การวิเคราะห์วงจร 2: วงจรกระแสสลับ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 16 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จำนวนเชิงซ้อน

รูปเชิงสี่เหลี่ยม: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
มอดูลัสและอาร์กิวเมนต์: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
รูปเชิงขั้วและรูปเอกซ์โพเนนเชียล: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
การหาร: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
ผลคูณและผลหาร: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
เดอมัวฟร์: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
รากที่ n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
สมการกำลังสองที่ p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

วิธีการ

เลือกรูปแบบที่เหมาะกับการดำเนินการ: รูปเชิงสี่เหลี่ยม a + jb สำหรับการบวกและลบ รูปเชิงขั้ว r∠θ สำหรับการคูณ หาร เลขยกกำลัง และราก
คูณกระจายด้วย j² = −1; หารโดยคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน
แปลงด้วย r = √(a² + b²) และ θ จากภาพร่างของจุด (ตรวจจตุภาค) และกลับด้วย a = r cos θ, b = r sin θ
สำหรับเลขยกกำลังใช้เดอมัวฟร์ (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; สำหรับ zⁿ = R∠φ ให้เขียนรายการรากทั้ง n ราก R^1/n∠((φ + 360°k)/n)

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

กำลังจริง: P = V·I·cos φ
กำลังรีแอกทีฟ: Q = V·I·sin φ
กำลังปรากฏ: S = V·I = √(P² + Q²)
ตัวประกอบกำลัง: pf = cos φ = P/S
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

ความถี่ธรรมชาติ: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
พลังงาน: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
กระแสยอด: I_max = V₀√(C/L)
ตัวประกอบคุณภาพ: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC อนุกรม: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC ขนาน: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
แบนด์วิดท์: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
ความถี่กำลังครึ่งหนึ่ง: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
แทงก์ที่มีความต้านทานขดลวด r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
การลดลงของแอมพลิจูด: e^−Rt/(2L)

วิธีการ

หาความถี่เรโซแนนซ์ก่อน: ω₀ = 1/√(LC) และ f₀ = ω₀/(2π)
ตัดสินว่าวงจรเป็นอนุกรมหรือขนาน: อนุกรม Q = (1/R)√(L/C) ขนาน Q = R√(C/L)
ใช้ BW = f₀/Q สำหรับแบนด์วิดท์ หรือทางลัด R/(2πL) (อนุกรม) และ 1/(2πRC) (ขนาน)
สำหรับโจทย์พลังงาน ใช้ข้อเท็จจริงว่าพลังงานรวม ½CV₀² คงที่ในวงจร LC ในอุดมคติ และแกว่งระหว่าง C กับ L ทุกหนึ่งในสี่ของคาบ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

การต่อแบบ Y: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
การต่อแบบ Δ: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
กำลังจริงรวม: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
กำลังปรากฏและกำลังรีแอกทีฟ: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุแต่ละตัว: Δ: V_L Y: V_L/√3
กำลังป้อนเข้ามอเตอร์: P_in = P_out/η

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา: τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง: วงจรเปิด v_C กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง: ลัดวงจร i_L กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว: t ≈ 5τ

วิธีการ

หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ

เทวินินและนอร์ตัน

แรงดันเทวินิน: V_th = V_{open circuit}
ความต้านทานเทวินิน: R_th: ปิดแหล่งจ่ายทั้งหมด มองจาก a–b
กระแสนอร์ตัน: I_N = V_th/R_th
กระแสโหลด: I_L = V_th/(R_th + R_L)
การถ่ายโอนกำลังสูงสุด: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

วิธีการ

ถอดโหลดออกและทำเครื่องหมายสองขั้วเป็น a และ b
หาแรงดันวงจรเปิดระหว่าง a และ b: นี่คือ V_th
ปิดแหล่งจ่ายอิสระทั้งหมดแล้วหาความต้านทานที่มองจาก a–b: นี่คือ R_th
ต่อโหลดกลับเข้ากับวงจรสมมูล: V_th อนุกรมกับ R_th
สำหรับวงจรสมมูลนอร์ตัน ให้แปลง: I_N = V_th/R_th โดยมี R_N = R_th ต่อขนาน

2โจทย์ฝึก

1.จำนวนเชิงซ้อนปานกลาง

จงเขียน z = 3∠50° ในรูปเชิงสี่เหลี่ยม a + jb และให้ส่วนจินตภาพ b

r = 3θ = 50°

b =

2.จำนวนเชิงซ้อนยาก

รากหนึ่งของ z³ + z² + 11z + 51 = 0 คือ z₁ = 1 + j4 สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง จงหารากจริง r

z₁ = 1 + j4

r =

3.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมที่มี L = 20 mH ต้องเรโซแนนซ์ที่ 60 Hz จงหาความจุ C ที่ต้องการ

f₀ = 60 HzL = 20 mH

C = µF

4.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 24 V (rms) 100 Hz หาความถี่เรโซแนนซ์ f₀ ของวงจร

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังปานกลาง

โหลดสองตัวต่อขนานกันกับแหล่งจ่ายเฟสเดียว 400 V: โหลด 5 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.8 แบบตามหลัง และ โหลด 22 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.7 แบบนำ จงหากระแสรวม I ที่ดึงจากแหล่งจ่าย

V = 400 VP₁ = 5 kW, pf₁ = 0.8 ล้าหลังP₂ = 22 kW, pf₂ = 0.7 แบบนำ

I = A

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังยาก

หม้อแปลงเฟสเดียว 50 kVA จ่ายให้โหลด 34 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.8 แบบตามหลัง จะเพิ่มกำลังจริง ΔP ได้อีกเท่าใดในรูปโหลดตัวต้านทาน (ตัวประกอบกำลังเท่ากับหนึ่ง) ก่อนที่หม้อแปลงจะถึงพิกัด kVA

S_max = 50 kVAP₁ = 34 kWpf₁ = 0.8

ΔP = kW

7.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมมี R = 100 Ω, L = 10 mH และ C = 100 nF จงหาตัวประกอบคุณภาพ Q

R = 100 ΩL = 10 mHC = 100 nF

Q =

8.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์ยาก

จงออกแบบฟิลเตอร์ RLC อนุกรมที่มีความต้านทานรวม 20 Ω ความถี่เรโซแนนซ์ 10 kHz และแบนด์วิดท์ 200 Hz จงหาความจุ C ในหน่วย nF

R = 20 Ωf₀ = 10 kHzBW = 200 Hz

C = nF

9.กำลังไฟฟ้าสามเฟสปานกลาง

โหลดต่อแบบ Δ สมดุลที่มีอิมพีแดนซ์ 15 + j20 Ω ต่อเฟส ต่อกับแหล่งจ่ายสามเฟสสมดุลที่มีแรงดันสาย–สาย 400 V หากำลังจริงรวม P ที่โหลดดูดซับใน kW

V_L = 400 VZ = 15 + j20 Ω ต่อเฟส

P = kW

10.กำลังไฟฟ้าสามเฟสยาก

โหลดสามเฟสสมดุลใช้กำลัง 120 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.65 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 415 V (สาย–สาย) 60 Hz ชุดตัวเก็บประจุสามเฟสที่ต่อขนานกับโหลดต้องเพิ่มตัวประกอบกำลังรวมเป็น 0.92 ล้าหลัง กำลังจริงคงเดิม ตัวเก็บประจุต่อแบบ Y หาความจุ C_ph ของตัวเก็บประจุแต่ละตัวใน µF

P = 120 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.92V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 จงหาพลังงาน W ที่สะสมในตัวเหนี่ยวนำที่ t = 25 ms ใน mJ

V_s = 15 VR = 5 ΩL = 47 mHt = 25 ms

W = mJ

12.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก

สวิตช์คร่อม R₂ เปิดมานานแล้ว กระแสตัวเหนี่ยวนำจึงคงตัว ที่ t = 0 สวิตช์ปิดและลัดวงจร R₂ หลังจาก t = 0 นานเท่าใด t กระแสตัวเหนี่ยวนำจึงถึง 0.237 A

V_s = 10 VR₁ = 33 ΩR₂ = 15 ΩL = 150 mH

t = ms

13.เทวินินและนอร์ตันปานกลาง

ต่อโหลด R_L = 2 Ω คร่อม a–b แทนส่วนที่เหลือของวงจรด้วยวงจรสมมูลเทวินิน แล้วหากระแสโหลด I_L

V₁ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 4 ΩR_L = 2 Ω

I_L = A

14.เทวินินและนอร์ตันยาก

ต่อโหลด R_L = 15 Ω คร่อม a–b แทนส่วนที่เหลือของวงจรด้วยวงจรสมมูลเทวินิน แล้วหากระแสโหลด I_L

V₁ = 12 VI_s = 1.5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 8 ΩR_L = 15 Ω

I_L = A

15.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

ตัวกรองความถี่สูงผ่าน RCที่แสดงมีR = 47 kΩ, C = 1 nF ป้อนอินพุตรูปซายน์ของ 10 kHz จงหาอัตราขยาย |H| = |v_out/v_in| ใน dB

R = 47 kΩC = 1 nFf = 10 kHz

|H| = dB

16.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 218/(s(s + 6)(s + 7)) จงหาความถี่จุดตัดเฟส ω₁₈₀ ที่ ∠L(jω) = −180°

L(s) = 218/(s(s + 6)(s + 7))

ω₁₈₀ = rad/s

3สารละลาย

1.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: b = 2.298

รูปเชิงขั้ว: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ โดย r = |z| และ θ = arg z กลับเป็นรูปเชิงสี่เหลี่ยม: a = r cos θ, b = r sin θ อาร์กิวเมนต์ต้องคำนึงถึงจตุภาค: θ = atan(b/a) ใช้ได้เฉพาะเมื่อ a > 0; เมื่อ a < 0 ให้บวกหรือลบ 180° ในรูปเชิงขั้ว การคูณง่าย: คูณมอดูลัสและบวกอาร์กิวเมนต์ การหารให้หารมอดูลัสและลบอาร์กิวเมนต์

องค์ประกอบ

a = 3·cos(50°) = 1.928

b = 3·sin(50°) = 2.298

รูปเชิงสี่เหลี่ยม

z = 1.928 + j2.298

b = 2.298

คำตอบ

b = 2.298

2.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: r = −3

เดอมัวฟร์และราก: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ สมการ zⁿ = R∠φ มีรากพอดี n ราก ทุกรากมีมอดูลัส R^1/n ที่อาร์กิวเมนต์ (φ + 360°·k)/n สำหรับ k = 0, 1, …, n − 1: รากวางห่างเท่า ๆ กันบนวงกลม ห่างกัน 360°/n สมการกำลังสอง z² + pz + q = 0 ที่ p² < 4q มีรากเชิงซ้อน z = −p/2 ± j√(q − p²/4) พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จริงมีรากเชิงซ้อนเป็นคู่สังยุค a ± jb เสมอ

คู่สังยุค

z₂ = 1 − j4

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·1·z + (1² + 4²) = z² − 2z + 17

แยกตัวประกอบกำลังสอง

z³ + z² + 11z + 51 = (z² − 2z + 17)(z + 3)

รากจริง

r = −3

คำตอบ

r = −3

ตรวจสอบด้วยผลบวกของราก: z₁ + z₂ + r = 2 + (−3) = −1 = −(1)

3.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: C = 351.8 µF

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

เงื่อนไขเรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์เชิงเหนี่ยวนำและเชิงความจุหักล้างกัน: ωL = 1/(ωC)

ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(377²·0.02) = 351.8 µF

คำตอบ

C = 351.8 µF

4.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: f₀ = 31.83 Hz

เรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์เหนี่ยวนำและรีแอกแตนซ์ความจุหักล้างกัน: ωL = 1/(ωC) ความถี่ของแหล่งจ่ายไม่มีผล

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.25·100·10⁻⁶)) = 31.83 Hz

คำตอบ

f₀ = 31.83 Hz

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: I = 82.1 A

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

กำลังรีแอกทีฟของแต่ละโหลด

โหลดแบบตามหลังดึงกำลังรีแอกทีฟ (Q > 0) โหลดแบบนำจ่ายกำลังรีแอกทีฟ (Q < 0)

Q₁ = 5·tan(arccos 0.8) = 3.75 kvar

Q₂ = −22·tan(arccos 0.7) = −22.44 kvar

ผลรวม

P = 5 + 22 = 27 kW

Q = 3.75 + (−22.44) = −18.69 kvar

S = √(27² + (−18.69)²) = 32.84 kVA

กระแสรวม

I = S/V = 32840/400 = 82.1 A

คำตอบ

I = 82.1 A

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: ΔP = 9.009 kW

กำลังรีแอกทีฟของโหลดเดิม

Q₁ = 34·tan(arccos 0.8) = 25.5 kvar

กำลังจริงรวมที่มากที่สุด

ที่พิกัดเต็ม S = S_max และ Q ไม่เปลี่ยนจากโหลดตัวต้านทาน

P = √(S_max² − Q₁²) = √(50² − 25.5²) = 43.01 kW

กำลังจริงที่เพิ่มได้

ΔP = 43.01 − 34 = 9.009 kW

คำตอบ

ΔP = 9.009 kW

7.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

คำตอบ: Q = 3.162

ตัวประกอบคุณภาพ Q และแบนด์วิดท์: ในวงจรเรโซแนนซ์ Q = 2π·(พลังงานที่สะสม)/(พลังงานที่สูญเสียต่อรอบ) สำหรับ RLC อนุกรม Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C) สำหรับ RLC ขนาน Q = R/(ω₀L) = R√(C/L) แบนด์วิดท์ระหว่างความถี่กำลังครึ่งหนึ่ง f₁ และ f₂ (ที่กำลังเป็นครึ่งหนึ่งและกระแสหรือแรงดันเป็น 1/√2 ของค่ายอด) คือ BW = f₂ − f₁ = f₀/Q ซึ่งเท่ากับ R/(2πL) ในวงจรอนุกรมและ 1/(2πRC) ในวงจรขนาน ความถี่เรโซแนนซ์คือค่าเฉลี่ยเรขาคณิต f₀ = √(f₁f₂) และ f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) การสูญเสียยังทำให้การสั่นลดลงด้วย: ใน RLC อนุกรม แอมพลิจูดลดลงตาม e^−Rt/(2L)

อิมพีแดนซ์คุณลักษณะ

√(L/C) = √(0.01/1 × 10⁻⁷) = 316.2 Ω

ตัวประกอบคุณภาพ

Q = 316.2/100 = 3.162

คำตอบ

Q = 3.162

ความถี่เรโซแนนซ์คือ 5.033 kHz ดังนั้น BW = f₀/Q = 1.592 kHz

8.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

คำตอบ: C = 15.92 nF

ความเหนี่ยวนำจากแบนด์วิดท์

L = R/(2π·BW) = 20/(2π·200) = 0.01592 H

ความจุจากความถี่เรโซแนนซ์

C = 1/((2π·10000)²·0.01592) = 1.592 × 10⁻⁸ F = 15.92 nF

คำตอบ

C = 15.92 nF

Q = f₀/BW = 50

9.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: P = 11.52 kW

แรงดันเฟส

V_ph = V_L = 400 V

กระแสเฟส

|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω

I_ph = 400/25 = 16 A

กำลังจริงรวม

มีเพียงส่วนที่เป็นความต้านทานของอิมพีแดนซ์แต่ละตัวที่ดูดซับกำลังจริง

P = 3·I_ph²·R = 3·16²·15 = 11.52 kW

คำตอบ

P = 11.52 kW

ตรวจสอบ: cos φ = R/|Z| = 0.6 และ √3·V_L·I_L·cos φ ให้กำลังเท่ากัน

10.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: C_ph = 1373 µF

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส V_L = √3·V_ph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส I_L = √3·I_ph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ การปรับปรุงตัวประกอบกำลัง: ตัวเก็บประจุจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂) ตัวเก็บประจุทั้งสามตัวจ่ายตัวละ Q_C/3 = V²·ω·C โดย V คือแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุตัวนั้น: V_L ในชุดแบบ Δ, V_L/√3 ในชุดแบบ Y

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริงไม่เปลี่ยน ตัวประกอบกำลังแต่ละค่าจึงกำหนดกำลังรีแอกทีฟ: Q = P·tan φ

Q₁ = 120·tan(acos 0.65) = 120·1.169 = 140.3 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0.92) = 120·0.426 = 51.12 kvar

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

Q_C = Q₁ − Q₂ = 89.18 kvar

ความจุต่อเฟส

ในชุดแบบ Y ตัวเก็บประจุแต่ละตัวต่อระหว่างสายกับจุดสตาร์

V = 415/√3 = 239.6 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 29725/(377·239.6²) = 1373 µF

คำตอบ

C_ph = 1373 µF

11.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: W = 182.9 mJ

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 47 mH / 5 Ω = 9.4 ms

i(∞) = V_s/R = 15/5 = 3 A

กระแสที่เวลาที่กำหนด

i(t) = 3·(1 − e^−25/9.4) = 2.79 A

พลังงานที่สะสม

W = ½·L·i² = ½·47·2.79² = 182.9 mJ

คำตอบ

W = 182.9 mJ

12.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 1.639 ms

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

ก่อน t = 0 ตัวต้านทานทั้งสองอยู่ในวงจร หลังจากนั้นสวิตช์ที่ปิดข้าม R₂

i(0) = 10/(33 + 15) = 0.2083 A

i(∞) = 10/33 = 0.303 A

τ = L/R = 150/33 = 4.545 ms

i(t) = 0.303 + (0.2083 − 0.303)·e^−t/τ

แก้สมการหาเวลา

e^−t/τ = (0.237 − 0.303)/(0.2083 − 0.303) = 0.6973

t = 4.545·ln(1.434) = 1.639 ms

คำตอบ

t = 1.639 ms

13.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: I_L = 0.1515 A

ทฤษฎีบทของเทวินิน: โครงข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ ทำงานเหมือนแหล่งจ่ายแรงดัน V_th หนึ่งตัวต่ออนุกรมกับความต้านทาน R_th ทฤษฎีบทของนอร์ตัน ให้โครงข่ายเดียวกันในรูปแหล่งจ่ายกระแส I_N = V_th/R_th ต่อขนานกับ R_th

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

แทนแหล่งจ่ายแรงดันด้วยลัดวงจรและแหล่งจ่ายกระแสด้วยวงจรเปิด แล้วมองเข้าไปในวงจรจาก a–b

R₁ ∥ R₂ = 15·2/(15+2) = 1.765 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.765 + 4 = 5.765 Ω

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ ไม่มีกระแสไหลผ่าน R₃ จึงไม่มีแรงดันตกคร่อม ดังนั้น V_b = V_A และ R₁ กับ R₂ เป็นตัวแบ่งแรงดัน

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·2/(15+2) = 1.176 V

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

แหล่งจ่ายเทวินินกับ R_th ที่ต่ออนุกรมกันทำงานเหมือนวงจรเดิมที่ a–b ทุกประการ โหลดจึงเห็นเป็นลูปอนุกรมอย่างง่าย

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 1.176/(5.765 + 2) = 0.1515 A

14.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: I_L = 0.901 A

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

R₁ ∥ R₂ = 12·10/(12+10) = 5.455 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5.455 + 8 = 13.45 Ω

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ เส้นทางเดียวของ Iₛ คือผ่าน R₃ เข้าโหนด A หา V_A ด้วยการซ้อนทับของ V₁ และ Iₛ แล้วบวกแรงดันตกคร่อม R₃

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 5.455 + 1.5·5.455 = 13.64 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 13.64 + 1.5·8 = 25.64 V

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 25.64/(13.45 + 15) = 0.901 A

15.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: |H| = −0.4715 dB

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่มุม

ω_c = 1/(RC) = 1/(47000·1 × 10⁻⁹) = 21277 rad/s

f_c = 3386 Hz → f/f_c = 10000/3386 = 2.953

อัตราขยาย

|H| = 2.953/√(1 + 2.953²) = 0.9472

20·log₁₀(0.9472) = −0.4715 dB

คำตอบ

|H| = −0.4715 dB

16.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ω₁₈₀ = 6.481 rad/s

จุดตัดเฟส

(ω/6)·(ω/7) = 1 → ω₁₈₀ = √(6·7) = 6.481 rad/s

คำตอบ

ω₁₈₀ = 6.481 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

การวิเคราะห์วงจร 2: วงจรกระแสสลับ: ชุดสรุปเร่งรัด

1สูตรและวิธีทำ

จำนวนเชิงซ้อน

วิธีการ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

วิธีการ

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

วิธีการ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

ทรานเซียนต์ RC และ RL

วิธีการ

เทวินินและนอร์ตัน

วิธีการ

2โจทย์ฝึก

3สารละลาย

องค์ประกอบ

รูปเชิงสี่เหลี่ยม

คำตอบ

คู่สังยุค

แยกตัวประกอบกำลังสอง

รากจริง

คำตอบ

เงื่อนไขเรโซแนนซ์

คำตอบ

เรโซแนนซ์

คำตอบ

กำลังรีแอกทีฟของแต่ละโหลด

ผลรวม

กระแสรวม

คำตอบ

กำลังรีแอกทีฟของโหลดเดิม

กำลังจริงรวมที่มากที่สุด

กำลังจริงที่เพิ่มได้

คำตอบ

อิมพีแดนซ์คุณลักษณะ

ตัวประกอบคุณภาพ

คำตอบ

ความเหนี่ยวนำจากแบนด์วิดท์

ความจุจากความถี่เรโซแนนซ์

คำตอบ

แรงดันเฟส

กระแสเฟส

กำลังจริงรวม

คำตอบ

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

ความจุต่อเฟส

คำตอบ

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

กระแสที่เวลาที่กำหนด

พลังงานที่สะสม

คำตอบ

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

แก้สมการหาเวลา

คำตอบ

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

ความถี่มุม

อัตราขยาย

คำตอบ

จุดตัดเฟส

คำตอบ

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด