ฝึก CFA Level I วิธีเชิงปริมาณและตราสารหนี้: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

มูลค่าของเงินตามเวลา

มูลค่าในอนาคต: FV = PV·(1 + i)ⁿ
มูลค่าปัจจุบัน: PV = FV/(1 + i)ⁿ
หลายงวดต่อปี: i = r/m, N = m·n
เงินงวด มูลค่าปัจจุบัน: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
เงินงวด มูลค่าในอนาคต: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

วิธีการ

วาดเส้นเวลาพร้อมกระแสเงินสดทุกรายการและเวลาของมัน
จับคู่อัตรากับงวด: ใช้อัตรารายเดือนสำหรับการผ่อนรายเดือน
ใช้ FV = PV·(1 + i)ⁿ สำหรับจำนวนเดียว และสูตรเงินงวดสำหรับการจ่ายเท่ากัน
ตรวจสอบเครื่องหมายและขนาดของคำตอบ

NPV และ IRR

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
กระแสเงินสดเท่ากัน: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
อัตราผลตอบแทนภายใน: r ที่ทำให้ NPV = 0
การตัดสินใจ: ยอมรับเมื่อ NPV > 0 (หรือ IRR > ผลตอบแทนที่ต้องการ)

วิธีการ

เขียนกระแสเงินสดทุกรายการพร้อมปี เงินลงทุนที่ปีที่ 0 เป็นลบ
คิดลดกระแสเงินสดแต่ละรายการ: CF_t/(1 + r)^t
บวกรวมเป็น NPV ค่าบวกหมายความว่าโครงการให้ผลตอบแทนมากกว่า r
สำหรับ IRR หาอัตราที่ทำให้ NPV เป็นศูนย์โดยการลองหรือการเทียบสัดส่วน

ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตร

ราคาพันธบัตร: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
ราย 6 เดือน: C/2, y/2 และ 2n งวด
อัตราผลตอบแทนปัจจุบัน: C/P
ราคาและอัตราผลตอบแทน: อัตราผลตอบแทนขึ้น → ราคาลง

วิธีการ

หาดอกเบี้ยต่องวดและอัตราผลตอบแทนต่องวด
ราคา = มูลค่าปัจจุบันของดอกเบี้ย (เงินงวด) + มูลค่าปัจจุบันของมูลค่าที่ตราไว้
สำหรับดอกเบี้ยราย 6 เดือน ใช้ดอกเบี้ยครึ่งหนึ่ง อัตราผลตอบแทนครึ่งหนึ่ง และจำนวนงวดสองเท่า
ตรวจสอบ: ถ้าอัตราผลตอบแทนสูงกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร ราคาจะต่ำกว่ามูลค่าที่ตราไว้

CAPM และ WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
มูลค่ากิจการ: V = E + D

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ: x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง: n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%: ปฏิเสธ H₀ ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น: x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน: b = S_xy/S_xx
ระยะตัดแกน: a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
ส่วนตกค้าง: e = y − ŷ

2โจทย์ฝึก

1.มูลค่าของเงินตามเวลาปานกลาง

คุณลงทุน €8 000 ที่อัตราตามชื่อ 4.8% ต่อปี ทบต้นรายไตรมาส หามูลค่า FV ของเงินลงทุนหลังผ่านไป 3 ปี

PV = €8 0004.8% / 4n = 3

FV = €

2.มูลค่าของเงินตามเวลายาก

เงินกู้ €12 000 ผ่อนชำระเท่ากันทุกเดือนเป็นเวลา 5 ปี อัตราดอกเบี้ย 6% ต่อปี ทบต้นรายเดือน หาเงินผ่อนต่อเดือน A

P = €12 0006% / 12N = 60

A = €

3.NPV และ IRRปานกลาง

เครื่องจักรมีต้นทุนวันนี้ €50 000 ใช้งานได้ 7 ปี และมีค่าใช้จ่ายในการเดินเครื่อง €3 000 ต่อปี (จ่ายทุกสิ้นปี) ต้นทุนเงินทุนคือ 12% จงหาต้นทุนเทียบเท่ารายปี EAC

C₀ = €50 000M = €3 000n = 7r = 12%

EAC = €

4.NPV และ IRRยาก

โครงการมีต้นทุน €40 000 และให้ผลตอบแทน €23 500, €20 000, €28 500 เมื่อสิ้นปีที่ 1 ถึง 3 หาอัตราผลตอบแทนภายใน IRR เป็นเปอร์เซ็นต์

CF₀ = −40 000CF₁ = 23 500CF₂ = 20 000CF₃ = 28 500

IRR = %

5.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตรปานกลาง

พันธบัตรมูลค่าที่ตราไว้ €1 000 จ่ายดอกเบี้ยรายปี 8% แบ่งเป็นสองงวดต่อปี และครบกำหนดใน 11 ปี อัตราผลตอบแทนจนครบกำหนดคือ 5% ต่อปี หาราคา P ของพันธบัตร

F = €1 000ดอกเบี้ยตราสาร = 8%YTM = 5%n = 11

P = €

6.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตรยาก

พันธบัตรมูลค่าที่ตราไว้ €1 000 ดอกเบี้ยรายปี 5% ครบกำหนดใน 8 ปี ขายในราคา €1 140 หาอัตราผลตอบแทนจนครบกำหนด YTM เป็นเปอร์เซ็นต์

F = €1 000ดอกเบี้ยตราสาร = 5%n = 8P = €1 140

YTM = %

7.CAPM และ WACCปานกลาง

บริษัทมีส่วนของผู้ถือหุ้นมูลค่า €3 000 000 และหนี้สินมูลค่า €5 000 000 ต้นทุนของส่วนผู้ถือหุ้นคือ 8% ต้นทุนหนี้ก่อนภาษีคือ 7% และอัตราภาษีคือ 25% หา WACC

E = €3 000 000D = €5 000 000r_e = 8%r_d = 7%T = 25%

WACC = %

8.CAPM และ WACCยาก

บริษัทมีหุ้น 2 000 000 หุ้น หุ้นละ €34.50 และพันธบัตร 20 000 ฉบับ ซื้อขายฉบับละ €1 000 ต้นทุนหนี้ก่อนภาษีคือ 4% และอัตราภาษีคือ 21% หุ้นมีเบตา 1.5 อัตราผลตอบแทนที่ปราศจากความเสี่ยง 2.5% และผลตอบแทนตลาด 9.5% หา WACC

β = 1.5r_f = 2.5%r_m = 9.5%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

9.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 54, 26, 41, 36, 52, 17, 21

n = 7

s =

10.สถิติเชิงพรรณนายาก

คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 70 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 หาคะแนนมาตรฐาน z z ของคะแนน 55

μ = 70σ = 10x = 55

z =

11.ความน่าจะเป็นปานกลาง

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาความแปรปรวน Var(X) ของ X

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.2, 0.3, 0.2

Var(X) =

12.ความน่าจะเป็นยาก

ทดสอบชิ้นส่วน 8 ชิ้น แต่ละชิ้นเสียด้วยความน่าจะเป็น 0.2 อย่างอิสระ ความน่าจะเป็น P ที่เสียไม่เกินหนึ่งชิ้นคือเท่าใด

n = 8p = 0.2

P =

13.การแจกแจงปกติปานกลาง

น้ำหนักของถุงมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 250 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 g สัดส่วนที่อยู่ระหว่าง 247.75 และ 251.25 g เป็นเท่าใด ตอบ P เป็นทศนิยม

μ = 250σ = 5x₁ = 247.75x₂ = 251.25

P =

14.การแจกแจงปกติยาก

คะแนน IQ แจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 100 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 15 คะแนน ลากค่าตัดให้ส่วนบน 40% ที่แรเงาอยู่ทางขวา หาค่าตัด x

μ = 100 คะแนนσ = 15 คะแนน40%

x = คะแนน

15.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ตัวอย่าง 6 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 106.5 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 12.5 ประชากรมีการแจกแจงใกล้เคียงปกติ หาค่าความคลาดเคลื่อน E ของช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับค่าเฉลี่ย

n = 6x̄ = 106.5s = 12.590%t(5) = 2.015

E =

16.ช่วงความเชื่อมั่นยาก

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 20 ต้องใช้ขนาดตัวอย่าง n เท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 2

σ = 20E = 299%

n =

17.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ค่าเฉลี่ยของประชากรถูกอ้างว่าเป็น 100 ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรเป็น 3 สุ่มตัวอย่าง 36 ค่า ได้ค่าเฉลี่ย 101.2 ทดสอบ H₀: μ = 100 เทียบกับ H₁: μ > 100 จงหาค่า p p

μ₀ = 100σ = 3n = 36x̄ = 101.2H₁: μ > μ₀

p =

18.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก

ตัวอย่างการวัด 100 ค่ามีค่าเฉลี่ย 54.2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 20 หาขีดจำกัดล่าง L ของช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ย

x̄ = 54.2σ = 20n = 10099%

L =

19.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ จงหาสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ r² ของเส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด

n = 6

r² =

20.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = น้ำหนักบรรทุกใน kN และ y = ระยะยืดใน mm ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x จงทำนาย ŷ สำหรับ x = 5

n = 5x = 5

ŷ =

3สารละลาย

1.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: FV = 9231 €

มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)ⁿ เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด

อัตราและจำนวนงวด

i = r/m = 0.048/4 = 0.012

N = m·n = 4·3 = 12

มูลค่าในอนาคต

FV = 8 000·(1 + 0.012)¹² = 8 000·1.154 = €9 231.16

คำตอบ

FV = €9 231.16

2.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: A = 232 €

อัตราต่อเดือนและจำนวนงวดที่ผ่อน

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·5 = 60

เงินผ่อนต่องวด

มูลค่าปัจจุบันของเงินงวด A จำนวน N งวดคือ A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i ให้เท่ากับเงินกู้แล้วแก้หา A

(1 + i)^−N = 0.7414

A = 12 000·0.005/(1 − 0.7414) = €231.99

คำตอบ

A = €231.99

3.NPV และ IRR

คำตอบ: EAC = 13956 €

ต้นทุนเทียบเท่ารายปี: กระจายมูลค่าปัจจุบันของต้นทุนทั้งหมดตลอดอายุเป็นจำนวนรายปีเท่ากัน (เงินงวด): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ) ช่วยให้เปรียบเทียบเครื่องจักรที่มีอายุต่างกันได้

ตัวคูณเงินงวด

(1 − 1.12⁻⁷)/0.12 = 4.564

ราคาซื้อที่แปลงเป็นรายปี

50 000/4.564 = 10 955.89

EAC

EAC = 10 955.89 + 3 000 = €13 955.89

คำตอบ

EAC = €13 955.89

4.NPV และ IRR

คำตอบ: IRR = 34.94 %

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: คิดลดกระแสเงินสดทุกรายการกลับมาที่วันนี้ด้วยอัตราผลตอบแทนที่ต้องการ r แล้วรวมกัน: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ โครงการที่มี NPV > 0 ให้ผลตอบแทนมากกว่า r และเพิ่มมูลค่า อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) คืออัตราที่ทำให้ NPV = 0

กำหนดช่วงของ IRR

NPV ลดลงเมื่ออัตราเพิ่มขึ้น ดังนั้น IRR จึงอยู่ระหว่างอัตราที่ให้ NPV เป็นบวกกับอัตราที่ให้ NPV เป็นลบ

NPV(30%) = 2 883.48

NPV(35%) = −35.06

บีบช่วงให้แคบลง

การเทียบสัดส่วนเชิงเส้นให้ค่าประมาณแรก ทำซ้ำ (หรือใช้ฟังก์ชัน IRR ของเครื่องคิดเลข) จะได้อัตราที่แน่นอน

IRR ≈ 30 + 5·2 883.48/(2 883.48 − (−35.06)) = 34.94%

ค่าที่แน่นอน: NPV(34.94%) = 0 → IRR = 34.94%

คำตอบ

IRR = 34.94%

5.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตร

คำตอบ: P = 1251 €

การตั้งราคาพันธบัตร: ราคาของพันธบัตรคือมูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสด คิดลดที่อัตราผลตอบแทนจนครบกำหนด (YTM): ดอกเบี้ยจ่ายเป็นเงินงวด และมูลค่าที่ตราไว้จ่ายคืนเมื่อครบกำหนด P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ เมื่ออัตราผลตอบแทนสูงกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร พันธบัตรจะซื้อขายต่ำกว่ามูลค่าที่ตราไว้ และกลับกัน

ต่องวด

C = €40.00, i = 0.025, N = 22

มูลค่าปัจจุบันของดอกเบี้ย

€40.00·(1 − 0.5809)/0.025 = €670.62

มูลค่าปัจจุบันของมูลค่าที่ตราไว้

€1 000·0.5809 = €580.86

ราคา

P = €1 251.48

คำตอบ

P = €1 251.48

อัตราผลตอบแทนต่ำกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร พันธบัตรจึงขายสูงกว่ามูลค่าที่ตราไว้

6.ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตร

คำตอบ: YTM = 3.005 %

สมการของอัตราผลตอบแทน

€1 140 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

แก้เชิงตัวเลข

P(3%) = €1 140.39, P(4%) = €1 067.33

YTM = 3.005%

คำตอบ

YTM = 3.005%

7.CAPM และ WACC

คำตอบ: WACC = 6.281 %

ต้นทุนเงินทุน: CAPM ให้ผลตอบแทนที่ผู้ถือหุ้นต้องการ: r_e = r_f + β·(r_m − r_f) ต้นทุนเงินทุนถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักผสมส่วนของผู้ถือหุ้นและหนี้สินตามมูลค่าตลาด: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T) โดย V = E + D ดอกเบี้ยหักภาษีได้ จึงมี (1 − T)

น้ำหนัก

V = €8 000 000, E/V = 0.375, D/V = 0.625

WACC

WACC = 0.375·8% + 0.625·7%·(1 − 0.25) = 6.281%

คำตอบ

WACC = 6.281%

8.CAPM และ WACC

คำตอบ: WACC = 10.79 %

มูลค่าตลาด

E = 2 000 000·€34.50 = €69 000 000

D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

ต้นทุนของส่วนผู้ถือหุ้น (CAPM)

r_e = 2.5% + 1.5·7% = 13%

น้ำหนัก

V = €89 000 000, E/V = 0.7753, D/V = 0.2247

WACC

WACC = 0.7753·13% + 0.2247·4%·(1 − 0.21) = 10.79%

คำตอบ

WACC = 10.79%

9.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 14.65

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 247/7 = 35.29

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = 18.71² + (−9.286)² + 5.714² + 0.7143² + 16.71² + (−18.29)² + (−14.29)² = 1287

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1287/6) = 14.65

คำตอบ

s = 14.65

10.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: z = −1.5

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (55 − 70)/10 = −1.5

คำตอบ

z = −1.5

11.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: Var(X) = 124

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 10·0.3 + 20·0.2 + 30·0.3 + 40·0.2 = 24

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 100·0.3 + 400·0.2 + 900·0.3 + 1600·0.2 = 700

ความแปรปรวน

Var(X) = 700 − 24² = 124

คำตอบ

Var(X) = 124

12.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.5033

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

เสียศูนย์ชิ้นและหนึ่งชิ้น

P(X = 0) = 0.8⁸ = 0.1678

P(X = 1) = 8·0.2·0.8⁷ = 0.3355

บวกเข้าด้วยกัน

P = 0.1678 + 0.3355 = 0.5033

คำตอบ

P = 0.5033

13.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.2724

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

คะแนนมาตรฐาน z

z₁ = (247.75 − 250)/5 = −0.45

z₂ = (251.25 − 250)/5 = 0.25

พื้นที่ระหว่างสองค่า

P = Φ(0.25) − Φ(−0.45) = 0.5987 − 0.3264 = 0.2724

คำตอบ

P = 0.2724

14.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 103.8 คะแนน

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้าย

Φ(z) = 0.6

z จากตาราง

z ≈ 0.25

กลับเป็นหน่วยเดิม

x = 100 + 0.25·15 = 103.8 คะแนน

คำตอบ

x = 103.8 คะแนน

15.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: E = 10.28

ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น

ค่าวิกฤต

df = n − 1 = 5, t = 2.015

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 2.015·12.5/√6 = 10.28

คำตอบ

E = 10.28

16.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 664

แก้หา n

n = (2.576·20/2)² = 663.6

ปัดขึ้น

ขนาดตัวอย่างเป็นจำนวนเต็ม และการปัดลงจะทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนมากเกินไป

n = 664

คำตอบ

n = 664

17.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: p = 0.008198

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

ตัวสถิติทดสอบ

SE = σ/√n = 3/√36 = 0.5

z = (101.2 − 100)/0.5 = 2.4

พื้นที่หาง

Φ(2.4) = 0.9918

1 − Φ(2.4) = 0.0082

ค่า p

p = 0.008198

คำตอบ

p = 0.008198

p ≤ 0.05 ดังนั้นปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5%

18.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: L = 49.05

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 2.576·20/√100 = 5.152

ขีดจำกัดของช่วง

L = 54.2 − 5.152 = 49.05

คำตอบ

L = 49.05

19.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r² = 0.9454

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 296/6 = 49.33

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 72

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 313.3

สัมประสิทธิ์การตัดสินใจ

r² = 72²/(17.5·313.3) = 0.9454

คำตอบ

r² = 0.9454

ประมาณ 94.54% ของความผันแปรของ y อธิบายได้ด้วยเส้นตรง

20.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: ŷ = 10.1

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 59/5 = 11.8

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 68

เส้นถดถอย

b = 68/40 = 1.7

a = 11.8 − 1.7·6 = 1.6

ŷ = 1.6 + 1.7·x

การทำนาย

ŷ = 1.6 + 1.7·5 = 10.1

คำตอบ

ŷ = 10.1

นี่คือสื่อฝึกหัดอิสระ ExamProblems ไม่ได้สังกัดหรือได้รับการรับรองจากองค์กรที่จัดสอบ และใช้ชื่อการสอบเพื่ออธิบายเนื้อหาเท่านั้น CFA® and Chartered Financial Analyst® เป็นเครื่องหมายการค้าของ CFA Institute ซึ่งไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ ExamProblems ไม่ได้รับรอง และไม่รับประกันความถูกต้องของ ExamProblems

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income