ฝึก CFA Level I วิธีเชิงปริมาณและตราสารหนี้: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

มูลค่าของเงินตามเวลา

มูลค่าในอนาคต: FV = PV·(1 + i)ⁿ
มูลค่าปัจจุบัน: PV = FV/(1 + i)ⁿ
หลายงวดต่อปี: i = r/m, N = m·n
เงินงวด มูลค่าปัจจุบัน: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
เงินงวด มูลค่าในอนาคต: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

วิธีการ

วาดเส้นเวลาพร้อมกระแสเงินสดทุกรายการและเวลาของมัน
จับคู่อัตรากับงวด: ใช้อัตรารายเดือนสำหรับการผ่อนรายเดือน
ใช้ FV = PV·(1 + i)ⁿ สำหรับจำนวนเดียว และสูตรเงินงวดสำหรับการจ่ายเท่ากัน
ตรวจสอบเครื่องหมายและขนาดของคำตอบ

NPV และ IRR

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
กระแสเงินสดเท่ากัน: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
อัตราผลตอบแทนภายใน: r ที่ทำให้ NPV = 0
การตัดสินใจ: ยอมรับเมื่อ NPV > 0 (หรือ IRR > ผลตอบแทนที่ต้องการ)

วิธีการ

เขียนกระแสเงินสดทุกรายการพร้อมปี เงินลงทุนที่ปีที่ 0 เป็นลบ
คิดลดกระแสเงินสดแต่ละรายการ: CF_t/(1 + r)^t
บวกรวมเป็น NPV ค่าบวกหมายความว่าโครงการให้ผลตอบแทนมากกว่า r
สำหรับ IRR หาอัตราที่ทำให้ NPV เป็นศูนย์โดยการลองหรือการเทียบสัดส่วน

ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตร

ราคาพันธบัตร: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
ราย 6 เดือน: C/2, y/2 และ 2n งวด
อัตราผลตอบแทนปัจจุบัน: C/P
ราคาและอัตราผลตอบแทน: อัตราผลตอบแทนขึ้น → ราคาลง

วิธีการ

หาดอกเบี้ยต่องวดและอัตราผลตอบแทนต่องวด
ราคา = มูลค่าปัจจุบันของดอกเบี้ย (เงินงวด) + มูลค่าปัจจุบันของมูลค่าที่ตราไว้
สำหรับดอกเบี้ยราย 6 เดือน ใช้ดอกเบี้ยครึ่งหนึ่ง อัตราผลตอบแทนครึ่งหนึ่ง และจำนวนงวดสองเท่า
ตรวจสอบ: ถ้าอัตราผลตอบแทนสูงกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร ราคาจะต่ำกว่ามูลค่าที่ตราไว้

CAPM และ WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
มูลค่ากิจการ: V = E + D

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ: x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง: n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%: ปฏิเสธ H₀ ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น: x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน: b = S_xy/S_xx
ระยะตัดแกน: a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
ส่วนตกค้าง: e = y − ŷ

2โจทย์ฝึก

1.มูลค่าของเงินตามเวลาปานกลาง

คุณต้องการเงิน €50 000 ในอีก 9 ปี บัญชีให้ดอกเบี้ย 4% ต่อปี ทบต้นรายไตรมาส วันนี้ต้องฝากเท่าใด หามูลค่าปัจจุบัน PV

FV = €50 0004% / 4n = 9

PV = €

2.มูลค่าของเงินตามเวลายาก

คุณออมเงิน €100 ทุกสิ้นเดือนเป็นเวลา 26 ปี บัญชีให้ดอกเบี้ย 3.6% ต่อปี ทบต้นรายเดือน เมื่อสิ้นสุดคุณออมได้เท่าใด หา FV

A = €1003.6% / 12N = 312

FV = €

3.NPV และ IRRปานกลาง

การลงทุน €75 000 ให้กระแสเงินสดเมื่อสิ้นปีที่ 1 ถึง 4 ดังนี้: €20 000, €29 000, €28 000, €21 000 ต้นทุนเงินทุนคือ 9% หามูลค่าปัจจุบันสุทธิ NPV

r = 9%CF₀ = −75 000CF₁ = 20 000CF₂ = 29 000CF₃ = 28 000CF₄ = 21 000

NPV = €

4.NPV และ IRRยาก

โครงการ A มีต้นทุน €40 000 และให้ผลตอบแทน €21 500, €16 000, €9 500 ทุกสิ้นปีที่ 1 ถึง 3 โครงการ B มีต้นทุน €45 000 และให้ผลตอบแทน €11 500, €18 000, €24 000 จงหาอัตราตัดกัน r* ที่โครงการทั้งสองมี NPV เท่ากัน เป็นเปอร์เซ็นต์

A: −40 000, 21 500, 16 000, 9 500B: −45 000, 11 500, 18 000, 24 000

r* = %

5.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตรปานกลาง

พันธบัตรมูลค่าที่ตราไว้ €1 000 ครบกำหนดใน 4 ปี และจ่ายดอกเบี้ยรายปี ขายที่ €1 088 เมื่ออัตราผลตอบแทนจนถึงครบกำหนดเป็น 5.5% จงหาอัตราดอกเบี้ยพันธบัตร c เป็นเปอร์เซ็นต์

F = €1 000n = 4P = €1 088YTM = 5.5%

c = %

6.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตรยาก

พันธบัตรมูลค่าที่ตราไว้ €1 000 ดอกเบี้ยรายปี 6% ครบกำหนดใน 3 ปี ขายในราคา €1 025 หาอัตราผลตอบแทนจนครบกำหนด YTM เป็นเปอร์เซ็นต์

F = €1 000ดอกเบี้ยตราสาร = 6%n = 3P = €1 025

YTM = %

7.CAPM และ WACCปานกลาง

บริษัทมีแหล่งเงินทุนจากหุ้นสามัญมูลค่า €12 000 000 หุ้นบุริมสิทธิมูลค่า €1 000 000 และหนี้มูลค่า €6 000 000 ต้นทุนของส่วนของผู้ถือหุ้นคือ 14% ต้นทุนของหุ้นบุริมสิทธิ 6% และต้นทุนของหนี้ก่อนหักภาษี 4% อัตราภาษีคือ 28% จงหา WACC

E = €12 000 000P_s = €1 000 000D = €6 000 000r_e = 14%r_p = 6%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

8.CAPM และ WACCยาก

บริษัทมีส่วนของผู้ถือหุ้นมูลค่าตลาด €12 000 000 และต้นทุนของส่วนของผู้ถือหุ้น 9% หนี้ประกอบด้วยพันธบัตร 2 000 ฉบับ (มูลค่าที่ตราไว้ €1 000 ดอกเบี้ยรายปี 7% เหลืออายุ 9 ปี) ซื้อขายที่ฉบับละ €938 อัตราภาษีคือ 21% จงหา WACC โดยใช้อัตราผลตอบแทนจนถึงครบกำหนดของพันธบัตรเป็นต้นทุนของหนี้ก่อนหักภาษี

E = €12 000 000r_e = 9%พันธบัตร: 2 000 × €938ดอกเบี้ยตราสาร = 7%n = 9T = 21%

WACC = %

9.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 19, 43, 59, 55, 25, 28, 19

n = 7

s =

10.สถิติเชิงพรรณนายาก

คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 70 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 หาคะแนนมาตรฐาน z z ของคะแนน 62

μ = 70σ = 10x = 62

z =

11.ความน่าจะเป็นปานกลาง

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ของ X

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.25, 0.35, 0.1

σ =

12.ความน่าจะเป็นยาก

ข้อสอบมีคำถามปรนัย 10 ข้อ นักเรียนที่เดาจะตอบถูกแต่ละข้อด้วยความน่าจะเป็น 0.1 อย่างอิสระ ความน่าจะเป็น P ที่จะตอบถูกพอดี 2 ข้อคือเท่าใด

n = 10p = 0.1k = 2

P =

13.การแจกแจงปกติปานกลาง

X มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 12 min และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1.5 min Y เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 20 min และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2 min จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X + Y มากกว่า 35.1 min ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 35.1 min

P =

14.การแจกแจงปกติยาก

ส่วนสูงของผู้ชายวัยผู้ใหญ่ แจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 178 cm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 7 cm ลากค่าตัดให้ส่วนล่าง 40% ที่แรเงาอยู่ทางซ้าย หาค่าตัด x

μ = 178 cmσ = 7 cm40%

x = cm

15.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ตัวอย่าง 13 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 120 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 8.5 ประชากรมีการแจกแจงใกล้เคียงปกติ หาค่าความคลาดเคลื่อน E ของช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ย

n = 13x̄ = 120s = 8.595%t(12) = 2.179

E =

16.ช่วงความเชื่อมั่นยาก

ทดสอบปุ๋ยสองชนิด กลุ่มแปลงที่ 1: 14 แปลง ผลผลิตเฉลี่ย 11.5 kg ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 4 kg กลุ่มแปลงที่ 2: 8 แปลง ค่าเฉลี่ย 5 kg ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 4.5 kg สมมติความแปรปรวนเท่ากัน (t รวม, df = n₁ + n₂ − 2) จงหาค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ E ของช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับ μ₁ − μ₂

n₁ = 14x̄₁ = 11.5s₁ = 4n₂ = 8x̄₂ = 5s₂ = 4.590%t(20) = 1.725

E = kg

17.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ตัวอย่างนักเรียน 49 คนมีคะแนนเฉลี่ย 501 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง 4 หาตัวสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ = 500

μ₀ = 500x̄ = 501s = 4n = 49

t =

18.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก

ตัวอย่างการวัด 49 ค่ามีค่าเฉลี่ย 48.4 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 10 หาขีดจำกัดบน U ของช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ย

x̄ = 48.4σ = 10n = 4995%

U =

19.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ จงหาสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ r² ของเส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด

n = 5

r² =

20.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x เส้นตรงทำนายว่า ŷ = 72 ที่ค่า x ใด

n = 6ŷ = 72

x =

3สารละลาย

1.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: PV = 34946 €

มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)ⁿ เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด

อัตราและจำนวนงวด

i = 0.04/4 = 0.01

N = 4·9 = 36

มูลค่าปัจจุบัน

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1.431 = €34 946.25

คำตอบ

PV = €34 946.25

2.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: FV = 51540 €

อัตราต่อเดือนและจำนวนครั้งที่ฝาก

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·26 = 312

มูลค่าในอนาคตของเงินฝาก

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(2.546 − 1)/0.003 = €51 539.72

คำตอบ

FV = €51 539.72

คุณจ่ายเงินต้นเอง €31 200 ส่วนที่เหลือคือดอกเบี้ย

3.NPV และ IRR

คำตอบ: NPV = 4255 €

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: คิดลดกระแสเงินสดทุกรายการกลับมาที่วันนี้ด้วยอัตราผลตอบแทนที่ต้องการ r แล้วรวมกัน: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ โครงการที่มี NPV > 0 ให้ผลตอบแทนมากกว่า r และเพิ่มมูลค่า อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) คืออัตราที่ทำให้ NPV = 0

มูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดแต่ละรายการ

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 20 000/1.09 = 18 348.62

CF₂/(1 + 0.09)² = 29 000/1.188 = 24 408.72

CF₃/(1 + 0.09)³ = 28 000/1.295 = 21 621.14

CF₄/(1 + 0.09)⁴ = 21 000/1.412 = 14 876.93

รวมเข้าด้วยกัน

NPV = €4 255.41

คำตอบ

NPV = €4 255.41

NPV เป็นบวก ดังนั้นโครงการให้ผลตอบแทนมากกว่าที่ต้องการ

4.NPV และ IRR

คำตอบ: r* = 4.398 %

อัตราตัดกัน: อัตราคิดลดที่โครงการสองโครงการมี NPV เท่ากัน คือ IRR ของผลต่างกระแสเงินสด (B − A) ต่ำกว่าอัตรานี้ โครงการที่มีกระแสเงินสดมากกว่าและมาช้ากว่ามี NPV สูงกว่า สูงกว่าอัตรานี้ โครงการอีกโครงการหนึ่งชนะ

ผลต่างของกระแสเงินสด

ΔCF₀ = −45 000 − (−40 000) = −5 000

ΔCF₁ = 11 500 − 21 500 = −10 000

ΔCF₂ = 18 000 − 16 000 = 2 000

ΔCF₃ = 24 000 − 9 500 = 14 500

IRR ของผลต่าง

NPV_Δ(4%) = 124.18

NPV_Δ(5%) = −184.11

r* = 4.398%

คำตอบ

r* = 4.398%

ตรวจสอบ: ที่ 4.398% NPV ทั้งสองเป็น €3 624.08

5.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตร

คำตอบ: c = 8.011 %

การตั้งราคาพันธบัตร: ราคาของพันธบัตรคือมูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสด คิดลดที่อัตราผลตอบแทนจนครบกำหนด (YTM): ดอกเบี้ยจ่ายเป็นเงินงวด และมูลค่าที่ตราไว้จ่ายคืนเมื่อครบกำหนด P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ เมื่ออัตราผลตอบแทนสูงกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร พันธบัตรจะซื้อขายต่ำกว่ามูลค่าที่ตราไว้ และกลับกัน

มูลค่าปัจจุบันของมูลค่าที่ตราไว้

1000·(1 + 0.055)⁻⁴ = €807.22

ดอกเบี้ย

C = (1088 − 807.22)/3.505 = €80.11

อัตราดอกเบี้ยตราสาร

c = 80.11/1000 = 8.011%

คำตอบ

c = 8.011%

6.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตร

คำตอบ: YTM = 5.081 %

สมการของอัตราผลตอบแทน

€1 025 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

แก้เชิงตัวเลข

P(5%) = €1 027.23, P(6%) = €1 000.00

YTM = 5.081%

คำตอบ

YTM = 5.081%

7.CAPM และ WACC

คำตอบ: WACC = 10.07 %

ต้นทุนเงินทุน: CAPM ให้ผลตอบแทนที่ผู้ถือหุ้นต้องการ: r_e = r_f + β·(r_m − r_f) ต้นทุนเงินทุนถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักผสมส่วนของผู้ถือหุ้นและหนี้สินตามมูลค่าตลาด: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T) โดย V = E + D ดอกเบี้ยหักภาษีได้ จึงมี (1 − T)

น้ำหนัก

V = 12 000 000 + 1 000 000 + 6 000 000 = €19 000 000

E/V = 0.6316, P_s/V = 0.05263, D/V = 0.3158

WACC

WACC = 0.6316·14% + 0.05263·6% + 0.3158·4%·(1 − 0.28) = 10.07%

คำตอบ

WACC = 10.07%

8.CAPM และ WACC

คำตอบ: WACC = 8.637 %

ต้นทุนของหนี้ (YTM)

938 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + 1000/(1 + y)⁹

y = 7.992%

มูลค่าตลาด

D = 2 000·€938 = €1 876 000

V = €13 876 000, E/V = 0.8648, D/V = 0.1352

WACC

WACC = 0.8648·9% + 0.1352·7.992%·(1 − 0.21) = 8.637%

คำตอบ

WACC = 8.637%

9.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 16.83

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 248/7 = 35.43

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = (−16.43)² + 7.571² + 23.57² + 19.57² + (−10.43)² + (−7.429)² + (−16.43)² = 1700

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1700/6) = 16.83

คำตอบ

s = 16.83

10.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: z = −0.8

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (62 − 70)/10 = −0.8

คำตอบ

z = −0.8

11.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: σ = 9.937

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 10·0.3 + 20·0.25 + 30·0.35 + 40·0.1 = 22.5

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 100·0.3 + 400·0.25 + 900·0.35 + 1600·0.1 = 605

ความแปรปรวน

Var(X) = 605 − 22.5² = 98.75

σ = √98.75 = 9.937

คำตอบ

σ = 9.937

12.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.1937

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

สูตรทวินาม

P(X = 2) = 45·0.1²·0.9⁸ = 45·0.01·0.4305 = 0.1937

คำตอบ

P = 0.1937

13.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.1075

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลรวม

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (35.1 − 32)/2.5 = 1.24

หางด้านบน

P = 1 − Φ(1.24) = 1 − 0.8925 = 0.1075

คำตอบ

P = 0.1075

14.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 176.3 cm

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้าย

Φ(z) = 0.4

z จากตาราง

z ≈ −0.25

กลับเป็นหน่วยเดิม

x = 178 − 0.25·7 = 176.3 cm

คำตอบ

x = 176.3 cm

15.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: E = 5.137

ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น

ค่าวิกฤต

df = n − 1 = 12, t = 2.179

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 2.179·8.5/√13 = 5.137

คำตอบ

E = 5.137

16.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: E = 3.197 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานรวม

s_p² = (13·4² + 7·4.5²)/20 = 17.49

s_p = 4.182

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 1.725·4.182·√(1/14 + 1/8) = 3.197

คำตอบ

E = 3.197 kg

17.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: t = 1.75

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

SE = 4/√49 = 4/7 = 0.5714

ตัวสถิติทดสอบ

t = (501 − 500)/0.5714 = 1.75

คำตอบ

t = 1.75

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| < 2.011 ดังนั้นไม่ปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)

18.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: U = 51.2

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 1.96·10/√49 = 2.8

ขีดจำกัดของช่วง

U = 48.4 + 2.8 = 51.2

คำตอบ

U = 51.2

19.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r² = 0.925

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 163/5 = 32.6

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 51

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 281.2

สัมประสิทธิ์การตัดสินใจ

r² = 51²/(10·281.2) = 0.925

คำตอบ

r² = 0.925

ประมาณ 92.5% ของความผันแปรของ y อธิบายได้ด้วยเส้นตรง

20.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: x = 8.125

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 428/6 = 71.33

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 374

เส้นถดถอย

b = 374/70 = 5.343

a = 71.33 − 5.343·8 = 28.59

ŷ = 28.59 + 5.343·x

แก้หา x

x = (72 − 28.59)/5.343 = 8.125

คำตอบ

x = 8.125

นี่คือสื่อฝึกหัดอิสระ ExamProblems ไม่ได้สังกัดหรือได้รับการรับรองจากองค์กรที่จัดสอบ และใช้ชื่อการสอบเพื่ออธิบายเนื้อหาเท่านั้น CFA® and Chartered Financial Analyst® เป็นเครื่องหมายการค้าของ CFA Institute ซึ่งไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ ExamProblems ไม่ได้รับรอง และไม่รับประกันความถูกต้องของ ExamProblems

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income