − 200)/1.2 = 2.417

คำตอบ

t = 2.417

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| > 1.984 ดังนั้นปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)

18.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 11

แก้หา n

n = (1.96·5/3)² = 10.67

ปัดขึ้น

n = 11

คำตอบ

n = 11

19.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r = 0.9598

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 263/5 = 52.6

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 58

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 365.2

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

r = 58/√(10·365.2) = 0.9598

คำตอบ

r = 0.9598

20.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: x = 3.143

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 70/5 = 14

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 70

เส้นถดถอย

b = 70/40 = 1.75

a = 14 − 1.75·6 = 3.5

ŷ = 3.5 + 1.75·x

แก้หา x

x = (9 − 3.5)/1.75 = 3.143

คำตอบ

x = 3.143

นี่คือสื่อฝึกหัดอิสระ ExamProblems ไม่ได้สังกัดหรือได้รับการรับรองจากองค์กรที่จัดสอบ และใช้ชื่อการสอบเพื่ออธิบายเนื้อหาเท่านั้น CFA® and Chartered Financial Analyst® เป็นเครื่องหมายการค้าของ CFA Institute ซึ่งไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ ExamProblems ไม่ได้รับรอง และไม่รับประกันความถูกต้องของ ExamProblems

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income