ฝึก CFA Level I วิธีเชิงปริมาณและตราสารหนี้: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

มูลค่าของเงินตามเวลา

มูลค่าในอนาคต: FV = PV·(1 + i)ⁿ
มูลค่าปัจจุบัน: PV = FV/(1 + i)ⁿ
หลายงวดต่อปี: i = r/m, N = m·n
เงินงวด มูลค่าปัจจุบัน: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
เงินงวด มูลค่าในอนาคต: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

วิธีการ

วาดเส้นเวลาพร้อมกระแสเงินสดทุกรายการและเวลาของมัน
จับคู่อัตรากับงวด: ใช้อัตรารายเดือนสำหรับการผ่อนรายเดือน
ใช้ FV = PV·(1 + i)ⁿ สำหรับจำนวนเดียว และสูตรเงินงวดสำหรับการจ่ายเท่ากัน
ตรวจสอบเครื่องหมายและขนาดของคำตอบ

NPV และ IRR

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
กระแสเงินสดเท่ากัน: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
อัตราผลตอบแทนภายใน: r ที่ทำให้ NPV = 0
การตัดสินใจ: ยอมรับเมื่อ NPV > 0 (หรือ IRR > ผลตอบแทนที่ต้องการ)

วิธีการ

เขียนกระแสเงินสดทุกรายการพร้อมปี เงินลงทุนที่ปีที่ 0 เป็นลบ
คิดลดกระแสเงินสดแต่ละรายการ: CF_t/(1 + r)^t
บวกรวมเป็น NPV ค่าบวกหมายความว่าโครงการให้ผลตอบแทนมากกว่า r
สำหรับ IRR หาอัตราที่ทำให้ NPV เป็นศูนย์โดยการลองหรือการเทียบสัดส่วน

ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตร

ราคาพันธบัตร: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
ราย 6 เดือน: C/2, y/2 และ 2n งวด
อัตราผลตอบแทนปัจจุบัน: C/P
ราคาและอัตราผลตอบแทน: อัตราผลตอบแทนขึ้น → ราคาลง

วิธีการ

หาดอกเบี้ยต่องวดและอัตราผลตอบแทนต่องวด
ราคา = มูลค่าปัจจุบันของดอกเบี้ย (เงินงวด) + มูลค่าปัจจุบันของมูลค่าที่ตราไว้
สำหรับดอกเบี้ยราย 6 เดือน ใช้ดอกเบี้ยครึ่งหนึ่ง อัตราผลตอบแทนครึ่งหนึ่ง และจำนวนงวดสองเท่า
ตรวจสอบ: ถ้าอัตราผลตอบแทนสูงกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร ราคาจะต่ำกว่ามูลค่าที่ตราไว้

CAPM และ WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
มูลค่ากิจการ: V = E + D

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ: x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง: n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%: ปฏิเสธ H₀ ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น: x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน: b = S_xy/S_xx
ระยะตัดแกน: a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
ส่วนตกค้าง: e = y − ŷ

2โจทย์ฝึก

1.มูลค่าของเงินตามเวลาปานกลาง

คุณต้องการเงิน €15 000 ในอีก 2 ปี บัญชีให้ดอกเบี้ย 3% ต่อปี ทบต้นรายเดือน วันนี้ต้องฝากเท่าใด หามูลค่าปัจจุบัน PV

FV = €15 0003% / 12n = 2

PV = €

2.มูลค่าของเงินตามเวลายาก

เงินกู้ €150 000 ผ่อนชำระเท่ากันทุกเดือนเป็นเวลา 30 ปี อัตราดอกเบี้ย 4.8% ต่อปี ทบต้นรายเดือน หาเงินผ่อนต่อเดือน A

P = €150 0004.8% / 12N = 360

A = €

3.NPV และ IRRปานกลาง

การลงทุน €75 000 ให้กระแสเงินสดเมื่อสิ้นปีที่ 1 ถึง 3 ดังนี้: €15 000, €19 000, €19 000 ต้นทุนเงินทุนคือ 7.000000000000001% หามูลค่าปัจจุบันสุทธิ NPV

r = 7.000000000000001%CF₀ = −75 000CF₁ = 15 000CF₂ = 19 000CF₃ = 19 000

NPV = €

4.NPV และ IRRยาก

โครงการมีต้นทุน €20 000 และให้ผลตอบแทน €9 000, €7 500, €9 500 ทุกสิ้นปีที่ 1 ถึง 3 กระแสเงินสดนำไปลงทุนซ้ำได้ที่ต้นทุนเงินทุน 12% จงหาอัตราผลตอบแทนภายในที่ปรับปรุงแล้ว MIRR เป็นเปอร์เซ็นต์

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 7 500CF₃ = 9 500

MIRR = %

5.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตรปานกลาง

พันธบัตรมูลค่าที่ตราไว้ €1 000 จ่ายดอกเบี้ยรายปี 6% และครบกำหนดใน 11 ปี อัตราผลตอบแทนจนถึงครบกำหนดเปลี่ยนจาก 7% เป็น 8.5% ราคาพันธบัตรเปลี่ยนไปเท่าใด ΔP

F = €1 000ดอกเบี้ยตราสาร = 6%n = 11y₁ = 7%y₂ = 8.5%

ΔP = €

6.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตรยาก

พันธบัตรมูลค่าที่ตราไว้ €1 000 ดอกเบี้ยรายปี 6% ครบกำหนดใน 9 ปี ขายในราคา €875 หาอัตราผลตอบแทนจนครบกำหนด YTM เป็นเปอร์เซ็นต์

F = €1 000ดอกเบี้ยตราสาร = 6%n = 9P = €875

YTM = %

7.CAPM และ WACCปานกลาง

บริษัทมีส่วนของผู้ถือหุ้นมูลค่า €8 000 000 และหนี้มูลค่า €2 000 000 WACC คือ 8.72% ต้นทุนของหนี้ก่อนหักภาษีคือ 5% และอัตราภาษีคือ 28% จงหาต้นทุนของส่วนของผู้ถือหุ้น r_e

E = €8 000 000D = €2 000 000WACC = 8.72%r_d = 5%T = 28%

r_e = %

8.CAPM และ WACCยาก

หุ้นของบริษัทมีเบต้า 0.9 ที่อัตราส่วนหนี้สินต่อส่วนของผู้ถือหุ้นปัจจุบัน 0.5 บริษัทวางแผนเพิ่มอัตราส่วนหนี้สินต่อส่วนของผู้ถือหุ้นเป็น 1.25 อัตราภาษีคือ 25% อัตราปลอดความเสี่ยง 1.5% และส่วนชดเชยความเสี่ยงของตลาด 4% จงหาต้นทุนของส่วนของผู้ถือหุ้น r_e หลังการเปลี่ยนแปลง

β_L = 0.9D/E₁ = 0.5D/E₂ = 1.25T = 25%r_f = 1.5%r_m − r_f = 4%

r_e = %

9.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 59, 21, 53, 47, 41, 54, 34

n = 7

s =

10.สถิติเชิงพรรณนายาก

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 70 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 15 สัดส่วน P ของค่าที่สูงกว่า 52 คือเท่าใด

μ = 70σ = 15x = 52

P =

11.ความน่าจะเป็นปานกลาง

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาความแปรปรวน Var(X) ของ X

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.2, 0.3, 0.25

Var(X) =

12.ความน่าจะเป็นยาก

X มีการแจกแจงดังที่แสดง และ Y = 2X + 10 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ_Y ของ Y

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.2, 0.15, 0.35, 0.3Y = 2X + 10

σ_Y =

13.การแจกแจงปกติปานกลาง

ลาก z ให้พื้นที่แรเงาใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางขวาของ z เป็น 0.7910 หา z เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

A = 0.7910

z =

14.การแจกแจงปกติยาก

เส้นผ่านศูนย์กลางรู D มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25.03 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.01 mm เส้นผ่านศูนย์กลางเพลา d เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.01 mm เพลาที่สุ่มเลือกสวมได้เมื่อ D − d > 0 จงหาความน่าจะเป็น P ที่มันสวมได้ ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

รู: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mmเพลา: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm

P =

15.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ตัวอย่าง 6 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 26.5 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 2 ประชากรมีการแจกแจงใกล้เคียงปกติ หาขีดจำกัดล่างของช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ย

n = 6x̄ = 26.5s = 299%t(5) = 4.032

ขีดจำกัดล่าง =

16.ช่วงความเชื่อมั่นยาก

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 16 ต้องใช้ขนาดตัวอย่าง n เท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 3

σ = 16E = 399%

n =

17.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

พนักงาน 11 คนทำแบบทดสอบการพิมพ์ก่อนและหลังหลักสูตรอบรม บันทึกผลต่าง d = หลัง − ก่อน (คำต่อนาที) ของแต่ละคน ค่าเฉลี่ยของผลต่างคือ 5.5 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลต่างคือ 5.7 จงหาค่าสถิติทดสอบแบบจับคู่ t สำหรับ H₀: μ_d = 0

n = 11d̄ = 5.5s_d = 5.7

t =

18.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก

ตัวอย่างการวัด 16 ค่ามีค่าเฉลี่ย 499.5 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 20 หาขีดจำกัดล่าง L ของช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับค่าเฉลี่ย

x̄ = 499.5σ = 20n = 1690%

L =

19.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = อายุรถเป็นปี และ y = ราคาเป็น k€ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r

n = 6

r =

20.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x เส้นตรงทำนายว่า ŷ = 66 ที่ค่า x ใด

n = 6ŷ = 66

x =

3สารละลาย

1.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: PV = 14128 €

มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)ⁿ เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด

อัตราและจำนวนงวด

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·2 = 24

มูลค่าปัจจุบัน

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1.062 = €14 127.53

คำตอบ

PV = €14 127.53

2.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: A = 787 €

อัตราต่อเดือนและจำนวนงวดที่ผ่อน

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·30 = 360

เงินผ่อนต่องวด

มูลค่าปัจจุบันของเงินงวด A จำนวน N งวดคือ A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i ให้เท่ากับเงินกู้แล้วแก้หา A

(1 + i)^−N = 0.2376

A = 150 000·0.004/(1 − 0.2376) = €787.00

คำตอบ

A = €787.00

3.NPV และ IRR

คำตอบ: NPV = −28876 €

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: คิดลดกระแสเงินสดทุกรายการกลับมาที่วันนี้ด้วยอัตราผลตอบแทนที่ต้องการ r แล้วรวมกัน: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ โครงการที่มี NPV > 0 ให้ผลตอบแทนมากกว่า r และเพิ่มมูลค่า อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) คืออัตราที่ทำให้ NPV = 0

มูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดแต่ละรายการ

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 15 000/1.07 = 14 018.69

CF₂/(1 + 0.07)² = 19 000/1.145 = 16 595.34

CF₃/(1 + 0.07)³ = 19 000/1.225 = 15 509.66

รวมเข้าด้วยกัน

NPV = €−28 876.31

คำตอบ

NPV = €−28 876.31

NPV เป็นลบ ดังนั้นโครงการให้ผลตอบแทนน้อยกว่าที่ต้องการ

4.NPV และ IRR

คำตอบ: MIRR = 13.43 %

IRR ที่ปรับปรุงแล้ว: ทบเงินที่ได้รับทุกก้อนไปข้างหน้าถึงสิ้นโครงการที่อัตราการลงทุนซ้ำ (โดยปกติคือต้นทุนเงินทุน) เพื่อให้ได้มูลค่าสิ้นสุด TV MIRR คืออัตราที่เปลี่ยนเงินลงทุนเริ่มต้นเป็น TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1

มูลค่าสิ้นสุดของเงินที่ได้รับ

9 000·1.12² = 11 289.60

7 500·1.12¹ = 8 400.00

9 500·1.12⁰ = 9 500.00

TV = 29 189.60

MIRR

MIRR = (29 189.60/20 000)^1/3 − 1 = 13.43%

คำตอบ

MIRR = 13.43%

5.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตร

คำตอบ: ΔP = −99.24 €

การตั้งราคาพันธบัตร: ราคาของพันธบัตรคือมูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสด คิดลดที่อัตราผลตอบแทนจนครบกำหนด (YTM): ดอกเบี้ยจ่ายเป็นเงินงวด และมูลค่าที่ตราไว้จ่ายคืนเมื่อครบกำหนด P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ เมื่ออัตราผลตอบแทนสูงกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร พันธบัตรจะซื้อขายต่ำกว่ามูลค่าที่ตราไว้ และกลับกัน

ราคาที่ผลตอบแทนเดิม

C = €60.00, i = 0.07, N = 11

€60.00·(1 − 0.4751)/0.07 + €1 000·0.4751 = €449.92 + €475.09 = €925.01

ราคาที่ผลตอบแทนใหม่

C = €60.00, i = 0.085, N = 11

€60.00·(1 − 0.4076)/0.085 + €1 000·0.4076 = €418.14 + €407.64 = €825.78

การเปลี่ยนแปลง

ΔP = 825.78 − 925.01 = −€99.24

คำตอบ

ΔP = −€99.24

6.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตร

คำตอบ: YTM = 8.001 %

สมการของอัตราผลตอบแทน

€875 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

แก้เชิงตัวเลข

P(8%) = €875.06, P(9%) = €820.14

YTM = 8.001%

คำตอบ

YTM = 8.001%

7.CAPM และ WACC

คำตอบ: r_e = 10 %

ต้นทุนเงินทุน: CAPM ให้ผลตอบแทนที่ผู้ถือหุ้นต้องการ: r_e = r_f + β·(r_m − r_f) ต้นทุนเงินทุนถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักผสมส่วนของผู้ถือหุ้นและหนี้สินตามมูลค่าตลาด: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T) โดย V = E + D ดอกเบี้ยหักภาษีได้ จึงมี (1 − T)

น้ำหนัก

V = €10 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2

ส่วนของหนี้ใน WACC

0.2·5%·(1 − 0.28) = 0.72%

ต้นทุนของส่วนผู้ถือหุ้น

r_e = (8.72% − 0.72%)/0.8 = 10%

คำตอบ

r_e = 10%

8.CAPM และ WACC

คำตอบ: r_e = 6.573 %

เบต้าที่รวมหนี้ (ฮามาดะ): หนี้ทำให้ส่วนของผู้ถือหุ้นเสี่ยงขึ้น β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) โดย β_U คือเบต้าของธุรกิจที่ไม่มีหนี้ หากต้องการเปลี่ยนเบต้าไปสู่โครงสร้างเงินทุนอื่น ให้ถอดผลของหนี้ออกก่อน แล้วใส่ผลของหนี้กลับด้วย D/E ใหม่

ถอดผลของหนี้ออกจากเบต้า

β_U = 0.9/(1 + 0.75·0.5) = 0.6545

ใส่ผลของหนี้กลับที่ D/E ใหม่

β_L = 0.6545·(1 + 0.75·1.25) = 1.268

ต้นทุนของส่วนผู้ถือหุ้น (CAPM)

r_e = 1.5% + 1.268·4% = 6.573%

คำตอบ

r_e = 6.573%

9.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 13.25

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 309/7 = 44.14

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = 14.86² + (−23.14)² + 8.857² + 2.857² + (−3.143)² + 9.857² + (−10.14)² = 1053

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1053/6) = 13.25

คำตอบ

s = 13.25

10.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.8849

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = −1.2

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 1 − 0.1151 = 0.8849

คำตอบ

P = 0.8849

11.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: Var(X) = 1.248

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 1·0.25 + 2·0.2 + 3·0.3 + 4·0.25 = 2.55

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 1·0.25 + 4·0.2 + 9·0.3 + 16·0.25 = 7.75

ความแปรปรวน

Var(X) = 7.75 − 2.55² = 1.248

คำตอบ

Var(X) = 1.248

12.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: σ_Y = 21.79

การกระจายของ X

μ = 27.5, Var(X) = 118.8, σ_X = 10.9

การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น

σ_Y = |2|·10.9 = 21.79

คำตอบ

σ_Y = 21.79

ค่าเฉลี่ยเลื่อนจริง: E(Y) = 2·27.5 + 10 = 65

13.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: z = −0.81

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้ายของ z

Φ(z) = 1 − 0.7910 = 0.2090

อ่านตาราง z ย้อนกลับ

หา 0.2090 ในตารางและอ่านค่า z

z = −0.81

คำตอบ

z = −0.81

14.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.983

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลต่าง

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.01414 mm

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (0 − 0.03)/0.01414 = −2.12

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(−2.12) = 0.983

คำตอบ

P = 0.983

15.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: ขีดจำกัดล่าง = 23.21

ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น

ค่าวิกฤต

df = n − 1 = 5, t = 4.032

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 4.032·2/√6 = 3.292

ช่วง

26.5 ± 3.292 → [23.21, 29.79]

คำตอบ

ขีดจำกัดล่าง = 23.21

16.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 189

แก้หา n

n = (2.576·16/3)² = 188.8

ปัดขึ้น

ขนาดตัวอย่างเป็นจำนวนเต็ม และการปัดลงจะทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนมากเกินไป

n = 189

คำตอบ

n = 189

17.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: t = 3.2

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของผลต่างเฉลี่ย

SE = 5.7/√11 = 1.719

ตัวสถิติทดสอบ

t = 5.5/1.719 = 3.2

คำตอบ

t = 3.2

เมื่อ df = 10 ค่าวิกฤตสองด้านที่ 5% คือ 2.228 |t| มากกว่า จึงปฏิเสธ H₀

18.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: L = 491.3

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 1.645·20/√16 = 8.225

ขีดจำกัดของช่วง

L = 499.5 − 8.225 = 491.3

คำตอบ

L = 491.3

19.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r = −0.9861

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 108/6 = 18

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 64

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

r = −33/√(17.5·64) = −0.9861

คำตอบ

r = −0.9861

20.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: x = 12.11

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 310/6 = 51.67

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 244

เส้นถดถอย

b = 244/70 = 3.486

a = 51.67 − 3.486·8 = 23.78

ŷ = 23.78 + 3.486·x

แก้หา x

x = (66 − 23.78)/3.486 = 12.11

คำตอบ

x = 12.11

นี่คือสื่อฝึกหัดอิสระ ExamProblems ไม่ได้สังกัดหรือได้รับการรับรองจากองค์กรที่จัดสอบ และใช้ชื่อการสอบเพื่ออธิบายเนื้อหาเท่านั้น CFA® and Chartered Financial Analyst® เป็นเครื่องหมายการค้าของ CFA Institute ซึ่งไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ ExamProblems ไม่ได้รับรอง และไม่รับประกันความถูกต้องของ ExamProblems

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income