ฝึก CFA Level I วิธีเชิงปริมาณและตราสารหนี้: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

มูลค่าของเงินตามเวลา

มูลค่าในอนาคต: FV = PV·(1 + i)ⁿ
มูลค่าปัจจุบัน: PV = FV/(1 + i)ⁿ
หลายงวดต่อปี: i = r/m, N = m·n
เงินงวด มูลค่าปัจจุบัน: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
เงินงวด มูลค่าในอนาคต: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

วิธีการ

วาดเส้นเวลาพร้อมกระแสเงินสดทุกรายการและเวลาของมัน
จับคู่อัตรากับงวด: ใช้อัตรารายเดือนสำหรับการผ่อนรายเดือน
ใช้ FV = PV·(1 + i)ⁿ สำหรับจำนวนเดียว และสูตรเงินงวดสำหรับการจ่ายเท่ากัน
ตรวจสอบเครื่องหมายและขนาดของคำตอบ

NPV และ IRR

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
กระแสเงินสดเท่ากัน: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
อัตราผลตอบแทนภายใน: r ที่ทำให้ NPV = 0
การตัดสินใจ: ยอมรับเมื่อ NPV > 0 (หรือ IRR > ผลตอบแทนที่ต้องการ)

วิธีการ

เขียนกระแสเงินสดทุกรายการพร้อมปี เงินลงทุนที่ปีที่ 0 เป็นลบ
คิดลดกระแสเงินสดแต่ละรายการ: CF_t/(1 + r)^t
บวกรวมเป็น NPV ค่าบวกหมายความว่าโครงการให้ผลตอบแทนมากกว่า r
สำหรับ IRR หาอัตราที่ทำให้ NPV เป็นศูนย์โดยการลองหรือการเทียบสัดส่วน

ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตร

ราคาพันธบัตร: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
ราย 6 เดือน: C/2, y/2 และ 2n งวด
อัตราผลตอบแทนปัจจุบัน: C/P
ราคาและอัตราผลตอบแทน: อัตราผลตอบแทนขึ้น → ราคาลง

วิธีการ

หาดอกเบี้ยต่องวดและอัตราผลตอบแทนต่องวด
ราคา = มูลค่าปัจจุบันของดอกเบี้ย (เงินงวด) + มูลค่าปัจจุบันของมูลค่าที่ตราไว้
สำหรับดอกเบี้ยราย 6 เดือน ใช้ดอกเบี้ยครึ่งหนึ่ง อัตราผลตอบแทนครึ่งหนึ่ง และจำนวนงวดสองเท่า
ตรวจสอบ: ถ้าอัตราผลตอบแทนสูงกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร ราคาจะต่ำกว่ามูลค่าที่ตราไว้

CAPM และ WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
มูลค่ากิจการ: V = E + D

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ: x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง: n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%: ปฏิเสธ H₀ ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น: x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน: b = S_xy/S_xx
ระยะตัดแกน: a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
ส่วนตกค้าง: e = y − ŷ

2โจทย์ฝึก

1.มูลค่าของเงินตามเวลาปานกลาง

บัตรเครดิตคิดอัตราดอกเบี้ยตามชื่อ 16% ต่อปี ทบต้นทุกครึ่งปี จงหาอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงต่อปี EAR เป็นเปอร์เซ็นต์

r = 16%m = 2

EAR = %

2.มูลค่าของเงินตามเวลายาก

คุณกู้ €20 000 ที่ดอกเบี้ย 3% ต่อปี ทบต้นรายเดือน และชำระ €450 ทุกสิ้นเดือน ต้องใช้กี่เดือนจึงชำระหนี้หมด (งวดสุดท้ายอาจน้อยกว่า) ตอบเป็นจำนวนงวดที่ชำระ N

P = €20 000A = €4503% / 12

N = งวด

3.NPV และ IRRปานกลาง

การลงทุน €60 000 ให้กระแสเงินสดเมื่อสิ้นปีที่ 1 ถึง 3 ดังนี้: €27 000, €26 000, €15 000 ต้นทุนเงินทุนคือ 5% หามูลค่าปัจจุบันสุทธิ NPV

r = 5%CF₀ = −60 000CF₁ = 27 000CF₂ = 26 000CF₃ = 15 000

NPV = €

4.NPV และ IRRยาก

โครงการมีต้นทุน €20 000 และให้ผลตอบแทน €10 500, €7 500, €9 500 เมื่อสิ้นปีที่ 1 ถึง 3 หาอัตราผลตอบแทนภายใน IRR เป็นเปอร์เซ็นต์

CF₀ = −20 000CF₁ = 10 500CF₂ = 7 500CF₃ = 9 500

IRR = %

5.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตรปานกลาง

พันธบัตรมูลค่าที่ตราไว้ €1 000 จ่ายดอกเบี้ยรายปี 8% แบ่งเป็นสองงวดต่อปี และครบกำหนดใน 6 ปี อัตราผลตอบแทนจนครบกำหนดคือ 2.5% ต่อปี หาราคา P ของพันธบัตร

F = €1 000ดอกเบี้ยตราสาร = 8%YTM = 2.5%n = 6

P = €

6.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตรยาก

พันธบัตรมูลค่าที่ตราไว้ €1 000 ดอกเบี้ยรายปี 7% ครบกำหนดใน 9 ปี ขายในราคา €855 หาอัตราผลตอบแทนจนครบกำหนด YTM เป็นเปอร์เซ็นต์

F = €1 000ดอกเบี้ยตราสาร = 7%n = 9P = €855

YTM = %

7.CAPM และ WACCปานกลาง

บริษัทมีส่วนของผู้ถือหุ้นมูลค่า €4 000 000 และหนี้มูลค่า €2 000 000 WACC คือ 7.11% ต้นทุนของหนี้ก่อนหักภาษีคือ 4.5% และอัตราภาษีคือ 25.8% จงหาต้นทุนของส่วนของผู้ถือหุ้น r_e

E = €4 000 000D = €2 000 000WACC = 7.11%r_d = 4.5%T = 25.8%

r_e = %

8.CAPM และ WACCยาก

บริษัทมีหุ้น 4 000 000 หุ้น หุ้นละ €45.50 และพันธบัตร 40 000 ฉบับ ซื้อขายฉบับละ €1 020 ต้นทุนหนี้ก่อนภาษีคือ 7% และอัตราภาษีคือ 30% หุ้นมีเบตา 1.3 อัตราผลตอบแทนที่ปราศจากความเสี่ยง 3% และผลตอบแทนตลาด 8.5% หา WACC

β = 1.3r_f = 3%r_m = 8.5%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

9.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 38, 32, 19, 58, 27, 58

n = 6

s =

10.สถิติเชิงพรรณนายาก

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 50 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 สัดส่วน P ของค่าที่ต่ำกว่า 26 คือเท่าใด

μ = 50σ = 12x = 26

P =

11.ความน่าจะเป็นปานกลาง

เลือกคณะกรรมการ 4 คนจากกลุ่ม 8 คนได้กี่วิธี N ลำดับไม่สำคัญ

n = 8k = 4

N =

12.ความน่าจะเป็นยาก

ข้อสอบมีคำถามปรนัย 6 ข้อ นักเรียนที่เดาจะตอบถูกแต่ละข้อด้วยความน่าจะเป็น 0.4 อย่างอิสระ ความน่าจะเป็น P ที่จะตอบถูกพอดี 2 ข้อคือเท่าใด

n = 6p = 0.4k = 2

P =

13.การแจกแจงปกติปานกลาง

ลาก z ให้พื้นที่แรเงาระหว่าง −z และ z ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานเป็น 0.7737 หา z เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

A = 0.7737

z =

14.การแจกแจงปกติยาก

มวล X ของผลิตภัณฑ์จากสายการผลิต 1 และ Y จากสายการผลิต 2 เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ: X มีค่าเฉลี่ย 500 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 8 g ส่วน Y มีค่าเฉลี่ย 490 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 6 g จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X มากกว่า Y ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

15.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ตัวอย่าง 7 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 92.5 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 4.5 ประชากรมีการแจกแจงใกล้เคียงปกติ หาขีดจำกัดล่างของช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับค่าเฉลี่ย

n = 7x̄ = 92.5s = 4.590%t(6) = 1.943

ขีดจำกัดล่าง =

16.ช่วงความเชื่อมั่นยาก

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 32 ต้องใช้ขนาดตัวอย่าง n เท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 1.5

σ = 32E = 1.590%

n =

17.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

พนักงาน 8 คนทำแบบทดสอบการพิมพ์ก่อนและหลังหลักสูตรอบรม บันทึกผลต่าง d = หลัง − ก่อน (คำต่อนาที) ของแต่ละคน ค่าเฉลี่ยของผลต่างคือ 5.39 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลต่างคือ 6.1 จงหาค่าสถิติทดสอบแบบจับคู่ t สำหรับ H₀: μ_d = 0

n = 8d̄ = 5.39s_d = 6.1

t =

18.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก

การทดสอบ z ด้านเดียวของ H₀: μ = 50 เทียบกับ H₁: μ < 50 ทำที่ α = 0.10 ด้วยตัวอย่าง 36 ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 6 ในความเป็นจริงค่าเฉลี่ยคือ 47.4 จงหาความน่าจะเป็นของความคลาดเคลื่อนประเภทที่ II β เป็นเปอร์เซ็นต์

μ₀ = 50μ = 47.4σ = 6n = 36α = 0.10

β = %

19.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = น้ำหนักบรรทุกใน kN และ y = ระยะยืดใน mm จงหาสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ r² ของเส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด

n = 6

r² =

20.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = น้ำหนักบรรทุกใน kN และ y = ระยะยืดใน mm ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x จงทำนาย ŷ สำหรับ x = 5

n = 5x = 5

ŷ =

3สารละลาย

1.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: EAR = 16.64 %

มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)ⁿ เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด

อัตราต่องวด

r/m = 0.16/2 = 0.08

ทบตลอดหนึ่งปี

EAR = (1 + 0.08)² − 1 = 1.166 − 1 = 16.64%

คำตอบ

EAR = 16.64%

EAR สูงกว่าอัตราตามชื่อเสมอเมื่อทบต้นมากกว่าหนึ่งครั้งต่อปี

2.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: N = 48 งวด

จัดรูปสูตรเงินงวดใหม่

i = 0.0025

(1 + i)^−N = 1 − 20 000·0.0025/450 = 0.8889

แก้ด้วยลอการิทึม

N = −ln(0.8889)/ln(1.002) = 47.17

ปัดขึ้นเป็นจำนวนงวด

การชำระเต็ม 47 งวดยังเหลือยอดเล็กน้อย ซึ่งงวดสุดท้ายที่น้อยกว่าจะชำระให้หมด

N = 48

คำตอบ

N = 48 งวด

3.NPV และ IRR

คำตอบ: NPV = 2255 €

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: คิดลดกระแสเงินสดทุกรายการกลับมาที่วันนี้ด้วยอัตราผลตอบแทนที่ต้องการ r แล้วรวมกัน: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ โครงการที่มี NPV > 0 ให้ผลตอบแทนมากกว่า r และเพิ่มมูลค่า อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) คืออัตราที่ทำให้ NPV = 0

มูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดแต่ละรายการ

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.05)¹ = 27 000/1.05 = 25 714.29

CF₂/(1 + 0.05)² = 26 000/1.103 = 23 582.77

CF₃/(1 + 0.05)³ = 15 000/1.158 = 12 957.56

รวมเข้าด้วยกัน

NPV = €2 254.62

คำตอบ

NPV = €2 254.62

NPV เป็นบวก ดังนั้นโครงการให้ผลตอบแทนมากกว่าที่ต้องการ

4.NPV และ IRR

คำตอบ: IRR = 18.21 %

กำหนดช่วงของ IRR

NPV ลดลงเมื่ออัตราเพิ่มขึ้น ดังนั้น IRR จึงอยู่ระหว่างอัตราที่ให้ NPV เป็นบวกกับอัตราที่ให้ NPV เป็นลบ

NPV(15%) = 1 047.92

NPV(20%) = −543.98

บีบช่วงให้แคบลง

การเทียบสัดส่วนเชิงเส้นให้ค่าประมาณแรก ทำซ้ำ (หรือใช้ฟังก์ชัน IRR ของเครื่องคิดเลข) จะได้อัตราที่แน่นอน

IRR ≈ 15 + 5·1 047.92/(1 047.92 − (−543.98)) = 18.29%

ค่าที่แน่นอน: NPV(18.21%) = 0 → IRR = 18.21%

คำตอบ

IRR = 18.21%

5.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตร

คำตอบ: P = 1305 €

การตั้งราคาพันธบัตร: ราคาของพันธบัตรคือมูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสด คิดลดที่อัตราผลตอบแทนจนครบกำหนด (YTM): ดอกเบี้ยจ่ายเป็นเงินงวด และมูลค่าที่ตราไว้จ่ายคืนเมื่อครบกำหนด P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ เมื่ออัตราผลตอบแทนสูงกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร พันธบัตรจะซื้อขายต่ำกว่ามูลค่าที่ตราไว้ และกลับกัน

ต่องวด

C = €40.00, i = 0.0125, N = 12

มูลค่าปัจจุบันของดอกเบี้ย

€40.00·(1 − 0.8615)/0.0125 = €443.17

มูลค่าปัจจุบันของมูลค่าที่ตราไว้

€1 000·0.8615 = €861.51

ราคา

P = €1 304.68

คำตอบ

P = €1 304.68

อัตราผลตอบแทนต่ำกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร พันธบัตรจึงขายสูงกว่ามูลค่าที่ตราไว้

6.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตร

คำตอบ: YTM = 9.464 %

สมการของอัตราผลตอบแทน

€855 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

แก้เชิงตัวเลข

P(9%) = €880.10, P(10%) = €827.23

YTM = 9.464%

คำตอบ

YTM = 9.464%

7.CAPM และ WACC

คำตอบ: r_e = 8.995 %

ต้นทุนเงินทุน: CAPM ให้ผลตอบแทนที่ผู้ถือหุ้นต้องการ: r_e = r_f + β·(r_m − r_f) ต้นทุนเงินทุนถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักผสมส่วนของผู้ถือหุ้นและหนี้สินตามมูลค่าตลาด: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T) โดย V = E + D ดอกเบี้ยหักภาษีได้ จึงมี (1 − T)

น้ำหนัก

V = €6 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

ส่วนของหนี้ใน WACC

0.3333·4.5%·(1 − 0.258) = 1.113%

ต้นทุนของส่วนผู้ถือหุ้น

r_e = (7.11% − 1.113%)/0.6667 = 8.995%

คำตอบ

r_e = 8.995%

8.CAPM และ WACC

คำตอบ: WACC = 9.189 %

มูลค่าตลาด

E = 4 000 000·€45.50 = €182 000 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

ต้นทุนของส่วนผู้ถือหุ้น (CAPM)

r_e = 3% + 1.3·5.5% = 10.15%

น้ำหนัก

V = €222 800 000, E/V = 0.8169, D/V = 0.1831

WACC

WACC = 0.8169·10.15% + 0.1831·7%·(1 − 0.3) = 9.189%

คำตอบ

WACC = 9.189%

9.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 16.22

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 232/6 = 38.67

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = (−0.6667)² + (−6.667)² + (−19.67)² + 19.33² + (−11.67)² + 19.33² = 1315

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1315/5) = 16.22

คำตอบ

s = 16.22

10.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.02275

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = −2

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

คำตอบ

P = 0.02275

11.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: N = 70

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

การจัดหมู่

C(8, 4) = (8·7·6·5)/(4·3·2·1) = 70

คำตอบ

N = 70

12.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.311

สูตรทวินาม

P(X = 2) = 15·0.4²·0.6⁴ = 15·0.16·0.1296 = 0.311

คำตอบ

P = 0.311

13.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: z = 1.21

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้ายของ z

Φ(z) = (1 + 0.7737)/2 = 0.8869

อ่านตาราง z ย้อนกลับ

หา 0.8869 ในตารางและอ่านค่า z

z = 1.21

คำตอบ

z = 1.21

14.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.8413

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลต่าง

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (0 − 10)/10 = −1

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

คำตอบ

P = 0.8413

15.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: ขีดจำกัดล่าง = 89.2

ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น

ค่าวิกฤต

df = n − 1 = 6, t = 1.943

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 1.943·4.5/√7 = 3.305

ช่วง

92.5 ± 3.305 → [89.2, 95.8]

คำตอบ

ขีดจำกัดล่าง = 89.2

16.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 1232

แก้หา n

n = (1.645·32/1.5)² = 1232

ปัดขึ้น

ขนาดตัวอย่างเป็นจำนวนเต็ม และการปัดลงจะทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนมากเกินไป

n = 1232

คำตอบ

n = 1232

17.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: t = 2.499

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของผลต่างเฉลี่ย

SE = 6.1/√8 = 2.157

ตัวสถิติทดสอบ

t = 5.39/2.157 = 2.499

คำตอบ

t = 2.499

เมื่อ df = 7 ค่าวิกฤตสองด้านที่ 5% คือ 2.365 |t| มากกว่า จึงปฏิเสธ H₀

18.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: β = 9.375 %

กำลังของการทดสอบ: กำลัง = 1 − β คือความน่าจะเป็นที่จะปฏิเสธ H₀ เมื่อ H₀ ผิด ให้หาค่าตัดแบ่ง x̄c จาก μ₀ และ z_α แล้วคำนวณความน่าจะเป็นที่ตกเลย x̄c โดยใช้ค่าเฉลี่ยจริง: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)

ค่าเฉลี่ยตัวอย่างวิกฤต

SE = 6/√36 = 1

x̄_c = 50 − 1.282·1 = 48.72

z ภายใต้ค่าเฉลี่ยจริง

z = (48.72 − 47.4)/1 = 1.318

ความคลาดเคลื่อนประเภทที่ II

กำลังของการทดสอบ = P(Z < 1.318) = 90.62%

β = 100% − 90.62% = 9.375%

คำตอบ

β = 9.375%

19.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r² = 0.979

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 147/6 = 24.5

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 241

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 847.5

สัมประสิทธิ์การตัดสินใจ

r² = 241²/(70·847.5) = 0.979

คำตอบ

r² = 0.979

ประมาณ 97.9% ของความผันแปรของ y อธิบายได้ด้วยเส้นตรง

20.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: ŷ = 14.75

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 88/5 = 17.6

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 114

เส้นถดถอย

b = 114/40 = 2.85

a = 17.6 − 2.85·6 = 0.5

ŷ = 0.5 + 2.85·x

การทำนาย

ŷ = 0.5 + 2.85·5 = 14.75

คำตอบ

ŷ = 14.75

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income