การวิเคราะห์วงจร 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม
Req = R1 + R2 + …
ตัวต้านทานขนาน
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
สองตัวขนานกัน
Req = R1R2 / (R1 + R2)
กฎของโอห์ม
V = I·R
กำลัง
P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

  1. เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
  2. รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
  4. ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

การวิเคราะห์โหนด

กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์
ΣIin = ΣIout
กระแสสาขา
I = (Va − Vb)/R
โหนดอ้างอิง
Vground = 0

วิธีการ

  1. เลือกโหนดอ้างอิง (กราวด์) และตั้งชื่อแรงดันโหนดอื่น
  2. เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่ทุกโหนดที่ไม่ทราบค่า: กระแสที่ไหลออกผ่านแต่ละสาขาเท่ากับกระแสที่ไหลเข้า
  3. เขียนกระแสสาขาทุกสาขาเป็น (Va − Vb)/R
  4. แก้ระบบสมการ แล้วหากระแสที่ต้องการ

การวิเคราะห์เมช

กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์
ΣV = 0 รอบทุกลูป
ตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกัน
กระแส = I1 − I2
แหล่งจ่ายกระแสในเมช
กำหนดกระแสเมชนั้น

วิธีการ

  1. วาดกระแสตามเข็มนาฬิกาในทุกเมช (ช่อง) ของวงจร
  2. ใช้กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์รอบแต่ละเมช: ผลรวมแรงดันตกเป็นศูนย์
  3. ในตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกันสองเมช กระแสคือผลต่างของกระแสเมชทั้งสอง
  4. แก้สมการ ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่ากระแสไหลไปทางตรงข้าม

การซ้อนทับ

การซ้อนทับ
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
แหล่งจ่ายแรงดันที่ปิดอยู่
ลัดวงจร (0 V)
แหล่งจ่ายกระแสที่ปิดอยู่
วงจรเปิด (0 A)
ตัวแบ่งแรงดัน
V2 = V·R2/(R1 + R2)
ตัวแบ่งกระแส
I1 = I·R2/(R1 + R2)

วิธีการ

  1. นับแหล่งจ่ายอิสระ คุณจะแก้วงจรที่ง่ายกว่าหนึ่งวงจรต่อหนึ่งแหล่งจ่าย
  2. เก็บแหล่งจ่ายไว้หนึ่งตัวแล้วปิดตัวอื่น: แหล่งจ่ายแรงดันกลายเป็นลัดวงจร (เส้นลวด) แหล่งจ่ายกระแสกลายเป็นวงจรเปิด (ช่องว่าง)
  3. แก้วงจรที่ง่ายกว่าเพื่อหาแรงดันหรือกระแสที่ต้องการ โดยติดตามทิศทางของมัน
  4. ทำซ้ำสำหรับทุกแหล่งจ่าย แล้วบวกส่วนที่ได้พร้อมเครื่องหมาย

เทวินินและนอร์ตัน

แรงดันเทวินิน
Vth = Vopen circuit
ความต้านทานเทวินิน
Rth: ปิดแหล่งจ่ายทั้งหมด มองจาก a–b
กระแสนอร์ตัน
IN = Vth/Rth
กระแสโหลด
IL = Vth/(Rth + RL)
การถ่ายโอนกำลังสูงสุด
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

วิธีการ

  1. ถอดโหลดออกและทำเครื่องหมายสองขั้วเป็น a และ b
  2. หาแรงดันวงจรเปิดระหว่าง a และ b: นี่คือ Vth
  3. ปิดแหล่งจ่ายอิสระทั้งหมดแล้วหาความต้านทานที่มองจาก a–b: นี่คือ Rth
  4. ต่อโหลดกลับเข้ากับวงจรสมมูล: Vth อนุกรมกับ Rth
  5. สำหรับวงจรสมมูลนอร์ตัน ให้แปลง: IN = Vth/Rth โดยมี RN = Rth ต่อขนาน

วงจรออปแอมป์

เครื่องขยายแบบกลับเฟส
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
เครื่องขยายแบบไม่กลับเฟส
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
เครื่องขยายแบบรวมสัญญาณ
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
ออปแอมป์อุดมคติ
V+ = V−, Iin = 0

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา
τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว
t ≈ 5τ

วิธีการ

  1. หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
  2. หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
  3. หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
  4. ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ

2โจทย์ฝึก

1.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
R1​ = 12 ΩIR1​R3​ = 4 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAR4​12 ΩB

หากระแส IR1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R1

V1 = 10 VR1 = 12 ΩR2 = 8 ΩR3 = 4 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
2.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
R1​ = 30 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩIR2​AR4​2 ΩBR6​12 Ω

หากระแส IR2 ผ่าน R2

V1 = 24 VR1 = 30 ΩR2 = 3 ΩR3 = 2 ΩR4 = 2 ΩR5 = 25 ΩR6 = 12 Ω
IR2 = A
3.การวิเคราะห์โหนดปานกลาง
R1​ = 15 ΩR3​ = 15 ΩIR3​+−V1​24 VR2​3 ΩAR4​15 ΩBIs​3 A

ใช้การวิเคราะห์โหนดเพื่อหา กระแส IR3 ผ่าน R3 ในทิศทางตามลูกศร

V1 = 24 VIs = 3 AR1 = 15 ΩR2 = 3 ΩR3 = 15 ΩR4 = 15 Ω
IR3 = A
4.การวิเคราะห์โหนดยาก
R1​ = 4 Ω−+Vs​ = 15 V+−V1​6 VR2​6 ΩAR3​15 ΩBIs​1 A

แหล่งกำเนิดแรงดัน Vₛ ระหว่าง A และ B มีขั้ว + ที่ B จึงทำให้ VB − VA = Vₛ ใช้การวิเคราะห์โนดด้วยซูเปอร์โนดหา แรงดันที่โหนด VA (วัดเทียบกับกราวด์)

V1 = 6 VIs = 1 AVs = 15 VR1 = 4 ΩR2 = 6 ΩR3 = 15 Ω
VA = V
5.การวิเคราะห์เมชปานกลาง
R1​ = 4 ΩR2​ = 6 Ω+−V1​15 VR3​12 ΩA+−V2​12 VI1​I2​

ใช้การวิเคราะห์เมชเพื่อหา กระแสเมช I1 (ตามเข็มนาฬิกา)

V1 = 15 VV2 = 12 VR1 = 4 ΩR2 = 6 ΩR3 = 12 Ω
I1 = A
6.การวิเคราะห์เมชยาก
R1​ = 15 ΩR2​ = 15 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​36 VR4​25 ΩAR5​15 ΩB+−V2​10 VI1​I2​I3​

ใช้การวิเคราะห์เมชเพื่อหา กระแสเมช I1 (ตามเข็มนาฬิกา)

V1 = 36 VV2 = 10 VR1 = 15 ΩR2 = 15 ΩR3 = 4 ΩR4 = 25 ΩR5 = 15 Ω
I1 = A
7.การซ้อนทับปานกลาง
R1​ = 5 ΩR3​ = 10 ΩIR3​+−V1​6 VR2​3 ΩAR4​10 ΩBIs​2.5 A

ใช้การซ้อนทับ (superposition) เพื่อหา กระแส IR3 ผ่าน R3 ในทิศทางตามลูกศร

V1 = 6 VIs = 2.5 AR1 = 5 ΩR2 = 3 ΩR3 = 10 ΩR4 = 10 Ω
IR3 = A
8.การซ้อนทับยาก
R1​ = 30 ΩR2​ = 8 ΩR4​ = 15 Ω+−V1​10 VR3​5 ΩIR3​AIs​4 AB+−V2​?

จงหาค่าของแหล่งกำเนิดแรงดัน V2 (ขั้วตามที่แสดง) ที่ทำให้กระแส IR3 ผ่าน R3 เท่ากับศูนย์

V1 = 10 VIs = 4 AR1 = 30 ΩR2 = 8 ΩR3 = 5 ΩR4 = 15 Ω
V2 = V
9.เทวินินและนอร์ตันปานกลาง
R1​ = 6 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​4 ΩAab

หาแรงดันเทวินิน Vth เมื่อมองจากขั้ว a–b

V1 = 30 VR1 = 6 ΩR2 = 4 ΩR3 = 4 Ω
Vth = V
10.เทวินินและนอร์ตันยาก
R1​ = 10 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​25 ΩAIs​1.5 ABRL​3 ΩIL​

ต่อโหลด RL = 3 Ω คร่อม a–b แทนส่วนที่เหลือของวงจรด้วยวงจรสมมูลเทวินิน แล้วหากระแสโหลด IL

V1 = 30 VIs = 1.5 AR1 = 10 ΩR2 = 25 ΩR3 = 10 ΩRL = 3 Ω
IL = A
11.วงจรออปแอมป์ปานกลาง
−+Vout​Rf​ = 100 kΩR1​ = 4.7 kΩVin​ = −0.1 V

ออปแอมป์เป็นแบบอุดมคติและใช้แหล่งจ่าย ±15 V หาแรงดันเอาต์พุต Vout

Vin = −0.1 VR1 = 4.7 kΩRf = 100 kΩ
Vout = V
12.วงจรออปแอมป์ยาก
−+Vout​Rf​ = 4.7 kΩV1​ = 1.9 VR1​ = 1 kΩV2​ = −2 VR2​ = 10 kΩIf​

เครื่องขยายแบบรวมสัญญาณใช้ออปแอมป์อุดมคติที่มีแหล่งจ่าย ±15 V หากระแส If ผ่านตัวต้านทานป้อนกลับ ที่ไหลไปทางเอาต์พุต

V1 = 1.9 VV2 = −2 VR1 = 1 kΩR2 = 10 kΩRf = 4.7 kΩ
If = mA
13.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
+−Vs​15 Vt = 0R = 22 ΩL150 mHi(t)

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 หากระแส i ที่ t = 10 ms

Vs = 15 VR = 22 ΩL = 150 mHt = 10 ms
i = A
14.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
+−Vs​5 Vt = 0R = 6.8 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 3 V

ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 3 V ตามขั้วที่แสดง ใช้เวลานานเท่าใดให้ vC ถึง 4.6 V หา t

Vs = 5 VR = 6.8 kΩC = 10 µFvC(0) = 3 V
t = ms

3สารละลาย

1.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR1 = 0.5769 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 12 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAR4​12 ΩB

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R3 + R4 = 4 + 12 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 8·16/(8+16) = 5.333 Ω
Req = R1 + 5.333 = 12 + 5.333 = 17.33 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 10/17.33 = 0.5769 A

คำตอบ

IR1 = 0.5769 A
2.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR2 = 0.4279 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 30 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩAR4​2 ΩBR6​12 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R5 + R6 = 25 + 12 = 37 Ω
R4 ∥ 37 = 1.897 Ω
R3 + 1.897 = 3.897 Ω
R2 ∥ 3.897 = 1.695 Ω
Req = R1 + 1.695 = 30 + 1.695 = 31.7 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 24/31.7 = 0.7572 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 0.7572·30 = 1.284 V
IR2 = VA/R2 = 1.284/3 = 0.4279 A

คำตอบ

IR2 = 0.4279 A
3.การวิเคราะห์โหนด

คำตอบ: IR3 = −1.262 A

การวิเคราะห์โหนด: เลือกโหนดอ้างอิง ตั้งชื่อแรงดันโหนดที่ไม่ทราบค่า เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่โหนดที่ไม่ทราบค่าแต่ละโหนดโดยใช้กฎของโอห์ม (I = ΔV/R) แล้วแก้ระบบสมการที่ได้

R1​ = 15 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩAR4​15 ΩBIs​3 A

ตั้งโหนด

กราวด์คือสายด้านล่าง แรงดันโหนดที่ทราบค่าได้จากแหล่งจ่ายโดยตรง (V1 = 24 V) ตัวแปรที่ไม่ทราบ: VA, VB

KCL ที่โหนด A

กระแสที่ไหลออกจาก A ผ่านตัวต้านทานเท่ากับกระแสที่แหล่งจ่ายดันเข้า A

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/3 + (VA − 24)/15 + (VA − VB)/15 = 0
0.4667·VA − 0.06667·VB = 1.6

KCL ที่โหนด B

กระแสที่ไหลออกจาก B ผ่านตัวต้านทานเท่ากับกระแสที่แหล่งจ่ายดันเข้า B

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/15 + (VB − VA)/15 = 3
−0.06667·VA + 0.1333·VB = 3

แก้สมการ

Δ = (0.4667)(0.1333) − (−0.06667)(−0.06667) = 0.05778
VA = Δ1/Δ = 0.4133/0.05778 = 7.154 V
VB = Δ2/Δ = 1.507/0.05778 = 26.08 V

คำตอบ

IR3 = (VA − VB)/R3 = (7.154 − 26.08)/15 = −1.262 A
4.การวิเคราะห์โหนด

คำตอบ: VA = 3.103 V

การวิเคราะห์โหนด: เลือกโหนดอ้างอิง ตั้งชื่อแรงดันโหนดที่ไม่ทราบค่า เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่โหนดที่ไม่ทราบค่าแต่ละโหนดโดยใช้กฎของโอห์ม (I = ΔV/R) แล้วแก้ระบบสมการที่ได้

สร้างซูเปอร์โนด

แหล่งกำเนิดแรงดันระหว่าง A กับ B นำกระแสที่ไม่ทราบค่า จึงเขียน KCL ที่ A หรือ B แยกกันไม่ได้ ให้ล้อม A, B และแหล่งกำเนิดไว้ในซูเปอร์โนดเดียว: กระแสที่เข้าเท่ากับกระแสที่ออก

VB = VA + 15
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + VB/R3 = Is

แก้สมการ

(VA − 6)/4 + VA/6 + (VA + 15)/15 = 1
VA·(1/4 + 1/6 + 1/15) = 1 + 6/4 − 15/15 = 1.5
VA = 1.5/0.4833 = 3.103 V
VB = 18.1 V

คำตอบ

VA = 3.103 V
5.การวิเคราะห์เมช

คำตอบ: I1 = 0.875 A

การวิเคราะห์เมช: กำหนดกระแสลูปให้แต่ละช่องของวงจรระนาบ เขียนกฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์รอบแต่ละลูป (ผลรวมแรงดันตก = ผลรวมแรงดันยก) แล้วแก้สมการ กระแสสาขาคือกระแสเมช หรือผลต่างของกระแสเมชสองตัวในสาขาที่ใช้ร่วมกัน

R1​ = 4 ΩR2​ = 6 Ω+−V1​15 VR3​12 ΩA+−V2​12 VI1​I2​

กำหนดกระแสเมช

วาดกระแสตามเข็มนาฬิกาในแต่ละช่อง: I1, I2 ตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกันสองเมชมีกระแสเท่ากับผลต่างของกระแสทั้งสอง

KVL รอบเมช 1

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
4·I1 + 12(I1 − I2) = 15
16·I1 − 12·I2 = 15

KVL รอบเมช 2

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
6·I2 + 12(I2 − I1) = (−12)
−12·I1 + 18·I2 = −12

แก้สมการ

Δ = (16)(18) − (−12)(−12) = 144
I1 = Δ1/Δ = 126/144 = 0.875 A
I2 = Δ2/Δ = −12/144 = −0.08333 A

คำตอบ

I1 = 0.875 A

กระแสเมชที่เป็นลบไหลทวนเข็มนาฬิกา

6.การวิเคราะห์เมช

คำตอบ: I1 = 1.232 A

การวิเคราะห์เมช: กำหนดกระแสลูปให้แต่ละช่องของวงจรระนาบ เขียนกฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์รอบแต่ละลูป (ผลรวมแรงดันตก = ผลรวมแรงดันยก) แล้วแก้สมการ กระแสสาขาคือกระแสเมช หรือผลต่างของกระแสเมชสองตัวในสาขาที่ใช้ร่วมกัน

R1​ = 15 ΩR2​ = 15 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​36 VR4​25 ΩAR5​15 ΩB+−V2​10 VI1​I2​I3​

กำหนดกระแสเมช

วาดกระแสตามเข็มนาฬิกาในแต่ละช่อง: I1, I2, I3 ตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกันสองเมชมีกระแสเท่ากับผลต่างของกระแสทั้งสอง

KVL รอบเมช 1

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
15·I1 + 25(I1 − I2) = 36
40·I1 − 25·I2 = 36

KVL รอบเมช 2

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
15·I2 + 25(I2 − I1) + 15(I2 − I3) = 0
−25·I1 + 55·I2 − 15·I3 = 0

KVL รอบเมช 3

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
4·I3 + 15(I3 − I2) = (−10)
−15·I2 + 19·I3 = −10

แก้สมการ

Δ = ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ = 20925
I1 = Δ1/Δ = 25770/20925 = 1.232 A
I2 = Δ2/Δ = 11100/20925 = 0.5305 A
I3 = Δ3/Δ = −2250/20925 = −0.1075 A

คำตอบ

I1 = 1.232 A

กระแสเมชที่เป็นลบไหลทวนเข็มนาฬิกา

7.การซ้อนทับ

คำตอบ: IR3 = 1.246 A

การซ้อนทับ: ในวงจรเชิงเส้น แรงดันหรือกระแสใด ๆ เท่ากับผลรวมของการตอบสนองต่อแหล่งจ่ายอิสระแต่ละตัวที่ทำงานเพียงลำพัง การปิดแหล่งจ่ายทำได้โดยแทนแหล่งจ่ายแรงดันอุดมคติด้วยลัดวงจร และแทนแหล่งจ่ายกระแสอุดมคติด้วยวงจรเปิด ตัวต้านทานคงอยู่ที่เดิม

R1​ = 5 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAR4​10 ΩBเปิดวงจร

กรณี 1 · V1 ทำงานเพียงลำพัง

Iₛ กลายเป็นวงจรเปิด ดังนั้น R₃ และ R₄ จึงเป็นสาขาอนุกรมเดียวจาก A ไปยังกราวด์ ขนานกับ R₂

R3+R4 = 10+10 = 20 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 3·20/(3+20) = 2.609 Ω
VA = 6·2.609/(5+2.609) = 2.057 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 2.057·10/20 = 1.029 V
IR3′ = (VA − VB)/R3 = (2.057 − 1.029)/10 = 0.1029 A
R1​ = 5 ΩR3​ = 10 ΩลัดวงจรR2​3 ΩAR4​10 ΩBIs​2.5 A

กรณี 2 · Is ทำงานเพียงลำพัง

V₁ กลายเป็นลัดวงจร ดังนั้น R₁ ขนานกับ R₂ กระแส Iₛ แยกที่ B ระหว่าง R₄ กับเส้นทางที่ผ่าน R₃

R1 ∥ R2 = 5·3/(5+3) = 1.875 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 10 ∥ 11.88 = 5.429 Ω
VB = Is·Req = (−2.5)·5.429 = −13.57 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = −13.57·1.875/11.88 = −2.143 V
IR3″ = (VA − VB)/R3 = (−2.143 − −13.57)/10 = 1.143 A

รวมผลที่ได้

IR3 = IR3′ + IR3″
IR3 = 0.1029 + 1.143 = 1.246 A

ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าในความเป็นจริงกระแสไหลทวนลูกศร

8.การซ้อนทับ

คำตอบ: V2 = 52.33 V

การซ้อนทับ: ในวงจรเชิงเส้น แรงดันหรือกระแสใด ๆ เท่ากับผลรวมของการตอบสนองต่อแหล่งจ่ายอิสระแต่ละตัวที่ทำงานเพียงลำพัง การปิดแหล่งจ่ายทำได้โดยแทนแหล่งจ่ายแรงดันอุดมคติด้วยลัดวงจร และแทนแหล่งจ่ายกระแสอุดมคติด้วยวงจรเปิด ตัวต้านทานคงอยู่ที่เดิม

R1​ = 30 ΩR2​ = 8 ΩR4​ = 15 Ω+−V1​10 VR3​5 ΩAเปิดวงจรBลัดวงจร

กรณีที่ 1 · V1 ทำงานอย่างเดียว

V₂ กลายเป็นลัดวงจรและ Iₛ กลายเป็นวงจรเปิด เมื่อมองจาก A ตัว R₃ ขนานกับคู่อนุกรม R₂+R₄

R3 ∥ (R2+R4) = 5 ∥ 23 = 4.107 Ω
VA = 10·4.107/(30+4.107) = 1.204 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 1.204·15/23 = 0.7853 V
R1​ = 30 ΩR2​ = 8 ΩR4​ = 15 ΩลัดวงจรR3​5 ΩAIs​4 ABลัดวงจร

กรณีที่ 2 · Is ทำงานอย่างเดียว

แหล่งจ่ายแรงดันทั้งสองกลายเป็นลัดวงจร กระแส Iₛ แยกที่ B ระหว่าง R₄ (ซึ่งตอนนี้ต่อลงกราวด์) กับ R₂ ที่ต่ออนุกรมกับ R₁ ∥ R₃ ลูกศรของ Iₛ ชี้ลงห่างจากโหนดของมัน Iₛ จึงดึงกระแสออกจากโหนดนั้น: พจน์ของมันเข้ามาด้วยเครื่องหมายลบ

R1 ∥ R3 = 4.286 Ω ดังนั้นเส้นทางด้านซ้ายคือ R2+4.286 = 12.29 Ω
Req = R4 ∥ 12.29 = 6.754 Ω
VB = −Is·Req = −4·6.754 = −27.02 V
VA = VB·4.286/12.29 = −9.424 V

กรณีที่ 3 · V2 ทำงานอย่างเดียว ต่อหนึ่งโวลต์

V₁ กลายเป็นลัดวงจรและ Iₛ กลายเป็นวงจรเปิด R₁ ∥ R₃ ห้อยลงจาก A ต่ออนุกรมกับ R₂ กลับไปที่ B

R1 ∥ R3 = 4.286 Ω
VA‴ = V2·4.286/(15 + 8 + 4.286) = 0.1571·V2

ตั้ง VA เป็นศูนย์

เมื่อ VA = 0 ไม่มีแรงดันตกคร่อม R₃ กระแสของมันจึงเป็นศูนย์

VA′ + VA″ + VA‴ = 1.204 + (−9.424) + 0.1571·V2 = 0
V2 = 8.22/0.1571 = 52.33 V

คำตอบ

V2 = 52.33 V
9.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: Vth = 12 V

ทฤษฎีบทของเทวินิน: โครงข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ ทำงานเหมือนแหล่งจ่ายแรงดัน Vth หนึ่งตัวต่ออนุกรมกับความต้านทาน Rth ทฤษฎีบทของนอร์ตัน ให้โครงข่ายเดียวกันในรูปแหล่งจ่ายกระแส IN = Vth/Rth ต่อขนานกับ Rth

R1​ = 6 ΩR3​ = 4 ΩลัดวงจรR2​4 ΩAabRth​

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

แทนแหล่งจ่ายแรงดันด้วยลัดวงจรและแหล่งจ่ายกระแสด้วยวงจรเปิด แล้วมองเข้าไปในวงจรจาก a–b

R1 ∥ R2 = 6·4/(6+4) = 2.4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.4 + 4 = 6.4 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​4 ΩAab+−Vth​

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ ไม่มีกระแสไหลผ่าน R₃ จึงไม่มีแรงดันตกคร่อม ดังนั้น V_b = V_A และ R₁ กับ R₂ เป็นตัวแบ่งแรงดัน

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 30·4/(6+4) = 12 V
10.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: IL = −0.2128 A

ทฤษฎีบทของเทวินิน: โครงข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ ทำงานเหมือนแหล่งจ่ายแรงดัน Vth หนึ่งตัวต่ออนุกรมกับความต้านทาน Rth ทฤษฎีบทของนอร์ตัน ให้โครงข่ายเดียวกันในรูปแหล่งจ่ายกระแส IN = Vth/Rth ต่อขนานกับ Rth

R1​ = 10 ΩR3​ = 10 ΩลัดวงจรR2​25 ΩAเปิดวงจรBabRth​

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

แทนแหล่งจ่ายแรงดันด้วยลัดวงจรและแหล่งจ่ายกระแสด้วยวงจรเปิด แล้วมองเข้าไปในวงจรจาก a–b

R1 ∥ R2 = 10·25/(10+25) = 7.143 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7.143 + 10 = 17.14 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​25 ΩAIs​1.5 ABab+−Vth​

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ เส้นทางเดียวของ Iₛ คือผ่าน R₃ เข้าโหนด A หา V_A ด้วยการซ้อนทับของ V₁ และ Iₛ แล้วบวกแรงดันตกคร่อม R₃

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 21.43 + (−1.5)·7.143 = 10.71 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 10.71 + (−1.5)·10 = −4.286 V
Rth​ = 17.14 Ω−+Vth​4.286 VRL​3 ΩIL​

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

แหล่งจ่ายเทวินินกับ R_th ที่ต่ออนุกรมกันทำงานเหมือนวงจรเดิมที่ a–b ทุกประการ โหลดจึงเห็นเป็นลูปอนุกรมอย่างง่าย

IL = Vth/(Rth + RL) = −4.286/(17.14 + 3) = −0.2128 A
11.วงจรออปแอมป์

คำตอบ: Vout = −2.228 V

กฎของออปแอมป์อุดมคติ: เมื่อมีป้อนกลับลบ ออปแอมป์จะขับเอาต์พุตให้อินพุตทั้งสองมีแรงดันเท่ากัน (V₋ = V₊) และไม่มีกระแสไหลเข้าอินพุตใดเลย เขียน KCL ที่อินพุตกลับเฟสโดยใช้สองข้อนี้ก็จะได้เอาต์พุต

อินพุตกลับเฟสตามอินพุต

V₋ = V₊ = −0.1 V
I = V₋/R1 = −0.1/4.7 = −0.02128 mA

แรงดันเอาต์พุต

กระแสผ่าน R₁ ไหลผ่าน Rf ด้วย

Vout = V₋ + I·Rf = −0.1 + (−0.02128)·100 = −2.228 V

คำตอบ

Vout = −2.228 V
12.วงจรออปแอมป์

คำตอบ: If = 1.7 mA

กฎของออปแอมป์อุดมคติ: เมื่อมีป้อนกลับลบ ออปแอมป์จะขับเอาต์พุตให้อินพุตทั้งสองมีแรงดันเท่ากัน (V₋ = V₊) และไม่มีกระแสไหลเข้าอินพุตใดเลย เขียน KCL ที่อินพุตกลับเฟสโดยใช้สองข้อนี้ก็จะได้เอาต์พุต

กระแสอินพุต

V₋ = 0 ดังนั้นตัวต้านทานอินพุตแต่ละตัวมีแรงดันอินพุตเต็มค่าคร่อมอยู่

I1 = V1/R1 = 1.9/1 = 1.9 mA
I2 = V2/R2 = −2/10 = −0.2 mA
If = I1 + I2 = 1.7 mA

คำตอบ

If = 1.7 mA
13.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: i = 0.5245 A

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 150 mH / 22 Ω = 6.818 ms
i(∞) = Vs/R = 15/22 = 0.6818 A

กระแสที่เวลาที่กำหนด

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.6818·(1 − e−10/6.818) = 0.5245 A

คำตอบ

i = 0.5245 A
14.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 109.4 ms

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย

vC(0) = 3 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 10 µF = 68 ms
vC(t) = 5 + (3 − 5)·e−t/τ

แก้สมการหาเวลา

4.6 = 5 + (−2)·e−t/τ → e−t/τ = (4.6 − 5)/(3 − 5) = 0.2
t = τ·ln((3 − 5)/(4.6 − 5)) = 68·ln(5) = 109.4 ms

คำตอบ

t = 109.4 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1