ฝึก CFA Level I วิธีเชิงปริมาณและตราสารหนี้: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

มูลค่าของเงินตามเวลา

มูลค่าในอนาคต: FV = PV·(1 + i)ⁿ
มูลค่าปัจจุบัน: PV = FV/(1 + i)ⁿ
หลายงวดต่อปี: i = r/m, N = m·n
เงินงวด มูลค่าปัจจุบัน: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
เงินงวด มูลค่าในอนาคต: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

วิธีการ

วาดเส้นเวลาพร้อมกระแสเงินสดทุกรายการและเวลาของมัน
จับคู่อัตรากับงวด: ใช้อัตรารายเดือนสำหรับการผ่อนรายเดือน
ใช้ FV = PV·(1 + i)ⁿ สำหรับจำนวนเดียว และสูตรเงินงวดสำหรับการจ่ายเท่ากัน
ตรวจสอบเครื่องหมายและขนาดของคำตอบ

NPV และ IRR

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
กระแสเงินสดเท่ากัน: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
อัตราผลตอบแทนภายใน: r ที่ทำให้ NPV = 0
การตัดสินใจ: ยอมรับเมื่อ NPV > 0 (หรือ IRR > ผลตอบแทนที่ต้องการ)

วิธีการ

เขียนกระแสเงินสดทุกรายการพร้อมปี เงินลงทุนที่ปีที่ 0 เป็นลบ
คิดลดกระแสเงินสดแต่ละรายการ: CF_t/(1 + r)^t
บวกรวมเป็น NPV ค่าบวกหมายความว่าโครงการให้ผลตอบแทนมากกว่า r
สำหรับ IRR หาอัตราที่ทำให้ NPV เป็นศูนย์โดยการลองหรือการเทียบสัดส่วน

ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตร

ราคาพันธบัตร: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
ราย 6 เดือน: C/2, y/2 และ 2n งวด
อัตราผลตอบแทนปัจจุบัน: C/P
ราคาและอัตราผลตอบแทน: อัตราผลตอบแทนขึ้น → ราคาลง

วิธีการ

หาดอกเบี้ยต่องวดและอัตราผลตอบแทนต่องวด
ราคา = มูลค่าปัจจุบันของดอกเบี้ย (เงินงวด) + มูลค่าปัจจุบันของมูลค่าที่ตราไว้
สำหรับดอกเบี้ยราย 6 เดือน ใช้ดอกเบี้ยครึ่งหนึ่ง อัตราผลตอบแทนครึ่งหนึ่ง และจำนวนงวดสองเท่า
ตรวจสอบ: ถ้าอัตราผลตอบแทนสูงกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร ราคาจะต่ำกว่ามูลค่าที่ตราไว้

CAPM และ WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
มูลค่ากิจการ: V = E + D

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ: x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง: n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%: ปฏิเสธ H₀ ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น: x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน: b = S_xy/S_xx
ระยะตัดแกน: a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
ส่วนตกค้าง: e = y − ŷ

2โจทย์ฝึก

1.มูลค่าของเงินตามเวลาปานกลาง

คุณต้องการเงิน €10 000 ในอีก 2 ปี บัญชีให้ดอกเบี้ย 2% ต่อปี ทบต้นรายเดือน วันนี้ต้องฝากเท่าใด หามูลค่าปัจจุบัน PV

FV = €10 0002% / 12n = 2

PV = €

2.มูลค่าของเงินตามเวลายาก

คุณออมเงิน €300 ทุกสิ้นเดือนเป็นเวลา 19 ปี บัญชีให้ดอกเบี้ย 6% ต่อปี ทบต้นรายเดือน เมื่อสิ้นสุดคุณออมได้เท่าใด หา FV

A = €3006% / 12N = 228

FV = €

3.NPV และ IRRปานกลาง

โครงการมีต้นทุน €20 000 ในวันนี้ และให้ผลตอบแทน €5 000, €4 500, €5 500, €4 500, €6 000 เมื่อสิ้นปีที่ 1 ถึง 5 ต้นทุนของเงินทุนคือ 5% สมมติว่ากระแสเงินสดเข้าอย่างสม่ำเสมอตลอดแต่ละปี จงหาระยะเวลาคืนทุนแบบคิดลด DPB เป็นปี

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 4 500CF₃ = 5 500CF₄ = 4 500CF₅ = 6 000

DPB = ปี

4.NPV และ IRRยาก

โครงการมีต้นทุนวันนี้ €80 000 กระแสเงินสดคือ €8 000 ที่สิ้นปีที่ 1 และเติบโต 4% ต่อปีจนถึงกระแสเงินสดสุดท้ายที่สิ้นปีที่ 9 ต้นทุนเงินทุนคือ 10% จงหามูลค่าปัจจุบันสุทธิ NPV

C₀ = €80 000CF₁ = €8 000g = 4%n = 9r = 10%

NPV = €

5.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตรปานกลาง

พันธบัตรมูลค่าที่ตราไว้ €1 000 จ่ายดอกเบี้ยรายปี 7% แบ่งเป็นสองงวดต่อปี และครบกำหนดใน 7 ปี อัตราผลตอบแทนจนครบกำหนดคือ 5.5% ต่อปี หาราคา P ของพันธบัตร

F = €1 000ดอกเบี้ยตราสาร = 7%YTM = 5.5%n = 7

P = €

6.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตรยาก

พันธบัตรมูลค่าที่ตราไว้ €1 000 จ่ายดอกเบี้ยรายปี 8% เป็นสองงวดต่อปี (ทุกครึ่งปี) และครบกำหนดใน 8 ปี ขายที่ €944 จงหาอัตราผลตอบแทนจนถึงครบกำหนด YTM เป็นอัตราต่อปี (สองเท่าของอัตราผลตอบแทนครึ่งปี) เป็นเปอร์เซ็นต์

F = €1 000ดอกเบี้ยตราสาร = 8% (2×)n = 8P = €944

YTM = %

7.CAPM และ WACCปานกลาง

บริษัทมีส่วนของผู้ถือหุ้นมูลค่า €8 000 000 และหนี้สินมูลค่า €5 000 000 ต้นทุนของส่วนผู้ถือหุ้นคือ 8% ต้นทุนหนี้ก่อนภาษีคือ 7% และอัตราภาษีคือ 28% หา WACC

E = €8 000 000D = €5 000 000r_e = 8%r_d = 7%T = 28%

WACC = %

8.CAPM และ WACCยาก

บริษัทมีหุ้น 5 000 000 หุ้นซื้อขายที่ €43.50 มูลค่าตามบัญชีของส่วนของผู้ถือหุ้นคือ €65 300 000 เพิ่งจ่ายเงินปันผล €2.00 ต่อหุ้น และเงินปันผลเติบโต 5% ต่อปี หนี้มีมูลค่าตลาด €174 000 000 และต้นทุนก่อนหักภาษี 6% อัตราภาษีคือ 21% จงหา WACC โดยใช้แบบจำลองการเติบโตของเงินปันผลสำหรับต้นทุนของส่วนของผู้ถือหุ้น

N = 5 000 000P₀ = €43.50ส่วนของผู้ถือหุ้นตามบัญชี = €65 300 000D₀ = €2.00g = 5%D = €174 000 000r_d = 6%T = 21%

WACC = %

9.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 34, 18, 41, 42, 49, 14, 20

n = 7

s =

10.สถิติเชิงพรรณนายาก

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 100 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 8 สัดส่วน P ของค่าที่สูงกว่า 110 คือเท่าใด

μ = 100σ = 8x = 110

P =

11.ความน่าจะเป็นปานกลาง

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาความแปรปรวน Var(X) ของ X

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.35, 0.25, 0.05, 0.35

Var(X) =

12.ความน่าจะเป็นยาก

ข้อสอบมีคำถามปรนัย 12 ข้อ นักเรียนที่เดาจะตอบถูกแต่ละข้อด้วยความน่าจะเป็น 0.25 อย่างอิสระ ความน่าจะเป็น P ที่จะตอบถูกพอดี 2 ข้อคือเท่าใด

n = 12p = 0.25k = 2

P =

13.การแจกแจงปกติปานกลาง

X มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 12 min และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1.5 min Y เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 20 min และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2 min จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X + Y มากกว่า 34.5 min ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 34.5 min

P =

14.การแจกแจงปกติยาก

ส่วนสูง X ของผู้ชายและ Y ของผู้หญิงในกลุ่มหนึ่ง เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ: X มีค่าเฉลี่ย 180 cm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 cm ส่วน Y มีค่าเฉลี่ย 170 cm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 cm จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X มากกว่า Y ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

15.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ตัวอย่าง 25 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 93 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 14.5 ประชากรมีการแจกแจงใกล้เคียงปกติ หาค่าความคลาดเคลื่อน E ของช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ย

n = 25x̄ = 93s = 14.599%t(24) = 2.797

E =

16.ช่วงความเชื่อมั่นยาก

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 29 ต้องใช้ขนาดตัวอย่าง n เท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 2

σ = 29E = 299%

n =

17.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

พนักงาน 7 คนทำแบบทดสอบการพิมพ์ก่อนและหลังหลักสูตรอบรม บันทึกผลต่าง d = หลัง − ก่อน (คำต่อนาที) ของแต่ละคน ค่าเฉลี่ยของผลต่างคือ 0.72 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลต่างคือ 1 จงหาค่าสถิติทดสอบแบบจับคู่ t สำหรับ H₀: μ_d = 0

n = 7d̄ = 0.72s_d = 1

t =

18.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก

การทดสอบ z ด้านเดียวของ H₀: μ = 200 เทียบกับ H₁: μ > 200 ทำที่ α = 0.01 ด้วยตัวอย่าง 100 ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 30 ในความเป็นจริงค่าเฉลี่ยคือ 211.4 จงหาความน่าจะเป็นของความคลาดเคลื่อนประเภทที่ II β เป็นเปอร์เซ็นต์

μ₀ = 200μ = 211.4σ = 30n = 100α = 0.01

β = %

19.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = อายุรถเป็นปี และ y = ราคาเป็น k€ จงหาสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ r² ของเส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด

n = 6

r² =

20.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = อายุรถเป็นปี และ y = ราคาเป็น k€ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x เส้นตรงทำนายว่า ŷ = 21 ที่ค่า x ใด

n = 6ŷ = 21

x =

3สารละลาย

1.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: PV = 9608 €

มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)ⁿ เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด

อัตราและจำนวนงวด

i = 0.02/12 = 0.001667

N = 12·2 = 24

มูลค่าปัจจุบัน

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1.041 = €9 608.21

คำตอบ

PV = €9 608.21

2.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: FV = 127074 €

อัตราต่อเดือนและจำนวนครั้งที่ฝาก

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·19 = 228

มูลค่าในอนาคตของเงินฝาก

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(3.118 − 1)/0.005 = €127 073.96

คำตอบ

FV = €127 073.96

คุณจ่ายเงินต้นเอง €68 400 ส่วนที่เหลือคือดอกเบี้ย

3.NPV และ IRR

คำตอบ: DPB = 4.575 ปี

ระยะเวลาคืนทุน: เวลาจนกว่ากระแสเงินสดสะสมจะคืนเงินลงทุนเริ่มต้น สมมติว่าเงินสดเข้าสม่ำเสมอตลอดแต่ละปี ส่วนสุดท้ายจึงเป็นเศษของปี ระยะเวลาคืนทุนอย่างง่ายไม่คำนึงถึงมูลค่าของเงินตามเวลา ระยะเวลาคืนทุนแบบคิดลดใช้กระแสเงินสดที่คิดลดแล้วแทน

กระแสเงินสดที่คิดลดแล้วและสะสม

ปี 1: 5 000/1.05 = 4 761.90 → Σ = 4 761.90

ปี 2: 4 500/1.103 = 4 081.63 → Σ = 8 843.54

ปี 3: 5 500/1.158 = 4 751.11 → Σ = 13 594.64

ปี 4: 4 500/1.216 = 3 702.16 → Σ = 17 296.81

ปี 5: 6 000/1.276 = 4 701.16 → Σ = 21 997.96

เศษส่วนของปีสุดท้าย

DPB = 4 + 2 703.19/4 701.16 = 4.575

คำตอบ

DPB = 4.575 ปี

ระยะเวลาคืนทุนแบบคิดลดยาวกว่าระยะเวลาคืนทุนอย่างง่ายเสมอ (4.083 ปี)

4.NPV และ IRR

คำตอบ: NPV = −27150 €

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: คิดลดกระแสเงินสดทุกรายการกลับมาที่วันนี้ด้วยอัตราผลตอบแทนที่ต้องการ r แล้วรวมกัน: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ โครงการที่มี NPV > 0 ให้ผลตอบแทนมากกว่า r และเพิ่มมูลค่า อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) คืออัตราที่ทำให้ NPV = 0

มูลค่าปัจจุบันของเงินงวดที่เติบโต

((1.04)/(1.1))⁹ = 0.6036

PV = 8 000/(0.1 − 0.04)·(1 − 0.6036) = 52 850.25

NPV

NPV = 52 850.25 − 80 000 = −€27 149.75

คำตอบ

NPV = −€27 149.75

NPV เป็นลบ ดังนั้นโครงการให้ผลตอบแทนน้อยกว่าที่ต้องการ

5.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตร

คำตอบ: P = 1086 €

การตั้งราคาพันธบัตร: ราคาของพันธบัตรคือมูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสด คิดลดที่อัตราผลตอบแทนจนครบกำหนด (YTM): ดอกเบี้ยจ่ายเป็นเงินงวด และมูลค่าที่ตราไว้จ่ายคืนเมื่อครบกำหนด P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ เมื่ออัตราผลตอบแทนสูงกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร พันธบัตรจะซื้อขายต่ำกว่ามูลค่าที่ตราไว้ และกลับกัน

ต่องวด

C = €35.00, i = 0.0275, N = 14

มูลค่าปัจจุบันของดอกเบี้ย

€35.00·(1 − 0.684)/0.0275 = €402.19

มูลค่าปัจจุบันของมูลค่าที่ตราไว้

€1 000·0.684 = €684.00

ราคา

P = €1 086.18

คำตอบ

P = €1 086.18

อัตราผลตอบแทนต่ำกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร พันธบัตรจึงขายสูงกว่ามูลค่าที่ตราไว้

6.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตร

คำตอบ: YTM = 8.997 %

ต่องวด

C = €40.00, N = 16

แก้เชิงตัวเลข

i = 4.498% ต่อครึ่งปี

YTM

YTM = 2·4.498% = 8.997%

คำตอบ

YTM = 8.997%

7.CAPM และ WACC

คำตอบ: WACC = 6.862 %

ต้นทุนเงินทุน: CAPM ให้ผลตอบแทนที่ผู้ถือหุ้นต้องการ: r_e = r_f + β·(r_m − r_f) ต้นทุนเงินทุนถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักผสมส่วนของผู้ถือหุ้นและหนี้สินตามมูลค่าตลาด: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T) โดย V = E + D ดอกเบี้ยหักภาษีได้ จึงมี (1 − T)

น้ำหนัก

V = €13 000 000, E/V = 0.6154, D/V = 0.3846

WACC

WACC = 0.6154·8% + 0.3846·7%·(1 − 0.28) = 6.862%

คำตอบ

WACC = 6.862%

8.CAPM และ WACC

คำตอบ: WACC = 7.566 %

ต้นทุนของส่วนผู้ถือหุ้น

D₁ = 2·1.05 = €2.10

r_e = 2.1/43.5 + 0.05 = 9.828%

มูลค่าตลาด

E = 5 000 000·€43.50 = €217 500 000

V = €391 500 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444

WACC

WACC = 0.5556·9.828% + 0.4444·6%·(1 − 0.21) = 7.566%

คำตอบ

WACC = 7.566%

9.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 13.74

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 218/7 = 31.14

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = 2.857² + (−13.14)² + 9.857² + 10.86² + 17.86² + (−17.14)² + (−11.14)² = 1133

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1133/6) = 13.74

คำตอบ

s = 13.74

10.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.1056

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = 1.25

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(1.25) = 0.8944

P = 1 − 0.8944 = 0.1056

คำตอบ

P = 0.1056

11.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: Var(X) = 164

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 10·0.35 + 20·0.25 + 30·0.05 + 40·0.35 = 24

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 100·0.35 + 400·0.25 + 900·0.05 + 1600·0.35 = 740

ความแปรปรวน

Var(X) = 740 − 24² = 164

คำตอบ

Var(X) = 164

12.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.2323

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

สูตรทวินาม

P(X = 2) = 66·0.25²·0.75¹⁰ = 66·0.0625·0.05631 = 0.2323

คำตอบ

P = 0.2323

13.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.1587

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลรวม

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (34.5 − 32)/2.5 = 1

หางด้านบน

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587

คำตอบ

P = 0.1587

14.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.7389

การแจกแจงของผลต่าง

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

คำตอบ

P = 0.7389

15.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: E = 8.111

ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น

ค่าวิกฤต

df = n − 1 = 24, t = 2.797

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 2.797·14.5/√25 = 8.111

คำตอบ

E = 8.111

16.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 1396

แก้หา n

n = (2.576·29/2)² = 1395

ปัดขึ้น

ขนาดตัวอย่างเป็นจำนวนเต็ม และการปัดลงจะทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนมากเกินไป

n = 1396

คำตอบ

n = 1396

17.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: t = 1.905

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของผลต่างเฉลี่ย

SE = 1/√7 = 0.378

ตัวสถิติทดสอบ

t = 0.72/0.378 = 1.905

คำตอบ

t = 1.905

เมื่อ df = 6 ค่าวิกฤตสองด้านที่ 5% คือ 2.447 |t| น้อยกว่า จึงไม่ปฏิเสธ H₀

18.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: β = 7.024 %

กำลังของการทดสอบ: กำลัง = 1 − β คือความน่าจะเป็นที่จะปฏิเสธ H₀ เมื่อ H₀ ผิด ให้หาค่าตัดแบ่ง x̄c จาก μ₀ และ z_α แล้วคำนวณความน่าจะเป็นที่ตกเลย x̄c โดยใช้ค่าเฉลี่ยจริง: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)

ค่าเฉลี่ยตัวอย่างวิกฤต

SE = 30/√100 = 3

x̄_c = 200 + 2.326·3 = 207

z ภายใต้ค่าเฉลี่ยจริง

z = (207 − 211.4)/3 = −1.474

ความคลาดเคลื่อนประเภทที่ II

กำลังของการทดสอบ = P(Z > −1.474) = 92.98%

β = 100% − 92.98% = 7.024%

คำตอบ

β = 7.024%

19.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r² = 0.9644

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 74/6 = 12.33

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −58

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 199.3

สัมประสิทธิ์การตัดสินใจ

r² = −58²/(17.5·199.3) = 0.9644

คำตอบ

r² = 0.9644

ประมาณ 96.44% ของความผันแปรของ y อธิบายได้ด้วยเส้นตรง

20.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: x = 1.511

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 96/6 = 16

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −44

เส้นถดถอย

b = −44/17.5 = −2.514

a = 16 − (−2.514)·3.5 = 24.8

ŷ = 24.8 − 2.514·x

แก้หา x

x = (21 − 24.8)/(−2.514) = 1.511

คำตอบ

x = 1.511

นี่คือสื่อฝึกหัดอิสระ ExamProblems ไม่ได้สังกัดหรือได้รับการรับรองจากองค์กรที่จัดสอบ และใช้ชื่อการสอบเพื่ออธิบายเนื้อหาเท่านั้น CFA® and Chartered Financial Analyst® เป็นเครื่องหมายการค้าของ CFA Institute ซึ่งไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ ExamProblems ไม่ได้รับรอง และไม่รับประกันความถูกต้องของ ExamProblems

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income