การวิเคราะห์วงจร 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม
Req = R1 + R2 + …
ตัวต้านทานขนาน
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
สองตัวขนานกัน
Req = R1R2 / (R1 + R2)
กฎของโอห์ม
V = I·R
กำลัง
P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

  1. เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
  2. รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
  4. ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

การวิเคราะห์โหนด

กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์
ΣIin = ΣIout
กระแสสาขา
I = (Va − Vb)/R
โหนดอ้างอิง
Vground = 0

วิธีการ

  1. เลือกโหนดอ้างอิง (กราวด์) และตั้งชื่อแรงดันโหนดอื่น
  2. เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่ทุกโหนดที่ไม่ทราบค่า: กระแสที่ไหลออกผ่านแต่ละสาขาเท่ากับกระแสที่ไหลเข้า
  3. เขียนกระแสสาขาทุกสาขาเป็น (Va − Vb)/R
  4. แก้ระบบสมการ แล้วหากระแสที่ต้องการ

การวิเคราะห์เมช

กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์
ΣV = 0 รอบทุกลูป
ตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกัน
กระแส = I1 − I2
แหล่งจ่ายกระแสในเมช
กำหนดกระแสเมชนั้น

วิธีการ

  1. วาดกระแสตามเข็มนาฬิกาในทุกเมช (ช่อง) ของวงจร
  2. ใช้กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์รอบแต่ละเมช: ผลรวมแรงดันตกเป็นศูนย์
  3. ในตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกันสองเมช กระแสคือผลต่างของกระแสเมชทั้งสอง
  4. แก้สมการ ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่ากระแสไหลไปทางตรงข้าม

การซ้อนทับ

การซ้อนทับ
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
แหล่งจ่ายแรงดันที่ปิดอยู่
ลัดวงจร (0 V)
แหล่งจ่ายกระแสที่ปิดอยู่
วงจรเปิด (0 A)
ตัวแบ่งแรงดัน
V2 = V·R2/(R1 + R2)
ตัวแบ่งกระแส
I1 = I·R2/(R1 + R2)

วิธีการ

  1. นับแหล่งจ่ายอิสระ คุณจะแก้วงจรที่ง่ายกว่าหนึ่งวงจรต่อหนึ่งแหล่งจ่าย
  2. เก็บแหล่งจ่ายไว้หนึ่งตัวแล้วปิดตัวอื่น: แหล่งจ่ายแรงดันกลายเป็นลัดวงจร (เส้นลวด) แหล่งจ่ายกระแสกลายเป็นวงจรเปิด (ช่องว่าง)
  3. แก้วงจรที่ง่ายกว่าเพื่อหาแรงดันหรือกระแสที่ต้องการ โดยติดตามทิศทางของมัน
  4. ทำซ้ำสำหรับทุกแหล่งจ่าย แล้วบวกส่วนที่ได้พร้อมเครื่องหมาย

เทวินินและนอร์ตัน

แรงดันเทวินิน
Vth = Vopen circuit
ความต้านทานเทวินิน
Rth: ปิดแหล่งจ่ายทั้งหมด มองจาก a–b
กระแสนอร์ตัน
IN = Vth/Rth
กระแสโหลด
IL = Vth/(Rth + RL)
การถ่ายโอนกำลังสูงสุด
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

วิธีการ

  1. ถอดโหลดออกและทำเครื่องหมายสองขั้วเป็น a และ b
  2. หาแรงดันวงจรเปิดระหว่าง a และ b: นี่คือ Vth
  3. ปิดแหล่งจ่ายอิสระทั้งหมดแล้วหาความต้านทานที่มองจาก a–b: นี่คือ Rth
  4. ต่อโหลดกลับเข้ากับวงจรสมมูล: Vth อนุกรมกับ Rth
  5. สำหรับวงจรสมมูลนอร์ตัน ให้แปลง: IN = Vth/Rth โดยมี RN = Rth ต่อขนาน

วงจรออปแอมป์

เครื่องขยายแบบกลับเฟส
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
เครื่องขยายแบบไม่กลับเฟส
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
เครื่องขยายแบบรวมสัญญาณ
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
ออปแอมป์อุดมคติ
V+ = V−, Iin = 0

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา
τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว
t ≈ 5τ

วิธีการ

  1. หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
  2. หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
  3. หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
  4. ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ

2โจทย์ฝึก

1.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
R1​ = 8 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩIR2​AR4​5 ΩB

หากระแส IR2 ผ่าน R2

V1 = 15 VR1 = 8 ΩR2 = 20 ΩR3 = 2 ΩR4 = 5 Ω
IR2 = A
2.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 25 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAR4​5 ΩBR6​12 Ω

หากระแส IR1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R1

V1 = 10 VR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 25 ΩR4 = 5 ΩR5 = 12 ΩR6 = 12 Ω
IR1 = A
3.การวิเคราะห์โหนดปานกลาง
R1​ = 20 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩAR4​12 ΩBIs​5 A

ใช้การวิเคราะห์โนดหากำลัง PIs ที่แหล่งกำเนิดกระแส Is จ่าย

V1 = 18 VIs = 5 AR1 = 20 ΩR2 = 20 ΩR3 = 8 ΩR4 = 12 Ω
PIs = W
4.การวิเคราะห์โหนดยาก
R1​ = 3 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​9 VR2​8 ΩAR4​6 ΩB0.4·VA​

สัญลักษณ์รูปสี่เหลี่ยมข้าวหลามตัดคือแหล่งกำเนิดกระแสควบคุมด้วยแรงดันที่ดันกระแส 0.4·VA (ในหน่วย A โดย VA ในหน่วย V) ขึ้นเข้าโนด B ใช้การวิเคราะห์โนดหา แรงดันที่โหนด VA (วัดเทียบกับกราวด์)

V1 = 9 VR1 = 3 ΩR2 = 8 ΩR3 = 6 ΩR4 = 6 Ωg = 0.4 A/V
VA = V
5.การวิเคราะห์เมชปานกลาง
R1​ = 12 ΩIR1​R2​ = 5 Ω+−V1​15 VR3​15 ΩA+−V2​6 VI1​I2​

ใช้การวิเคราะห์เมชเพื่อหา กระแส IR1 ผ่าน R1 ในทิศทางตามลูกศร

V1 = 15 VV2 = 6 VR1 = 12 ΩR2 = 5 ΩR3 = 15 Ω
IR1 = A
6.การวิเคราะห์เมชยาก
R1​ = 25 ΩR2​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​30 VR4​3 ΩAR5​10 ΩB+−V2​10 VI1​I2​I3​

ใช้การวิเคราะห์เมชเพื่อหา กระแสเมช I1 (ตามเข็มนาฬิกา)

V1 = 30 VV2 = 10 VR1 = 25 ΩR2 = 12 ΩR3 = 15 ΩR4 = 3 ΩR5 = 10 Ω
I1 = A
7.การซ้อนทับปานกลาง
R1​ = 6 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩIR2​AR4​15 ΩBIs​1.5 A

ใช้หลักการซ้อนทับหากำลังไฟฟ้า PR2 ที่ R2 ดูดกลืน

V1 = 24 VIs = 1.5 AR1 = 6 ΩR2 = 3 ΩR3 = 4 ΩR4 = 15 Ω
PR2 = W
8.การซ้อนทับยาก
R1​ = 8 ΩR2​ = 4 Ω+−VR2​R4​ = 3 Ω+−V1​15 VR3​30 ΩAIs​0.5 AB−+V2​6 V

ใช้การซ้อนทับ (superposition) เพื่อหา แรงดัน VR2 ที่ตกคร่อม R2 ตามขั้วที่แสดง

V1 = 15 VIs = 0.5 AV2 = 6 VR1 = 8 ΩR2 = 4 ΩR3 = 30 ΩR4 = 3 Ω
VR2 = V
9.เทวินินและนอร์ตันปานกลาง
R1​ = 12 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩAab

หาแรงดันเทวินิน Vth เมื่อมองจากขั้ว a–b

V1 = 30 VR1 = 12 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 Ω
Vth = V
10.เทวินินและนอร์ตันยาก
R1​ = 15 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩAIs​0.5 ABab

หากระแสนอร์ตัน IN คือกระแสที่ไหลจาก a ไป b เมื่อลัดวงจรขั้ว

V1 = 9 VIs = 0.5 AR1 = 15 ΩR2 = 3 ΩR3 = 2 Ω
IN = A
11.วงจรออปแอมป์ปานกลาง
−+Vout​Rf​ = 100 kΩR1​ = 4.7 kΩVin​ = −0.3 V

ออปแอมป์เป็นแบบอุดมคติและใช้แหล่งจ่าย ±15 V หาแรงดันเอาต์พุต Vout

Vin = −0.3 VR1 = 4.7 kΩRf = 100 kΩ
Vout = V
12.วงจรออปแอมป์ยาก
−+Vout​Rf​ = 10 kΩV1​ = 0.6 VR1​ = 4.7 kΩV2​ = 0.8 VR2​ = 2 kΩIf​

เครื่องขยายแบบรวมสัญญาณใช้ออปแอมป์อุดมคติที่มีแหล่งจ่าย ±15 V หากระแส If ผ่านตัวต้านทานป้อนกลับ ที่ไหลไปทางเอาต์พุต

V1 = 0.6 VV2 = 0.8 VR1 = 4.7 kΩR2 = 2 kΩRf = 10 kΩ
If = mA
13.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
+−Vs​10 Vt = 0R = 22 ΩL100 mHi(t)

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 หลังจากสวิตช์ปิดนานเท่าใดกระแสจึงถึง 90% ของค่าสุดท้าย หา t

Vs = 10 VR = 22 ΩL = 100 mH
t = ms
14.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
+−Vs​15 Vt = 0R = ?C100 µF+−vC​

ตัวตั้งเวลาเริ่มประจุตัวเก็บประจุที่ไม่มีประจุผ่านตัวต้านทานจากแหล่งจ่าย 15 V ที่ t = 0 ต้องทริกเกอร์เมื่อแรงดันตัวเก็บประจุถึง 9.48 V พอดี 250 ms หลังเริ่ม เมื่อ C = 100 µF จงหาความต้านทาน R ที่ต้องการ

Vs = 15 VVth = 9.48 VT = 250 msC = 100 µF
R = kΩ

3สารละลาย

1.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR2 = 0.2949 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 8 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAR4​5 ΩB

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R3 + R4 = 2 + 5 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 20·7/(20+7) = 5.185 Ω
Req = R1 + 5.185 = 8 + 5.185 = 13.19 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 15/13.19 = 1.138 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 1.138·8 = 5.899 V
IR2 = VA/R2 = 5.899/20 = 0.2949 A

คำตอบ

IR2 = 0.2949 A
2.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR1 = 0.5006 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 15 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAR4​5 ΩBR6​12 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R5 + R6 = 12 + 12 = 24 Ω
R4 ∥ 24 = 4.138 Ω
R3 + 4.138 = 29.14 Ω
R2 ∥ 29.14 = 4.975 Ω
Req = R1 + 4.975 = 15 + 4.975 = 19.98 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 10/19.98 = 0.5006 A

คำตอบ

IR1 = 0.5006 A
3.การวิเคราะห์โหนด

คำตอบ: PIs = 198 W

การวิเคราะห์โหนด: เลือกโหนดอ้างอิง ตั้งชื่อแรงดันโหนดที่ไม่ทราบค่า เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่โหนดที่ไม่ทราบค่าแต่ละโหนดโดยใช้กฎของโอห์ม (I = ΔV/R) แล้วแก้ระบบสมการที่ได้

KCL ที่โหนด A

กระแสที่ไหลออกจาก A ผ่านตัวต้านทานเท่ากับกระแสที่แหล่งจ่ายดันเข้า A

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/20 + (VA − 18)/20 + (VA − VB)/8 = 0
0.225·VA − 0.125·VB = 0.9

KCL ที่โหนด B

กระแสที่ไหลออกจาก B ผ่านตัวต้านทานเท่ากับกระแสที่แหล่งจ่ายดันเข้า B

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/12 + (VB − VA)/8 = 5
−0.125·VA + 0.2083·VB = 5

แก้สมการ

Δ = (0.225)(0.2083) − (−0.125)(−0.125) = 0.03125
VA = Δ1/Δ = 0.8125/0.03125 = 26 V
VB = Δ2/Δ = 1.238/0.03125 = 39.6 V

กำลังที่แหล่งกำเนิดกระแสจ่าย

แหล่งกำเนิดดัน Iₛ ขึ้นเข้าสู่โนด B จากกราวด์ (0 V) ไปยัง VB แหล่งกำเนิดที่กระแสออกจากขั้ว + จ่ายกำลัง P = V·I

PIs = VB·Is = 39.6·5 = 198 W

คำตอบ

PIs = 198 W
4.การวิเคราะห์โหนด

คำตอบ: VA = 8.78 V

การวิเคราะห์โหนด: เลือกโหนดอ้างอิง ตั้งชื่อแรงดันโหนดที่ไม่ทราบค่า เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่โหนดที่ไม่ทราบค่าแต่ละโหนดโดยใช้กฎของโอห์ม (I = ΔV/R) แล้วแก้ระบบสมการที่ได้

KCL ที่โนด A

กระแสที่ไหลออกจาก A ผ่านตัวต้านทานเท่ากับกระแสที่แหล่งกำเนิดดันเข้า A

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0.625·VA − 0.1667·VB = 3

KCL ที่โนด B

แหล่งกำเนิดไม่อิสระดัน g·VA เข้าโนด B ให้ปฏิบัติเหมือนแหล่งกำเนิดอิสระ แล้วย้ายพจน์ VA ไปทางซ้ายมือ

(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0.4·VA
−0.5667·VA + 0.3333·VB = 0

แก้สมการ

Δ = (0.625)(0.3333) − (−0.1667)(−0.5667) = 0.1139
VA = Δ1/Δ = 1/0.1139 = 8.78 V
VB = Δ2/Δ = 1.7/0.1139 = 14.93 V

คำตอบ

VA = 8.78 V
5.การวิเคราะห์เมช

คำตอบ: IR1 = 0.6667 A

การวิเคราะห์เมช: กำหนดกระแสลูปให้แต่ละช่องของวงจรระนาบ เขียนกฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์รอบแต่ละลูป (ผลรวมแรงดันตก = ผลรวมแรงดันยก) แล้วแก้สมการ กระแสสาขาคือกระแสเมช หรือผลต่างของกระแสเมชสองตัวในสาขาที่ใช้ร่วมกัน

R1​ = 12 ΩR2​ = 5 Ω+−V1​15 VR3​15 ΩA+−V2​6 VI1​I2​

กำหนดกระแสเมช

วาดกระแสตามเข็มนาฬิกาในแต่ละช่อง: I1, I2 ตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกันสองเมชมีกระแสเท่ากับผลต่างของกระแสทั้งสอง

KVL รอบเมช 1

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
12·I1 + 15(I1 − I2) = 15
27·I1 − 15·I2 = 15

KVL รอบเมช 2

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
5·I2 + 15(I2 − I1) = (−6)
−15·I1 + 20·I2 = −6

แก้สมการ

Δ = (27)(20) − (−15)(−15) = 315
I1 = Δ1/Δ = 210/315 = 0.6667 A
I2 = Δ2/Δ = 63/315 = 0.2 A

คำตอบ

IR1 = I1 = 0.6667 A

กระแสเมชที่เป็นลบไหลทวนเข็มนาฬิกา

6.การวิเคราะห์เมช

คำตอบ: I1 = 1.067 A

การวิเคราะห์เมช: กำหนดกระแสลูปให้แต่ละช่องของวงจรระนาบ เขียนกฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์รอบแต่ละลูป (ผลรวมแรงดันตก = ผลรวมแรงดันยก) แล้วแก้สมการ กระแสสาขาคือกระแสเมช หรือผลต่างของกระแสเมชสองตัวในสาขาที่ใช้ร่วมกัน

R1​ = 25 ΩR2​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​30 VR4​3 ΩAR5​10 ΩB+−V2​10 VI1​I2​I3​

กำหนดกระแสเมช

วาดกระแสตามเข็มนาฬิกาในแต่ละช่อง: I1, I2, I3 ตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกันสองเมชมีกระแสเท่ากับผลต่างของกระแสทั้งสอง

KVL รอบเมช 1

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
25·I1 + 3(I1 − I2) = 30
28·I1 − 3·I2 = 30

KVL รอบเมช 2

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
12·I2 + 3(I2 − I1) + 10(I2 − I3) = 0
−3·I1 + 25·I2 − 10·I3 = 0

KVL รอบเมช 3

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
15·I3 + 10(I3 − I2) = (−10)
−10·I2 + 25·I3 = −10

แก้สมการ

Δ = ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ = 14475
I1 = Δ1/Δ = 15450/14475 = 1.067 A
I2 = Δ2/Δ = −550/14475 = −0.038 A
I3 = Δ3/Δ = −6010/14475 = −0.4152 A

คำตอบ

I1 = 1.067 A

กระแสเมชที่เป็นลบไหลทวนเข็มนาฬิกา

7.การซ้อนทับ

คำตอบ: PR2 = 8.654 W

การซ้อนทับ: ในวงจรเชิงเส้น แรงดันหรือกระแสใด ๆ เท่ากับผลรวมของการตอบสนองต่อแหล่งจ่ายอิสระแต่ละตัวที่ทำงานเพียงลำพัง การปิดแหล่งจ่ายทำได้โดยแทนแหล่งจ่ายแรงดันอุดมคติด้วยลัดวงจร และแทนแหล่งจ่ายกระแสอุดมคติด้วยวงจรเปิด ตัวต้านทานคงอยู่ที่เดิม

R1​ = 6 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩAR4​15 ΩBเปิดวงจร

กรณี 1 · V1 ทำงานเพียงลำพัง

Iₛ กลายเป็นวงจรเปิด ดังนั้น R₃ และ R₄ จึงเป็นสาขาอนุกรมเดียวจาก A ไปยังกราวด์ ขนานกับ R₂

R3+R4 = 4+15 = 19 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 3·19/(3+19) = 2.591 Ω
VA = 24·2.591/(6+2.591) = 7.238 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 7.238·15/19 = 5.714 V
IR2′ = (VA − 0)/R2 = (7.238 − 0)/3 = 2.413 A
R1​ = 6 ΩR3​ = 4 ΩลัดวงจรR2​3 ΩAR4​15 ΩBIs​1.5 A

กรณี 2 · Is ทำงานเพียงลำพัง

V₁ กลายเป็นลัดวงจร ดังนั้น R₁ ขนานกับ R₂ กระแส Iₛ แยกที่ B ระหว่าง R₄ กับเส้นทางที่ผ่าน R₃ ลูกศรของ Iₛ ชี้ลงห่างจากโหนดของมัน Iₛ จึงดึงกระแสออกจากโหนดนั้น: พจน์ของมันเข้ามาด้วยเครื่องหมายลบ

R1 ∥ R2 = 6·3/(6+3) = 2 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 15 ∥ 6 = 4.286 Ω
VB = −Is·Req = −1.5·4.286 = −6.429 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = −6.429·2/6 = −2.143 V
IR2″ = (VA − 0)/R2 = (−2.143 − 0)/3 = −0.7143 A

บวกส่วนของกระแส

IR2 = IR2′ + IR2″ = 2.413 + (−0.7143) = 1.698 A

กำลังในตัวต้านทาน

กำลังขึ้นกับกำลังสองของกระแส จึงไม่เป็นไปตามหลักการซ้อนทับ: ให้บวกกระแสก่อน แล้วจึงยกกำลังสอง

PR2 = IR2²·R2 = 1.698²·3 = 8.654 W

คำตอบ

PR2 = 8.654 W

การบวกกำลังของแต่ละกรณีแยกกันจะได้ 18.99 W ซึ่งผิด

8.การซ้อนทับ

คำตอบ: VR2 = 4.909 V

การซ้อนทับ: ในวงจรเชิงเส้น แรงดันหรือกระแสใด ๆ เท่ากับผลรวมของการตอบสนองต่อแหล่งจ่ายอิสระแต่ละตัวที่ทำงานเพียงลำพัง การปิดแหล่งจ่ายทำได้โดยแทนแหล่งจ่ายแรงดันอุดมคติด้วยลัดวงจร และแทนแหล่งจ่ายกระแสอุดมคติด้วยวงจรเปิด ตัวต้านทานคงอยู่ที่เดิม

R1​ = 8 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 3 Ω+−V1​15 VR3​30 ΩAเปิดวงจรBลัดวงจร

กรณี 1 · V1 ทำงานเพียงลำพัง

V₂ กลายเป็นลัดวงจรและ Iₛ กลายเป็นวงจรเปิด เมื่อมองจาก A ตัว R₃ ขนานกับคู่อนุกรม R₂+R₄

R3 ∥ (R2+R4) = 30 ∥ 7 = 5.676 Ω
VA = 15·5.676/(8+5.676) = 6.225 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 6.225·3/7 = 2.668 V
VR2′ = VA − VB = 6.225 − 2.668 = 3.557 V
R1​ = 8 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 3 ΩลัดวงจรR3​30 ΩAIs​0.5 ABลัดวงจร

กรณี 2 · Is ทำงานเพียงลำพัง

แหล่งจ่ายแรงดันทั้งสองกลายเป็นลัดวงจร กระแส Iₛ แยกที่ B ระหว่าง R₄ (ซึ่งตอนนี้ต่อลงกราวด์) กับ R₂ ที่ต่ออนุกรมกับ R₁ ∥ R₃

R1 ∥ R3 = 6.316 Ω ดังนั้นเส้นทางด้านซ้ายคือ R2+6.316 = 10.32 Ω
Req = R4 ∥ 10.32 = 2.324 Ω
VB = Is·Req = 0.5·2.324 = 1.162 V
VA = VB·6.316/10.32 = 0.7115 V
VR2″ = VA − VB = 0.7115 − 1.162 = −0.4506 V
R1​ = 8 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 3 ΩลัดวงจรR3​30 ΩAเปิดวงจรB−+V2​6 V

กรณี 3 · V2 ทำงานเพียงลำพัง

V₁ กลายเป็นลัดวงจรและ Iₛ กลายเป็นวงจรเปิด R₁ ∥ R₃ ห้อยลงจาก A ต่ออนุกรมกับ R₂ กลับไปที่ B

R1 ∥ R3 = 8·30/(8+30) = 6.316 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = (−6)·10.32/13.32 = −4.648 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = −4.648·6.316/10.32 = −2.846 V
VR2‴ = VA − VB = −2.846 − −4.648 = 1.802 V

รวมผลที่ได้

VR2 = VR2′ + VR2″ + VR2‴
VR2 = 3.557 + (−0.4506) + 1.802 = 4.909 V

ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าในความเป็นจริงขั้วตรงข้ามกับที่ระบุไว้

9.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: Vth = 6 V

ทฤษฎีบทของเทวินิน: โครงข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ ทำงานเหมือนแหล่งจ่ายแรงดัน Vth หนึ่งตัวต่ออนุกรมกับความต้านทาน Rth ทฤษฎีบทของนอร์ตัน ให้โครงข่ายเดียวกันในรูปแหล่งจ่ายกระแส IN = Vth/Rth ต่อขนานกับ Rth

R1​ = 12 ΩR3​ = 12 ΩลัดวงจรR2​3 ΩAabRth​

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

แทนแหล่งจ่ายแรงดันด้วยลัดวงจรและแหล่งจ่ายกระแสด้วยวงจรเปิด แล้วมองเข้าไปในวงจรจาก a–b

R1 ∥ R2 = 12·3/(12+3) = 2.4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.4 + 12 = 14.4 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩAab+−Vth​

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ ไม่มีกระแสไหลผ่าน R₃ จึงไม่มีแรงดันตกคร่อม ดังนั้น V_b = V_A และ R₁ กับ R₂ เป็นตัวแบ่งแรงดัน

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 30·3/(12+3) = 6 V
10.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: IN = −0.1667 A

ทฤษฎีบทของเทวินิน: โครงข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ ทำงานเหมือนแหล่งจ่ายแรงดัน Vth หนึ่งตัวต่ออนุกรมกับความต้านทาน Rth ทฤษฎีบทของนอร์ตัน ให้โครงข่ายเดียวกันในรูปแหล่งจ่ายกระแส IN = Vth/Rth ต่อขนานกับ Rth

R1​ = 15 ΩR3​ = 2 ΩลัดวงจรR2​3 ΩAเปิดวงจรBabRth​

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

แทนแหล่งจ่ายแรงดันด้วยลัดวงจรและแหล่งจ่ายกระแสด้วยวงจรเปิด แล้วมองเข้าไปในวงจรจาก a–b

R1 ∥ R2 = 15·3/(15+3) = 2.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.5 + 2 = 4.5 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩAIs​0.5 ABab+−Vth​

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ เส้นทางเดียวของ Iₛ คือผ่าน R₃ เข้าโหนด A หา V_A ด้วยการซ้อนทับของ V₁ และ Iₛ แล้วบวกแรงดันตกคร่อม R₃

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1.5 + (−0.5)·2.5 = 0.25 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 0.25 + (−0.5)·2 = −0.75 V
IN​0.1667 ARth​4.5 Ωab

วงจรสมมูลนอร์ตัน

แหล่งจ่ายนอร์ตันคือวงจรเดียวกันที่มองเป็นแหล่งจ่ายกระแสขนานกับ R_th กระแสของมันคือกระแสลัดวงจรที่ a–b

IN = Vth/Rth = −0.75/4.5 = −0.1667 A
11.วงจรออปแอมป์

คำตอบ: Vout = −6.683 V

กฎของออปแอมป์อุดมคติ: เมื่อมีป้อนกลับลบ ออปแอมป์จะขับเอาต์พุตให้อินพุตทั้งสองมีแรงดันเท่ากัน (V₋ = V₊) และไม่มีกระแสไหลเข้าอินพุตใดเลย เขียน KCL ที่อินพุตกลับเฟสโดยใช้สองข้อนี้ก็จะได้เอาต์พุต

อินพุตกลับเฟสตามอินพุต

V₋ = V₊ = −0.3 V
I = V₋/R1 = −0.3/4.7 = −0.06383 mA

แรงดันเอาต์พุต

กระแสผ่าน R₁ ไหลผ่าน Rf ด้วย

Vout = V₋ + I·Rf = −0.3 + (−0.06383)·100 = −6.683 V

คำตอบ

Vout = −6.683 V
12.วงจรออปแอมป์

คำตอบ: If = 0.5277 mA

กฎของออปแอมป์อุดมคติ: เมื่อมีป้อนกลับลบ ออปแอมป์จะขับเอาต์พุตให้อินพุตทั้งสองมีแรงดันเท่ากัน (V₋ = V₊) และไม่มีกระแสไหลเข้าอินพุตใดเลย เขียน KCL ที่อินพุตกลับเฟสโดยใช้สองข้อนี้ก็จะได้เอาต์พุต

กระแสอินพุต

V₋ = 0 ดังนั้นตัวต้านทานอินพุตแต่ละตัวมีแรงดันอินพุตเต็มค่าคร่อมอยู่

I1 = V1/R1 = 0.6/4.7 = 0.1277 mA
I2 = V2/R2 = 0.8/2 = 0.4 mA
If = I1 + I2 = 0.5277 mA

คำตอบ

If = 0.5277 mA
13.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 10.47 ms

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 100 mH / 22 Ω = 4.545 ms
i(∞) = Vs/R = 10/22 = 0.4545 A

แก้สมการหาเวลา

0.9 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.9)
t = −4.545·ln(0.1) = 10.47 ms

คำตอบ

t = 10.47 ms
14.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: R = 2.501 kΩ

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงที่เวลาที่ต้องการ

9.48 = 15·(1 − e−250/τ) → τ = 250/ln(15/(15 − 9.48))
τ = 250/0.9997 = 250.1 ms

ความต้านทาน

kΩ คูณ µF ได้มิลลิวินาที

R = τ/C = 250.1/100 = 2.501 kΩ

คำตอบ

R = 2.501 kΩ

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1