ฝึก CFA Level I วิธีเชิงปริมาณและตราสารหนี้: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

มูลค่าของเงินตามเวลา

มูลค่าในอนาคต: FV = PV·(1 + i)ⁿ
มูลค่าปัจจุบัน: PV = FV/(1 + i)ⁿ
หลายงวดต่อปี: i = r/m, N = m·n
เงินงวด มูลค่าปัจจุบัน: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
เงินงวด มูลค่าในอนาคต: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

วิธีการ

วาดเส้นเวลาพร้อมกระแสเงินสดทุกรายการและเวลาของมัน
จับคู่อัตรากับงวด: ใช้อัตรารายเดือนสำหรับการผ่อนรายเดือน
ใช้ FV = PV·(1 + i)ⁿ สำหรับจำนวนเดียว และสูตรเงินงวดสำหรับการจ่ายเท่ากัน
ตรวจสอบเครื่องหมายและขนาดของคำตอบ

NPV และ IRR

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
กระแสเงินสดเท่ากัน: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
อัตราผลตอบแทนภายใน: r ที่ทำให้ NPV = 0
การตัดสินใจ: ยอมรับเมื่อ NPV > 0 (หรือ IRR > ผลตอบแทนที่ต้องการ)

วิธีการ

เขียนกระแสเงินสดทุกรายการพร้อมปี เงินลงทุนที่ปีที่ 0 เป็นลบ
คิดลดกระแสเงินสดแต่ละรายการ: CF_t/(1 + r)^t
บวกรวมเป็น NPV ค่าบวกหมายความว่าโครงการให้ผลตอบแทนมากกว่า r
สำหรับ IRR หาอัตราที่ทำให้ NPV เป็นศูนย์โดยการลองหรือการเทียบสัดส่วน

ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตร

ราคาพันธบัตร: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
ราย 6 เดือน: C/2, y/2 และ 2n งวด
อัตราผลตอบแทนปัจจุบัน: C/P
ราคาและอัตราผลตอบแทน: อัตราผลตอบแทนขึ้น → ราคาลง

วิธีการ

หาดอกเบี้ยต่องวดและอัตราผลตอบแทนต่องวด
ราคา = มูลค่าปัจจุบันของดอกเบี้ย (เงินงวด) + มูลค่าปัจจุบันของมูลค่าที่ตราไว้
สำหรับดอกเบี้ยราย 6 เดือน ใช้ดอกเบี้ยครึ่งหนึ่ง อัตราผลตอบแทนครึ่งหนึ่ง และจำนวนงวดสองเท่า
ตรวจสอบ: ถ้าอัตราผลตอบแทนสูงกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร ราคาจะต่ำกว่ามูลค่าที่ตราไว้

CAPM และ WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
มูลค่ากิจการ: V = E + D

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ: x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง: n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%: ปฏิเสธ H₀ ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น: x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน: b = S_xy/S_xx
ระยะตัดแกน: a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
ส่วนตกค้าง: e = y − ŷ

2โจทย์ฝึก

1.มูลค่าของเงินตามเวลาปานกลาง

คุณต้องการเงิน €10 000 ในอีก 4 ปี บัญชีให้ดอกเบี้ย 5% ต่อปี ทบต้นรายเดือน วันนี้ต้องฝากเท่าใด หามูลค่าปัจจุบัน PV

FV = €10 0005% / 12n = 4

PV = €

2.มูลค่าของเงินตามเวลายาก

เงินกู้ €15 000 ผ่อนชำระเท่ากันทุกเดือนเป็นเวลา 5 ปี อัตราดอกเบี้ย 7.2% ต่อปี ทบต้นรายเดือน หาเงินผ่อนต่อเดือน A

P = €15 0007.2% / 12N = 60

A = €

3.NPV และ IRRปานกลาง

เครื่องจักรมีต้นทุนวันนี้ €40 000 ให้เงิน €12 500 ทุกสิ้นปีเป็นเวลา 4 ปี แล้วขายต่อได้ €6 000 ต้นทุนเงินทุนคือ 8% จงหามูลค่าปัจจุบันสุทธิ NPV

C₀ = €40 000CF = €12 500S = €6 000n = 4r = 8%

NPV = €

4.NPV และ IRRยาก

โครงการมีต้นทุน €20 000 และให้ผลตอบแทน €10 000, €12 500, €12 000 เมื่อสิ้นปีที่ 1 ถึง 3 หาอัตราผลตอบแทนภายใน IRR เป็นเปอร์เซ็นต์

CF₀ = −20 000CF₁ = 10 000CF₂ = 12 500CF₃ = 12 000

IRR = %

5.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตรปานกลาง

พันธบัตรมูลค่าที่ตราไว้ €1 000 จ่ายดอกเบี้ยรายปี 5% แบ่งเป็นสองงวดต่อปี และครบกำหนดใน 10 ปี อัตราผลตอบแทนจนครบกำหนดคือ 7% ต่อปี หาราคา P ของพันธบัตร

F = €1 000ดอกเบี้ยตราสาร = 5%YTM = 7%n = 10

P = €

6.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตรยาก

พันธบัตรเหลืออายุ 20 ปี (มูลค่าที่ตราไว้ €1 000 ดอกเบี้ยรายปี 7%) ขายที่ €1 249 ผู้ออกเรียกไถ่ถอนได้ในอีก 5 ปีที่ราคาเรียกไถ่ถอน €1 070 จงหาอัตราผลตอบแทนจนถึงวันเรียกไถ่ถอน YTC เป็นเปอร์เซ็นต์

F = €1 000ดอกเบี้ยตราสาร = 7%P = €1 249ราคาเรียกไถ่ถอน = €1 070เรียกไถ่ถอนใน 5 ปี

YTC = %

7.CAPM และ WACCปานกลาง

หุ้นที่มีเบต้า 1.4 มีผลตอบแทนที่ต้องการ 11.9% อัตราปลอดความเสี่ยงคือ 3.5% CAPM บอกเป็นนัยว่าผลตอบแทนตลาดที่คาดหวัง r_m เป็นเท่าใด

β = 1.4r_e = 11.9%r_f = 3.5%

r_m = %

8.CAPM และ WACCยาก

บริษัทมีหุ้น 5 000 000 หุ้น หุ้นละ €31.50 และพันธบัตร 20 000 ฉบับ ซื้อขายฉบับละ €960 ต้นทุนหนี้ก่อนภาษีคือ 4.5% และอัตราภาษีคือ 25% หุ้นมีเบตา 0.8 อัตราผลตอบแทนที่ปราศจากความเสี่ยง 2% และผลตอบแทนตลาด 9% หา WACC

β = 0.8r_f = 2%r_m = 9%r_d = 4.5%T = 25%

WACC = %

9.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 14, 59, 59, 11, 27, 45

n = 6

s =

10.สถิติเชิงพรรณนายาก

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 60 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 สัดส่วน P ของค่าที่ต่ำกว่า 48 คือเท่าใด

μ = 60σ = 10x = 48

P =

11.ความน่าจะเป็นปานกลาง

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาความแปรปรวน Var(X) ของ X

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.2, 0.25, 0.3, 0.25

Var(X) =

12.ความน่าจะเป็นยาก

X มีการแจกแจงดังที่แสดง และ Y = 3X + 5 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ_Y ของ Y

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.15, 0.2, 0.25, 0.25, 0.15Y = 3X + 5

σ_Y =

13.การแจกแจงปกติปานกลาง

มวลของสลักเกลียวเป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 40 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1.2 g จงหาความน่าจะเป็น P ที่มวลรวมของ 4 ชิ้นต่ำกว่า 157.6 g ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 4< 157.6 g

P =

14.การแจกแจงปกติยาก

น้ำหนักของถุง แจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 250 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 g ลากค่าตัดให้ส่วนบน 25% ที่แรเงาอยู่ทางขวา หาค่าตัด x

μ = 250 gσ = 5 g25%

x = g

15.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

วัดความดันโลหิตของผู้ป่วย 16 คนก่อนและหลังการรักษา ผลต่าง d = ก่อน − หลัง (mmHg) มีค่าเฉลี่ย −3.3 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 7.6 จงหาค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ E ของช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับผลต่างเฉลี่ย

n = 16d̄ = −3.3s_d = 7.695%t(15) = 2.131

E = mmHg

16.ช่วงความเชื่อมั่นยาก

ไม่ทราบสัดส่วนของสินค้าบกพร่องล่วงหน้า ต้องตรวจสอบสินค้ากี่ชิ้น n เพื่อให้ช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับสัดส่วนมีค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ไม่เกิน 0.02

p = 0.5E = 0.0290%

n =

17.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

สายการผลิตสองสายผลิตชิ้นส่วนเดียวกัน สายที่ 1: ตัวอย่าง 50 ชิ้นมีความยาวเฉลี่ย 149.5 mm และทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของสายคือ 15 mm สายที่ 2: ตัวอย่าง 40 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 157.2 mm ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 13 mm จงหาค่าสถิติทดสอบ z สำหรับ H₀: μ₁ = μ₂ โดยให้ผลต่างเป็น x̄₁ − x̄₂ (สายที่ 1 ลบสายที่ 2)

n₁ = 50x̄₁ = 149.5 mmσ₁ = 15 mmn₂ = 40x̄₂ = 157.2 mmσ₂ = 13 mm

z =

18.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก

การทดสอบ z ด้านเดียวที่ α = 0.05 ต้องตรวจจับการเลื่อนของค่าเฉลี่ย 5 หน่วยด้วยกำลังของการทดสอบ 95% ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 12 จงหาขนาดตัวอย่างต่ำสุด n

α = 0.05กำลังของการทดสอบ = 95%δ = 5σ = 12z_α = 1.645z_β = 1.645

n =

19.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ชั่วโมงที่ใช้เรียน และ y = คะแนนสอบ กำหนดผลรวมมาให้ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r จากผลรวมเหล่านี้

n = 5Σx = 15Σy = 296Σx² = 55Σy² = 17564Σxy = 905

r =

20.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = ชั่วโมงที่ใช้เรียน และ y = คะแนนสอบ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x มีข้อมูลสังเกตใหม่ (1.5, 49) จงหาส่วนตกค้าง e = y − ŷ

n = 6(1.5, 49)

e =

3สารละลาย

1.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: PV = 8191 €

มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)ⁿ เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด

อัตราและจำนวนงวด

i = 0.05/12 = 0.004167

N = 12·4 = 48

มูลค่าปัจจุบัน

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1.221 = €8 190.71

คำตอบ

PV = €8 190.71

2.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: A = 298.4 €

อัตราต่อเดือนและจำนวนงวดที่ผ่อน

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·5 = 60

เงินผ่อนต่องวด

มูลค่าปัจจุบันของเงินงวด A จำนวน N งวดคือ A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i ให้เท่ากับเงินกู้แล้วแก้หา A

(1 + i)^−N = 0.6984

A = 15 000·0.006/(1 − 0.6984) = €298.44

คำตอบ

A = €298.44

3.NPV และ IRR

คำตอบ: NPV = 5812 €

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: คิดลดกระแสเงินสดทุกรายการกลับมาที่วันนี้ด้วยอัตราผลตอบแทนที่ต้องการ r แล้วรวมกัน: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ โครงการที่มี NPV > 0 ให้ผลตอบแทนมากกว่า r และเพิ่มมูลค่า อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) คืออัตราที่ทำให้ NPV = 0

มูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดรายปี

12 500·3.312 = 41 401.59

มูลค่าปัจจุบันของมูลค่าซาก

6 000/1.36 = 4 410.18

NPV

NPV = −40 000 + 41 401.59 + 4 410.18 = €5 811.76

คำตอบ

NPV = €5 811.76

4.NPV และ IRR

คำตอบ: IRR = 31.89 %

กำหนดช่วงของ IRR

NPV ลดลงเมื่ออัตราเพิ่มขึ้น ดังนั้น IRR จึงอยู่ระหว่างอัตราที่ให้ NPV เป็นบวกกับอัตราที่ให้ NPV เป็นลบ

NPV(30%) = 550.75

NPV(35%) = −856.58

บีบช่วงให้แคบลง

การเทียบสัดส่วนเชิงเส้นให้ค่าประมาณแรก ทำซ้ำ (หรือใช้ฟังก์ชัน IRR ของเครื่องคิดเลข) จะได้อัตราที่แน่นอน

IRR ≈ 30 + 5·550.75/(550.75 − (−856.58)) = 31.96%

ค่าที่แน่นอน: NPV(31.89%) = 0 → IRR = 31.89%

คำตอบ

IRR = 31.89%

5.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตร

คำตอบ: P = 857.9 €

การตั้งราคาพันธบัตร: ราคาของพันธบัตรคือมูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสด คิดลดที่อัตราผลตอบแทนจนครบกำหนด (YTM): ดอกเบี้ยจ่ายเป็นเงินงวด และมูลค่าที่ตราไว้จ่ายคืนเมื่อครบกำหนด P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ เมื่ออัตราผลตอบแทนสูงกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร พันธบัตรจะซื้อขายต่ำกว่ามูลค่าที่ตราไว้ และกลับกัน

ต่องวด

C = €25.00, i = 0.035, N = 20

มูลค่าปัจจุบันของดอกเบี้ย

€25.00·(1 − 0.5026)/0.035 = €355.31

มูลค่าปัจจุบันของมูลค่าที่ตราไว้

€1 000·0.5026 = €502.57

ราคา

P = €857.88

คำตอบ

P = €857.88

อัตราผลตอบแทนสูงกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร พันธบัตรจึงขายต่ำกว่ามูลค่าที่ตราไว้

6.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตร

คำตอบ: YTC = 2.9 %

สมการของอัตราผลตอบแทน

1249 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1070/(1 + y)⁵

แก้เชิงตัวเลข

y = 2%: €1 299.07

y = 3%: €1 243.57

YTC = 2.9%

คำตอบ

YTC = 2.9%

อัตราผลตอบแทนจนถึงครบกำหนดคือ 5.002% นักลงทุนในพันธบัตรราคาสูงกว่ามูลค่าที่ตราไว้คาดว่าจะถูกเรียกไถ่ถอน อัตราผลตอบแทนจนถึงวันเรียกไถ่ถอนที่ต่ำกว่าจึงสมจริงกว่า

7.CAPM และ WACC

คำตอบ: r_m = 9.5 %

ต้นทุนเงินทุน: CAPM ให้ผลตอบแทนที่ผู้ถือหุ้นต้องการ: r_e = r_f + β·(r_m − r_f) ต้นทุนเงินทุนถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักผสมส่วนของผู้ถือหุ้นและหนี้สินตามมูลค่าตลาด: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T) โดย V = E + D ดอกเบี้ยหักภาษีได้ จึงมี (1 − T)

ส่วนชดเชยความเสี่ยงของตลาด

r_m − r_f = (11.9% − 3.5%)/1.4 = 6%

ผลตอบแทนตลาด

r_m = 3.5% + 6% = 9.5%

คำตอบ

r_m = 9.5%

8.CAPM และ WACC

คำตอบ: WACC = 7.141 %

มูลค่าตลาด

E = 5 000 000·€31.50 = €157 500 000

D = 20 000·€960 = €19 200 000

ต้นทุนของส่วนผู้ถือหุ้น (CAPM)

r_e = 2% + 0.8·7% = 7.6%

น้ำหนัก

V = €176 700 000, E/V = 0.8913, D/V = 0.1087

WACC

WACC = 0.8913·7.6% + 0.1087·4.5%·(1 − 0.25) = 7.141%

คำตอบ

WACC = 7.141%

9.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 21.58

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 215/6 = 35.83

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = (−21.83)² + 23.17² + 23.17² + (−24.83)² + (−8.833)² + 9.167² = 2329

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(2329/5) = 21.58

คำตอบ

s = 21.58

10.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.1151

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = −1.2

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 0.1151

คำตอบ

P = 0.1151

11.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: Var(X) = 1.14

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 0·0.2 + 1·0.25 + 2·0.3 + 3·0.25 = 1.6

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 0·0.2 + 1·0.25 + 4·0.3 + 9·0.25 = 3.7

ความแปรปรวน

Var(X) = 3.7 − 1.6² = 1.14

คำตอบ

Var(X) = 1.14

12.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: σ_Y = 3.851

การกระจายของ X

μ = 3.05, Var(X) = 1.648, σ_X = 1.284

การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น

σ_Y = |3|·1.284 = 3.851

คำตอบ

σ_Y = 3.851

ค่าเฉลี่ยเลื่อนจริง: E(Y) = 3·3.05 + 5 = 14.15

13.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.1587

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลรวม

μ_T = 160 g, σ_T = 1.2·√4 = 2.4 g

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (157.6 − 160)/2.4 = −1

ความน่าจะเป็น

P = Φ(−1) = 0.1587

คำตอบ

P = 0.1587

14.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 253.4 g

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้าย

Φ(z) = 0.75

z จากตาราง

z ≈ 0.67

กลับเป็นหน่วยเดิม

x = 250 + 0.67·5 = 253.4 g

คำตอบ

x = 253.4 g

15.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: E = 4.049 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

ค่าวิกฤต

df = 15, t = 2.131

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 2.131·7.6/√16 = 4.049

คำตอบ

E = 4.049 mmHg

16.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 1692

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

แก้หา n

n = 1.645²·0.5·0.5/0.02² = 1691

ปัดขึ้น

n = 1692

คำตอบ

n = 1692

17.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: z = −2.607

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของผลต่าง

SE = √(15²/50 + 13²/40) = √8.725 = 2.954

ตัวสถิติทดสอบ

z = (149.5 − 157.2)/2.954 = −2.607

คำตอบ

z = −2.607

|z| > 1.96 ดังนั้นปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)

18.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 63

ขนาดตัวอย่างสำหรับการทดสอบ: เพื่อตรวจจับการเลื่อนจริง δ ด้วยกำลัง 1 − β ในการทดสอบ z ด้านเดียวที่ระดับ α ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานต้องเป็นไปตาม δ = (z_α + z_β)·σ/√n ดังนั้น n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² ปัดขึ้น

แก้หา n

n = ((1.645 + 1.645)·12/5)² = 62.35

ปัดขึ้น

n = 63

คำตอบ

n = 63

19.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r = 0.8416

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ผลรวมที่ปรับกึ่งกลางแล้ว

S_xy = 905 − 15·296/5 = 17

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 17564 − 296²/5 = 40.8

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

r = 17/√(10·40.8) = 0.8416

คำตอบ

r = 0.8416

20.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: e = 1.781

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 356/6 = 59.33

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106

เส้นถดถอย

b = 106/17.5 = 6.057

a = 59.33 − 6.057·3.5 = 38.13

ŷ = 38.13 + 6.057·x

ค่าทำนาย

ŷ = 38.13 + 6.057·1.5 = 47.22

ส่วนตกค้าง

e = 49 − 47.22 = 1.781

คำตอบ

e = 1.781

จุดนี้อยู่เหนือเส้นตรง

นี่คือสื่อฝึกหัดอิสระ ExamProblems ไม่ได้สังกัดหรือได้รับการรับรองจากองค์กรที่จัดสอบ และใช้ชื่อการสอบเพื่ออธิบายเนื้อหาเท่านั้น CFA® and Chartered Financial Analyst® เป็นเครื่องหมายการค้าของ CFA Institute ซึ่งไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ ExamProblems ไม่ได้รับรอง และไม่รับประกันความถูกต้องของ ExamProblems

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income