ฝึก CFA Level I วิธีเชิงปริมาณและตราสารหนี้: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

มูลค่าของเงินตามเวลา

มูลค่าในอนาคต: FV = PV·(1 + i)ⁿ
มูลค่าปัจจุบัน: PV = FV/(1 + i)ⁿ
หลายงวดต่อปี: i = r/m, N = m·n
เงินงวด มูลค่าปัจจุบัน: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
เงินงวด มูลค่าในอนาคต: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

วิธีการ

วาดเส้นเวลาพร้อมกระแสเงินสดทุกรายการและเวลาของมัน
จับคู่อัตรากับงวด: ใช้อัตรารายเดือนสำหรับการผ่อนรายเดือน
ใช้ FV = PV·(1 + i)ⁿ สำหรับจำนวนเดียว และสูตรเงินงวดสำหรับการจ่ายเท่ากัน
ตรวจสอบเครื่องหมายและขนาดของคำตอบ

NPV และ IRR

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
กระแสเงินสดเท่ากัน: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
อัตราผลตอบแทนภายใน: r ที่ทำให้ NPV = 0
การตัดสินใจ: ยอมรับเมื่อ NPV > 0 (หรือ IRR > ผลตอบแทนที่ต้องการ)

วิธีการ

เขียนกระแสเงินสดทุกรายการพร้อมปี เงินลงทุนที่ปีที่ 0 เป็นลบ
คิดลดกระแสเงินสดแต่ละรายการ: CF_t/(1 + r)^t
บวกรวมเป็น NPV ค่าบวกหมายความว่าโครงการให้ผลตอบแทนมากกว่า r
สำหรับ IRR หาอัตราที่ทำให้ NPV เป็นศูนย์โดยการลองหรือการเทียบสัดส่วน

ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตร

ราคาพันธบัตร: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
ราย 6 เดือน: C/2, y/2 และ 2n งวด
อัตราผลตอบแทนปัจจุบัน: C/P
ราคาและอัตราผลตอบแทน: อัตราผลตอบแทนขึ้น → ราคาลง

วิธีการ

หาดอกเบี้ยต่องวดและอัตราผลตอบแทนต่องวด
ราคา = มูลค่าปัจจุบันของดอกเบี้ย (เงินงวด) + มูลค่าปัจจุบันของมูลค่าที่ตราไว้
สำหรับดอกเบี้ยราย 6 เดือน ใช้ดอกเบี้ยครึ่งหนึ่ง อัตราผลตอบแทนครึ่งหนึ่ง และจำนวนงวดสองเท่า
ตรวจสอบ: ถ้าอัตราผลตอบแทนสูงกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร ราคาจะต่ำกว่ามูลค่าที่ตราไว้

CAPM และ WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
มูลค่ากิจการ: V = E + D

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ: x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง: n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%: ปฏิเสธ H₀ ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น: x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน: b = S_xy/S_xx
ระยะตัดแกน: a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
ส่วนตกค้าง: e = y − ŷ

2โจทย์ฝึก

1.มูลค่าของเงินตามเวลาปานกลาง

อสังหาริมทรัพย์คาดว่าจะให้ค่าเช่าสุทธิ €12 000 ในปีหน้า ค่าเช่าคาดว่าจะเติบโต 1.5% ต่อปีตลอดไป ผลตอบแทนที่ต้องการคือ 4.5% ต่อปี จงหามูลค่า PV ของอสังหาริมทรัพย์ในวันนี้

C₁ = €12 000g = 1.5%r = 4.5%

PV = €

2.มูลค่าของเงินตามเวลายาก

คุณฝาก €2 000 ต้นปีทุกปีเป็นเวลา 10 ปี โดยฝากครั้งแรกวันนี้ บัญชีให้ดอกเบี้ย 3% ต่อปี เมื่อสิ้นปีที่ 10 จะมีเงินในบัญชีเท่าใด จงหา FV

A = €2 000i = 3%n = 10

FV = €

3.NPV และ IRRปานกลาง

การลงทุน €20 000 ให้กระแสเงินสดเมื่อสิ้นปีที่ 1 ถึง 4 ดังนี้: €4 000, €6 000, €8 000, €10 000 ต้นทุนเงินทุนคือ 15% หามูลค่าปัจจุบันสุทธิ NPV

r = 15%CF₀ = −20 000CF₁ = 4 000CF₂ = 6 000CF₃ = 8 000CF₄ = 10 000

NPV = €

4.NPV และ IRRยาก

โครงการมีต้นทุน €10 000 และให้ผลตอบแทน €6 000, €5 000 เมื่อสิ้นปีที่ 1 ถึง 2 หาอัตราผลตอบแทนภายใน IRR เป็นเปอร์เซ็นต์

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 000CF₂ = 5 000

IRR = %

5.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตรปานกลาง

คุณซื้อพันธบัตรที่เหลืออายุ 5 ปี (มูลค่าที่ตราไว้ €1 000 ดอกเบี้ยรายปี 8%) เมื่ออัตราผลตอบแทนจนถึงครบกำหนดเป็น 7% หนึ่งปีต่อมา หลังได้รับดอกเบี้ยงวดแรกทันที คุณขายเมื่ออัตราผลตอบแทนจนถึงครบกำหนดเป็น 6.5% จงหาผลตอบแทนตลอดระยะเวลาถือครอง HPR เป็นเปอร์เซ็นต์

F = €1 000ดอกเบี้ยตราสาร = 8%n = 5y₀ = 7%y₁ = 6.5%

HPR = %

6.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตรยาก

พันธบัตรมูลค่าที่ตราไว้ €1 000 ดอกเบี้ยรายปี 4% ครบกำหนดใน 8 ปี ขายในราคา €875 หาอัตราผลตอบแทนจนครบกำหนด YTM เป็นเปอร์เซ็นต์

F = €1 000ดอกเบี้ยตราสาร = 4%n = 8P = €875

YTM = %

7.CAPM และ WACCปานกลาง

บริษัทมีอัตราส่วนหนี้สินต่อส่วนของผู้ถือหุ้น (ตามมูลค่าตลาด) 1 ต้นทุนของส่วนของผู้ถือหุ้นคือ 13% ต้นทุนของหนี้ก่อนหักภาษีคือ 4.5% และอัตราภาษีคือ 20% จงหา WACC

D/E = 1r_e = 13%r_d = 4.5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM และ WACCยาก

หุ้นของบริษัทมีเบต้า 1 ที่อัตราส่วนหนี้สินต่อส่วนของผู้ถือหุ้นปัจจุบัน 0.2 บริษัทวางแผนเพิ่มอัตราส่วนหนี้สินต่อส่วนของผู้ถือหุ้นเป็น 0.6 อัตราภาษีคือ 30% อัตราปลอดความเสี่ยง 3% และส่วนชดเชยความเสี่ยงของตลาด 6% จงหาต้นทุนของส่วนของผู้ถือหุ้น r_e หลังการเปลี่ยนแปลง

β_L = 1D/E₁ = 0.2D/E₂ = 0.6T = 30%r_f = 3%r_m − r_f = 6%

r_e = %

9.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 20, 40, 14, 27, 18, 57, 26

n = 7

s =

10.สถิติเชิงพรรณนายาก

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 50 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 สัดส่วน P ของค่าที่สูงกว่า 44 คือเท่าใด

μ = 50σ = 12x = 44

P =

11.ความน่าจะเป็นปานกลาง

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาความแปรปรวน Var(X) ของ X

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.35, 0.35, 0.05

Var(X) =

12.ความน่าจะเป็นยาก

ข้อสอบมีคำถามปรนัย 11 ข้อ นักเรียนที่เดาจะตอบถูกแต่ละข้อด้วยความน่าจะเป็น 0.1 อย่างอิสระ ความน่าจะเป็น P ที่จะตอบถูกพอดี 4 ข้อคือเท่าใด

n = 11p = 0.1k = 4

P =

13.การแจกแจงปกติปานกลาง

X มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 120 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.3 mm Y เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 80 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.4 mm จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X + Y มากกว่า 199.6 mm ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 199.6 mm

P =

14.การแจกแจงปกติยาก

เวลาต่อรอบของนักวิ่ง A คือ X และของนักวิ่ง B คือ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ: X มีค่าเฉลี่ย 52 s และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 4 s ส่วน Y มีค่าเฉลี่ย 48 s และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 s จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X มากกว่า Y ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

15.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ตัวอย่าง 13 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 48 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 12.5 ประชากรมีการแจกแจงใกล้เคียงปกติ หาขีดจำกัดล่างของช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ย

n = 13x̄ = 48s = 12.595%t(12) = 2.179

ขีดจำกัดล่าง =

16.ช่วงความเชื่อมั่นยาก

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 34 ต้องใช้ขนาดตัวอย่าง n เท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 0.5

σ = 34E = 0.595%

n =

17.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

สายการผลิตสองสายผลิตชิ้นส่วนเดียวกัน สายที่ 1: ตัวอย่าง 40 ชิ้นมีความยาวเฉลี่ย 86 mm และทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของสายคือ 7 mm สายที่ 2: ตัวอย่าง 50 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 83 mm ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 mm จงหาค่าสถิติทดสอบ z สำหรับ H₀: μ₁ = μ₂ โดยให้ผลต่างเป็น x̄₁ − x̄₂ (สายที่ 1 ลบสายที่ 2)

n₁ = 40x̄₁ = 86 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 50x̄₂ = 83 mmσ₂ = 12 mm

z =

18.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก

ในการทดลองหนึ่ง ผู้ป่วยที่ได้รับการรักษา A หายป่วย 75 จาก 150 คน และผู้ป่วยที่ได้รับการรักษา B หายป่วย 50 จาก 80 คน จงใช้สัดส่วนรวมหาค่าสถิติทดสอบ z สำหรับ H₀: p₁ = p₂

x₁ = 75n₁ = 150x₂ = 50n₂ = 80

z =

19.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ กำหนดผลรวมมาให้ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r จากผลรวมเหล่านี้

n = 6Σx = 48Σy = 365Σx² = 454Σy² = 22691Σxy = 3099

r =

20.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = อุณหภูมิใน °C และ y = ไอศกรีมที่ขายได้ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x มีข้อมูลสังเกตใหม่ (21, 92) จงหาส่วนตกค้าง e = y − ŷ

n = 6(21, 92)

e =

3สารละลาย

1.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: PV = 400000 €

มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)ⁿ เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด

เงินงวดตลอดกาลที่เติบโต

PV = C₁/(r − g) = 12 000/(0.045 − 0.015) = 12 000/0.03 = €400 000.00

คำตอบ

PV = €400 000.00

2.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: FV = 23616 €

ตัวคูณเงินงวดปกติ

((1 + 0.03)¹⁰ − 1)/0.03 = 11.46

เงินงวดต้นงวด

เงินฝากแต่ละครั้งถูกลงทุนนานกว่าหนึ่งปี

FV = 2 000·11.46·1.03 = €23 615.59

คำตอบ

FV = €23 615.59

3.NPV และ IRR

คำตอบ: NPV = −1007 €

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: คิดลดกระแสเงินสดทุกรายการกลับมาที่วันนี้ด้วยอัตราผลตอบแทนที่ต้องการ r แล้วรวมกัน: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ โครงการที่มี NPV > 0 ให้ผลตอบแทนมากกว่า r และเพิ่มมูลค่า อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) คืออัตราที่ทำให้ NPV = 0

มูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดแต่ละรายการ

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.15)¹ = 4 000/1.15 = 3 478.26

CF₂/(1 + 0.15)² = 6 000/1.322 = 4 536.86

CF₃/(1 + 0.15)³ = 8 000/1.521 = 5 260.13

CF₄/(1 + 0.15)⁴ = 10 000/1.749 = 5 717.53

รวมเข้าด้วยกัน

NPV = €−1 007.21

คำตอบ

NPV = €−1 007.21

NPV เป็นลบ ดังนั้นโครงการให้ผลตอบแทนน้อยกว่าที่ต้องการ

4.NPV และ IRR

คำตอบ: IRR = 6.811 %

กำหนดช่วงของ IRR

NPV ลดลงเมื่ออัตราเพิ่มขึ้น ดังนั้น IRR จึงอยู่ระหว่างอัตราที่ให้ NPV เป็นบวกกับอัตราที่ให้ NPV เป็นลบ

NPV(5%) = 249.43

NPV(10%) = −413.22

บีบช่วงให้แคบลง

การเทียบสัดส่วนเชิงเส้นให้ค่าประมาณแรก ทำซ้ำ (หรือใช้ฟังก์ชัน IRR ของเครื่องคิดเลข) จะได้อัตราที่แน่นอน

IRR ≈ 5 + 5·249.43/(249.43 − (−413.22)) = 6.882%

ค่าที่แน่นอน: NPV(6.811%) = 0 → IRR = 6.811%

คำตอบ

IRR = 6.811%

5.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตร

คำตอบ: HPR = 8.683 %

การตั้งราคาพันธบัตร: ราคาของพันธบัตรคือมูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสด คิดลดที่อัตราผลตอบแทนจนครบกำหนด (YTM): ดอกเบี้ยจ่ายเป็นเงินงวด และมูลค่าที่ตราไว้จ่ายคืนเมื่อครบกำหนด P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ เมื่ออัตราผลตอบแทนสูงกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร พันธบัตรจะซื้อขายต่ำกว่ามูลค่าที่ตราไว้ และกลับกัน

ราคาซื้อ

C = €80.00, i = 0.07, N = 5

€80.00·(1 − 0.713)/0.07 + €1 000·0.713 = €328.02 + €712.99 = €1 041.00

ราคาขาย

C = €80.00, i = 0.065, N = 4

€80.00·(1 − 0.7773)/0.065 + €1 000·0.7773 = €274.06 + €777.32 = €1 051.39

ผลตอบแทนตลอดระยะเวลาถือครอง

HPR = (80 + 1 051.39 − 1 041.00)/1 041.00 = 8.683%

คำตอบ

HPR = 8.683%

6.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตร

คำตอบ: YTM = 6.014 %

สมการของอัตราผลตอบแทน

€875 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

แก้เชิงตัวเลข

P(6%) = €875.80, P(7%) = €820.86

YTM = 6.014%

คำตอบ

YTM = 6.014%

7.CAPM และ WACC

คำตอบ: WACC = 8.3 %

ต้นทุนเงินทุน: CAPM ให้ผลตอบแทนที่ผู้ถือหุ้นต้องการ: r_e = r_f + β·(r_m − r_f) ต้นทุนเงินทุนถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักผสมส่วนของผู้ถือหุ้นและหนี้สินตามมูลค่าตลาด: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T) โดย V = E + D ดอกเบี้ยหักภาษีได้ จึงมี (1 − T)

น้ำหนักจาก D/E

E/V = 1/(1 + 1) = 0.5

D/V = 1/(1 + 1) = 0.5

WACC

WACC = 0.5·13% + 0.5·4.5%·(1 − 0.2) = 8.3%

คำตอบ

WACC = 8.3%

8.CAPM และ WACC

คำตอบ: r_e = 10.47 %

เบต้าที่รวมหนี้ (ฮามาดะ): หนี้ทำให้ส่วนของผู้ถือหุ้นเสี่ยงขึ้น β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) โดย β_U คือเบต้าของธุรกิจที่ไม่มีหนี้ หากต้องการเปลี่ยนเบต้าไปสู่โครงสร้างเงินทุนอื่น ให้ถอดผลของหนี้ออกก่อน แล้วใส่ผลของหนี้กลับด้วย D/E ใหม่

ถอดผลของหนี้ออกจากเบต้า

β_U = 1/(1 + 0.7·0.2) = 0.8772

ใส่ผลของหนี้กลับที่ D/E ใหม่

β_L = 0.8772·(1 + 0.7·0.6) = 1.246

ต้นทุนของส่วนผู้ถือหุ้น (CAPM)

r_e = 3% + 1.246·6% = 10.47%

คำตอบ

r_e = 10.47%

9.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 14.97

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 202/7 = 28.86

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = (−8.857)² + 11.14² + (−14.86)² + (−1.857)² + (−10.86)² + 28.14² + (−2.857)² = 1345

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1345/6) = 14.97

คำตอบ

s = 14.97

10.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.6915

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = −0.5

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(−0.5) = 0.3085

P = 1 − 0.3085 = 0.6915

คำตอบ

P = 0.6915

11.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: Var(X) = 0.76

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 0·0.25 + 1·0.35 + 2·0.35 + 3·0.05 = 1.2

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 0·0.25 + 1·0.35 + 4·0.35 + 9·0.05 = 2.2

ความแปรปรวน

Var(X) = 2.2 − 1.2² = 0.76

คำตอบ

Var(X) = 0.76

12.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.01578

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

สูตรทวินาม

P(X = 4) = 330·0.1⁴·0.9⁷ = 330·0.0001·0.4783 = 0.01578

คำตอบ

P = 0.01578

13.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.7881

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลรวม

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (199.6 − 200)/0.5 = −0.8

หางด้านบน

P = 1 − Φ(−0.8) = 1 − 0.2119 = 0.7881

คำตอบ

P = 0.7881

14.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.7881

การแจกแจงของผลต่าง

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (0 − 4)/5 = −0.8

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

คำตอบ

P = 0.7881

15.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: ขีดจำกัดล่าง = 40.45

ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น

ค่าวิกฤต

df = n − 1 = 12, t = 2.179

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 2.179·12.5/√13 = 7.554

ช่วง

48 ± 7.554 → [40.45, 55.55]

คำตอบ

ขีดจำกัดล่าง = 40.45

16.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 17764

แก้หา n

n = (1.96·34/0.5)² = 17764

ปัดขึ้น

ขนาดตัวอย่างเป็นจำนวนเต็ม และการปัดลงจะทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนมากเกินไป

n = 17764

คำตอบ

n = 17764

17.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: z = 1.481

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของผลต่าง

SE = √(7²/40 + 12²/50) = √4.105 = 2.026

ตัวสถิติทดสอบ

z = (86 − 83)/2.026 = 1.481

คำตอบ

z = 1.481

|z| < 1.96 ดังนั้นไม่ปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)

18.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: z = −1.813

สัดส่วนจากตัวอย่าง

p̂₁ = 75/150 = 0.5

p̂₂ = 50/80 = 0.625

p̂ = 125/230 = 0.5435

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานภายใต้ H₀

SE = √(0.5435·0.4565·(1/150 + 1/80)) = 0.06896

ตัวสถิติทดสอบ

z = (0.5 − 0.625)/0.06896 = −1.813

คำตอบ

z = −1.813

|z| < 1.96 ดังนั้นไม่ปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)

19.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r = 0.9696

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ผลรวมที่ปรับกึ่งกลางแล้ว

S_xy = 3099 − 48·365/6 = 179

S_xx = 454 − 48²/6 = 70

S_yy = 22691 − 365²/6 = 486.8

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

r = 179/√(70·486.8) = 0.9696

คำตอบ

r = 0.9696

20.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: e = −2.667

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 568/6 = 94.67

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 248

เส้นถดถอย

b = 248/70 = 3.543

a = 94.67 − 3.543·21 = 20.27

ŷ = 20.27 + 3.543·x

ค่าทำนาย

ŷ = 20.27 + 3.543·21 = 94.67

ส่วนตกค้าง

e = 92 − 94.67 = −2.667

คำตอบ

e = −2.667

จุดนี้อยู่ใต้เส้นตรง

นี่คือสื่อฝึกหัดอิสระ ExamProblems ไม่ได้สังกัดหรือได้รับการรับรองจากองค์กรที่จัดสอบ และใช้ชื่อการสอบเพื่ออธิบายเนื้อหาเท่านั้น CFA® and Chartered Financial Analyst® เป็นเครื่องหมายการค้าของ CFA Institute ซึ่งไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ ExamProblems ไม่ได้รับรอง และไม่รับประกันความถูกต้องของ ExamProblems

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income