สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
เงินงวดจ่าย €1 500 ทุกสิ้นปีเป็นเวลา 18 ปี อัตราดอกเบี้ย 4% ต่อปี จงหามูลค่าปัจจุบัน PV ของเงินงวด
เงินกู้ €8 000 ผ่อนชำระเท่ากันทุกเดือนเป็นเวลา 4 ปี อัตราดอกเบี้ย 6% ต่อปี ทบต้นรายเดือน หาเงินผ่อนต่อเดือน A
โครงการมีต้นทุน €20 000 ในวันนี้ และให้ผลตอบแทน €7 500, €9 000, €6 500, €5 500, €4 000, €8 500 เมื่อสิ้นปีที่ 1 ถึง 6 ต้นทุนของเงินทุนคือ 5% สมมติว่ากระแสเงินสดเข้าอย่างสม่ำเสมอตลอดแต่ละปี จงหาระยะเวลาคืนทุนแบบคิดลด DPB เป็นปี
โครงการมีต้นทุน €40 000 และให้ผลตอบแทน €29 000, €26 500 เมื่อสิ้นปีที่ 1 ถึง 2 หาอัตราผลตอบแทนภายใน IRR เป็นเปอร์เซ็นต์
พันธบัตรมูลค่าที่ตราไว้ €1 000 จ่ายดอกเบี้ยรายปี 4.5% แบ่งเป็นสองงวดต่อปี และครบกำหนดใน 8 ปี อัตราผลตอบแทนจนครบกำหนดคือ 4% ต่อปี หาราคา P ของพันธบัตร
พันธบัตรมูลค่าที่ตราไว้ €1 000 ดอกเบี้ยรายปี 6% ครบกำหนดใน 9 ปี ขายในราคา €845 หาอัตราผลตอบแทนจนครบกำหนด YTM เป็นเปอร์เซ็นต์
หุ้นที่มีเบต้า 1.2 มีผลตอบแทนที่ต้องการ 9.1% อัตราปลอดความเสี่ยงคือ 2.5% CAPM บอกเป็นนัยว่าผลตอบแทนตลาดที่คาดหวัง rm เป็นเท่าใด
บริษัทมีหุ้น 2 000 000 หุ้น หุ้นละ €31.50 และพันธบัตร 5 000 ฉบับ ซื้อขายฉบับละ €1 020 ต้นทุนหนี้ก่อนภาษีคือ 4.5% และอัตราภาษีคือ 30% หุ้นมีเบตา 0.9 อัตราผลตอบแทนที่ปราศจากความเสี่ยง 2.5% และผลตอบแทนตลาด 8% หา WACC
หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 27, 59, 33, 49, 51, 59
คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 500 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 40 หาคะแนนมาตรฐาน z z ของคะแนน 468
ในถุงมีลูกบอลสีแดง 7 ลูกและสีน้ำเงิน 3 ลูก หยิบสองลูกโดยไม่ใส่ลูกแรกคืน ความน่าจะเป็น P ที่ทั้งสองลูกเป็นสีแดงคือเท่าใด
เกมหนึ่งมีค่าเล่น €2 คุณชนะ €10 ด้วยความน่าจะเป็น 0.25 และ €20 ด้วยความน่าจะเป็น 0.02 นอกนั้นไม่ได้อะไร เงินที่จ่ายไปไม่ถูกคืน จงหากำไรสุทธิที่คาดหมาย E(G) ต่อเกม
มวลของสลักเกลียวเป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 40 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1.2 g จงหาความน่าจะเป็น P ที่มวลรวมของ 4 ชิ้นเกิน 161.2 g ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม
คะแนนสอบ แจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 65 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน ลากค่าตัดให้ส่วนล่าง 60% ที่แรเงาอยู่ทางซ้าย หาค่าตัด x
วัดความดันโลหิตของผู้ป่วย 16 คนก่อนและหลังการรักษา ผลต่าง d = ก่อน − หลัง (mmHg) มีค่าเฉลี่ย 5.1 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5.3 จงหาขีดจำกัดบนของช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับผลต่างเฉลี่ย
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 35 ต้องใช้ขนาดตัวอย่าง n เท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 2
ตัวอย่างนักเรียน 25 คนมีคะแนนเฉลี่ย 106.8 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง 20 หาตัวสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ = 100
การทดสอบ z ด้านเดียวที่ α = 0.05 ต้องตรวจจับการเลื่อนของค่าเฉลี่ย 5 หน่วยด้วยกำลังของการทดสอบ 95% ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 27 จงหาขนาดตัวอย่างต่ำสุด n
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ จงหาสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ r² ของเส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = ชั่วโมงที่ใช้เรียน และ y = คะแนนสอบ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x เส้นตรงทำนายว่า ŷ = 72 ที่ค่า x ใด
คำตอบ: PV = 18989 €
มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)n เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด
คำตอบ: A = 187.9 €
มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)n เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด
มูลค่าปัจจุบันของเงินงวด A จำนวน N งวดคือ A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i ให้เท่ากับเงินกู้แล้วแก้หา A
คำตอบ: DPB = 2.836 ปี
ระยะเวลาคืนทุน: เวลาจนกว่ากระแสเงินสดสะสมจะคืนเงินลงทุนเริ่มต้น สมมติว่าเงินสดเข้าสม่ำเสมอตลอดแต่ละปี ส่วนสุดท้ายจึงเป็นเศษของปี ระยะเวลาคืนทุนอย่างง่ายไม่คำนึงถึงมูลค่าของเงินตามเวลา ระยะเวลาคืนทุนแบบคิดลดใช้กระแสเงินสดที่คิดลดแล้วแทน
ระยะเวลาคืนทุนแบบคิดลดยาวกว่าระยะเวลาคืนทุนอย่างง่ายเสมอ (2.538 ปี)
คำตอบ: IRR = 25.35 %
มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: คิดลดกระแสเงินสดทุกรายการกลับมาที่วันนี้ด้วยอัตราผลตอบแทนที่ต้องการ r แล้วรวมกัน: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ โครงการที่มี NPV > 0 ให้ผลตอบแทนมากกว่า r และเพิ่มมูลค่า อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) คืออัตราที่ทำให้ NPV = 0
NPV ลดลงเมื่ออัตราเพิ่มขึ้น ดังนั้น IRR จึงอยู่ระหว่างอัตราที่ให้ NPV เป็นบวกกับอัตราที่ให้ NPV เป็นลบ
การเทียบสัดส่วนเชิงเส้นให้ค่าประมาณแรก ทำซ้ำ (หรือใช้ฟังก์ชัน IRR ของเครื่องคิดเลข) จะได้อัตราที่แน่นอน
คำตอบ: P = 1034 €
การตั้งราคาพันธบัตร: ราคาของพันธบัตรคือมูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสด คิดลดที่อัตราผลตอบแทนจนครบกำหนด (YTM): ดอกเบี้ยจ่ายเป็นเงินงวด และมูลค่าที่ตราไว้จ่ายคืนเมื่อครบกำหนด P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ เมื่ออัตราผลตอบแทนสูงกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร พันธบัตรจะซื้อขายต่ำกว่ามูลค่าที่ตราไว้ และกลับกัน
อัตราผลตอบแทนต่ำกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร พันธบัตรจึงขายสูงกว่ามูลค่าที่ตราไว้
คำตอบ: YTM = 8.537 %
การตั้งราคาพันธบัตร: ราคาของพันธบัตรคือมูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสด คิดลดที่อัตราผลตอบแทนจนครบกำหนด (YTM): ดอกเบี้ยจ่ายเป็นเงินงวด และมูลค่าที่ตราไว้จ่ายคืนเมื่อครบกำหนด P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ เมื่ออัตราผลตอบแทนสูงกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร พันธบัตรจะซื้อขายต่ำกว่ามูลค่าที่ตราไว้ และกลับกัน
คำตอบ: rm = 8 %
ต้นทุนเงินทุน: CAPM ให้ผลตอบแทนที่ผู้ถือหุ้นต้องการ: re = rf + β·(rm − rf) ต้นทุนเงินทุนถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักผสมส่วนของผู้ถือหุ้นและหนี้สินตามมูลค่าตลาด: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T) โดย V = E + D ดอกเบี้ยหักภาษีได้ จึงมี (1 − T)
คำตอบ: WACC = 7.128 %
ต้นทุนเงินทุน: CAPM ให้ผลตอบแทนที่ผู้ถือหุ้นต้องการ: re = rf + β·(rm − rf) ต้นทุนเงินทุนถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักผสมส่วนของผู้ถือหุ้นและหนี้สินตามมูลค่าตลาด: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T) โดย V = E + D ดอกเบี้ยหักภาษีได้ จึงมี (1 − T)
คำตอบ: s = 13.43
สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
คำตอบ: z = −0.8
สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
คำตอบ: P = 0.4667
ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ
คำตอบ: E(G) = 0.9 €
ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σY = |a|·σX การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย
ค่าบวกหมายความว่าโดยเฉลี่ยคุณได้เงิน
คำตอบ: P = 0.3085
ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μX ± μY ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σX² + σY² ดังนั้น σ = √(σX² + σY²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)
คำตอบ: x = 67.5 คะแนน
จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ
คำตอบ: ขีดจำกัดบน = 9.005 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
คำตอบ: n = 829
ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น
ขนาดตัวอย่างเป็นจำนวนเต็ม และการปัดลงจะทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนมากเกินไป
คำตอบ: t = 1.7
การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)
|t| < 2.064 ดังนั้นไม่ปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)
คำตอบ: n = 316
ขนาดตัวอย่างสำหรับการทดสอบ: เพื่อตรวจจับการเลื่อนจริง δ ด้วยกำลัง 1 − β ในการทดสอบ z ด้านเดียวที่ระดับ α ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานต้องเป็นไปตาม δ = (z_α + z_β)·σ/√n ดังนั้น n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² ปัดขึ้น
คำตอบ: r² = 0.5537
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
ประมาณ 55.37% ของความผันแปรของ y อธิบายได้ด้วยเส้นตรง
คำตอบ: x = 4.01
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
นี่คือสื่อฝึกหัดอิสระ ExamProblems ไม่ได้สังกัดหรือได้รับการรับรองจากองค์กรที่จัดสอบ และใช้ชื่อการสอบเพื่ออธิบายเนื้อหาเท่านั้น CFA® and Chartered Financial Analyst® เป็นเครื่องหมายการค้าของ CFA Institute ซึ่งไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ ExamProblems ไม่ได้รับรอง และไม่รับประกันความถูกต้องของ ExamProblems
ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income