การวิเคราะห์วงจร 2: วงจรกระแสสลับ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 16 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จำนวนเชิงซ้อน

รูปเชิงสี่เหลี่ยม: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
มอดูลัสและอาร์กิวเมนต์: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
รูปเชิงขั้วและรูปเอกซ์โพเนนเชียล: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
การหาร: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
ผลคูณและผลหาร: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
เดอมัวฟร์: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
รากที่ n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
สมการกำลังสองที่ p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

วิธีการ

เลือกรูปแบบที่เหมาะกับการดำเนินการ: รูปเชิงสี่เหลี่ยม a + jb สำหรับการบวกและลบ รูปเชิงขั้ว r∠θ สำหรับการคูณ หาร เลขยกกำลัง และราก
คูณกระจายด้วย j² = −1; หารโดยคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน
แปลงด้วย r = √(a² + b²) และ θ จากภาพร่างของจุด (ตรวจจตุภาค) และกลับด้วย a = r cos θ, b = r sin θ
สำหรับเลขยกกำลังใช้เดอมัวฟร์ (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; สำหรับ zⁿ = R∠φ ให้เขียนรายการรากทั้ง n ราก R^1/n∠((φ + 360°k)/n)

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

กำลังจริง: P = V·I·cos φ
กำลังรีแอกทีฟ: Q = V·I·sin φ
กำลังปรากฏ: S = V·I = √(P² + Q²)
ตัวประกอบกำลัง: pf = cos φ = P/S
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

ความถี่ธรรมชาติ: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
พลังงาน: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
กระแสยอด: I_max = V₀√(C/L)
ตัวประกอบคุณภาพ: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC อนุกรม: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC ขนาน: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
แบนด์วิดท์: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
ความถี่กำลังครึ่งหนึ่ง: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
แทงก์ที่มีความต้านทานขดลวด r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
การลดลงของแอมพลิจูด: e^−Rt/(2L)

วิธีการ

หาความถี่เรโซแนนซ์ก่อน: ω₀ = 1/√(LC) และ f₀ = ω₀/(2π)
ตัดสินว่าวงจรเป็นอนุกรมหรือขนาน: อนุกรม Q = (1/R)√(L/C) ขนาน Q = R√(C/L)
ใช้ BW = f₀/Q สำหรับแบนด์วิดท์ หรือทางลัด R/(2πL) (อนุกรม) และ 1/(2πRC) (ขนาน)
สำหรับโจทย์พลังงาน ใช้ข้อเท็จจริงว่าพลังงานรวม ½CV₀² คงที่ในวงจร LC ในอุดมคติ และแกว่งระหว่าง C กับ L ทุกหนึ่งในสี่ของคาบ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

การต่อแบบ Y: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
การต่อแบบ Δ: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
กำลังจริงรวม: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
กำลังปรากฏและกำลังรีแอกทีฟ: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุแต่ละตัว: Δ: V_L Y: V_L/√3
กำลังป้อนเข้ามอเตอร์: P_in = P_out/η

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา: τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง: วงจรเปิด v_C กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง: ลัดวงจร i_L กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว: t ≈ 5τ

วิธีการ

หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ

เทวินินและนอร์ตัน

แรงดันเทวินิน: V_th = V_{open circuit}
ความต้านทานเทวินิน: R_th: ปิดแหล่งจ่ายทั้งหมด มองจาก a–b
กระแสนอร์ตัน: I_N = V_th/R_th
กระแสโหลด: I_L = V_th/(R_th + R_L)
การถ่ายโอนกำลังสูงสุด: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

วิธีการ

ถอดโหลดออกและทำเครื่องหมายสองขั้วเป็น a และ b
หาแรงดันวงจรเปิดระหว่าง a และ b: นี่คือ V_th
ปิดแหล่งจ่ายอิสระทั้งหมดแล้วหาความต้านทานที่มองจาก a–b: นี่คือ R_th
ต่อโหลดกลับเข้ากับวงจรสมมูล: V_th อนุกรมกับ R_th
สำหรับวงจรสมมูลนอร์ตัน ให้แปลง: I_N = V_th/R_th โดยมี R_N = R_th ต่อขนาน

2โจทย์ฝึก

1.จำนวนเชิงซ้อนปานกลาง

จงเขียน z = 8∠140° ในรูปเชิงสี่เหลี่ยม a + jb และให้ส่วนจินตภาพ b

r = 8θ = 140°

b =

2.จำนวนเชิงซ้อนยาก

ใช้ทฤษฎีบทของเดอมัวฟร์เพื่อหาส่วนจินตภาพของ z⁸ สำหรับ z = 1 − j√3

z = 1 − j√3n = 8

Im(z⁸) =

3.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 100 V (rms) 500 Hz หามุมเฟส φ ของอิมพีแดนซ์ ในหน่วยองศา (เป็นบวกเมื่อกระแสล้าหลังแรงดัน)

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 1 µF

φ = °

4.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 10 V (rms) 50 Hz หาความถี่เรโซแนนซ์ f₀ ของวงจร

V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF

f₀ = Hz

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังปานกลาง

โหลดสองตัวต่อขนานกันกับแหล่งจ่ายเฟสเดียว 240 V: โหลด 11 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.65 แบบตามหลัง และ ฮีตเตอร์ 28 kW (ตัวประกอบกำลังเท่ากับหนึ่ง) จงหากระแสรวม I ที่ดึงจากแหล่งจ่าย

V = 240 VP₁ = 11 kW, pf₁ = 0.65 ล้าหลังP₂ = 28 kW, pf₂ = 1

I = A

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังยาก

แหล่งกำเนิด 10 V (rms) 1000 Hz มีอิมพีแดนซ์ภายใน Z_s = 10 + j40 Ω เลือกอิมพีแดนซ์โหลด Z_L ได้อย่างอิสระ จงหากำลังจริงสูงสุด P_max ที่ส่งให้โหลดได้

V_s = 10 V (rms)f = 1000 HzZ_s = 10 + j40 Ω

P_max = W

7.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมมี R = 220 Ω, L = 100 mH และ C = 100 nF จงหาแบนด์วิดท์ BW ในหน่วย Hz

R = 220 ΩL = 100 mHC = 100 nF

BW = Hz

8.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์ยาก

ความถี่กำลังครึ่งหนึ่งของเส้นโค้งเรโซแนนซ์คือ 5 kHz และ 6.25 kHz จงหาความถี่เรโซแนนซ์ในฐานะค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของทั้งสอง แล้วหาตัวประกอบคุณภาพ Q

f₁ = 5 kHzf₂ = 6.25 kHz

Q =

9.กำลังไฟฟ้าสามเฟสปานกลาง

โหลดต่อแบบ Y สมดุลที่มีอิมพีแดนซ์ 3 + j4 Ω ต่อเฟส ต่อกับแหล่งจ่ายสามเฟสสมดุลที่มีแรงดันสาย–สาย 400 V หากำลังจริงรวม P ที่โหลดดูดซับใน kW

V_L = 400 VZ = 3 + j4 Ω ต่อเฟส

P = kW

10.กำลังไฟฟ้าสามเฟสยาก

โหลดสามเฟสสมดุลใช้กำลัง 50 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.72 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 480 V (สาย–สาย) 60 Hz ชุดตัวเก็บประจุสามเฟสที่ต่อขนานกับโหลดต้องเพิ่มตัวประกอบกำลังรวมเป็น 0.9 ล้าหลัง กำลังจริงคงเดิม ตัวเก็บประจุต่อแบบ Δ หาความจุ C_ph ของตัวเก็บประจุแต่ละตัวใน µF

P = 50 kWpf₁ = 0.72pf₂ = 0.9V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง

ตัวเหนี่ยวนำมีกระแสคงที่ 1 A ที่ t = 0 สวิตช์ปิดวงจรผ่าน R และแหล่งกำเนิดถูกถอดออก กระแสตัวเหนี่ยวนำจึงลดลงผ่าน R ใช้เวลานานเท่าใด t กระแสจึงลดลงเหลือ 0.2 A

i(0) = 1 AR = 20 ΩL = 22 mH

t = ms

12.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก

ตัวตั้งเวลาเริ่มประจุตัวเก็บประจุที่ไม่มีประจุผ่านตัวต้านทานจากแหล่งจ่าย 12 V ที่ t = 0 ต้องทริกเกอร์เมื่อแรงดันตัวเก็บประจุถึง 6 V พอดี 250 ms หลังเริ่ม เมื่อ R = 4.7 kΩ จงหาความจุ C ที่ต้องการ

V_s = 12 VV_th = 6 VT = 250 msR = 4.7 kΩ

C = µF

13.เทวินินและนอร์ตันปานกลาง

หาแรงดันเทวินิน V_th เมื่อมองจากขั้ว a–b

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 8 Ω

V_th = V

14.เทวินินและนอร์ตันยาก

ต่อโหลด R_L = 12 Ω คร่อม a–b แทนส่วนที่เหลือของวงจรด้วยวงจรสมมูลเทวินิน แล้วหากระแสโหลด I_L

V₁ = 15 VI_s = 5 AR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 30 ΩR_L = 12 Ω

I_L = A

15.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

ในตัวกรองแถบผ่าน RLC อนุกรมที่แสดง เอาต์พุตอยู่คร่อม R = 5 Ω โดย L = 10 mH และ C = 0.47 µF จงหาความถี่กลาง (เรโซแนนซ์) f₀ ใน Hz

R = 5 ΩL = 10 mHC = 0.47 µF

f₀ = Hz

16.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = K/(s(s + 3)(s + 4)) จงหาอัตราขยาย K ที่ให้ขอบอัตราขยาย 10 dB

L(s) = K/(s(s + 3)(s + 4))GM = 10 dB

K =

3สารละลาย

1.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: b = 5.142

รูปเชิงขั้ว: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ โดย r = |z| และ θ = arg z กลับเป็นรูปเชิงสี่เหลี่ยม: a = r cos θ, b = r sin θ อาร์กิวเมนต์ต้องคำนึงถึงจตุภาค: θ = atan(b/a) ใช้ได้เฉพาะเมื่อ a > 0; เมื่อ a < 0 ให้บวกหรือลบ 180° ในรูปเชิงขั้ว การคูณง่าย: คูณมอดูลัสและบวกอาร์กิวเมนต์ การหารให้หารมอดูลัสและลบอาร์กิวเมนต์

องค์ประกอบ

a = 8·cos(140°) = −6.128

b = 8·sin(140°) = 5.142

รูปเชิงสี่เหลี่ยม

z = −6.128 + j5.142

b = 5.142

คำตอบ

b = 5.142

2.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: Im(z⁸) = −221.7

เดอมัวฟร์และราก: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ สมการ zⁿ = R∠φ มีรากพอดี n ราก ทุกรากมีมอดูลัส R^1/n ที่อาร์กิวเมนต์ (φ + 360°·k)/n สำหรับ k = 0, 1, …, n − 1: รากวางห่างเท่า ๆ กันบนวงกลม ห่างกัน 360°/n สมการกำลังสอง z² + pz + q = 0 ที่ p² < 4q มีรากเชิงซ้อน z = −p/2 ± j√(q − p²/4) พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จริงมีรากเชิงซ้อนเป็นคู่สังยุค a ± jb เสมอ

รูปเชิงขั้ว

z = 1 − j√3 = 2∠−60°

เดอมัวฟร์

z⁸ = (2)⁸∠−480° = 256∠−120°

รูปเชิงสี่เหลี่ยม

z⁸ = 256·(cos −120° + j sin −120°) = −128 − j221.7

Im(z⁸) = −221.7

คำตอบ

Im(z⁸) = −221.7

3.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: φ = −5.924 °

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.1 = 314.2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318.3 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(X_L − X_C)

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−4.151)²) = 40.21 Ω

มุมเฟส

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−4.151/40) = −5.924°

คำตอบ

φ = −5.924°

4.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: f₀ = 328.3 Hz

เรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์เหนี่ยวนำและรีแอกแตนซ์ความจุหักล้างกัน: ωL = 1/(ωC) ความถี่ของแหล่งจ่ายไม่มีผล

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.05·4.7·10⁻⁶)) = 328.3 Hz

คำตอบ

f₀ = 328.3 Hz

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: I = 171.1 A

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

กำลังรีแอกทีฟของแต่ละโหลด

โหลดแบบตามหลังดึงกำลังรีแอกทีฟ (Q > 0) โหลดแบบนำจ่ายกำลังรีแอกทีฟ (Q < 0)

Q₁ = 11·tan(arccos 0.65) = 12.86 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

ผลรวม

P = 11 + 28 = 39 kW

Q = 12.86 + 0 = 12.86 kvar

S = √(39² + 12.86²) = 41.07 kVA

กระแสรวม

I = S/V = 41066/240 = 171.1 A

คำตอบ

I = 171.1 A

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: P_max = 2.5 W

การจับคู่สังยุค

รีแอกแตนซ์ของโหลดหักล้างรีแอกแตนซ์ของแหล่งกำเนิด และความต้านทานโหลดเท่ากับความต้านทานแหล่งกำเนิด

Z_L = Z_s* = 10 − j40 Ω

กำลังสูงสุด

I = V_s/(2R_s) = 10/20 = 0.5 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 10²/(4·10) = 2.5 W

คำตอบ

P_max = 2.5 W

7.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

คำตอบ: BW = 350.1 Hz

ตัวประกอบคุณภาพ Q และแบนด์วิดท์: ในวงจรเรโซแนนซ์ Q = 2π·(พลังงานที่สะสม)/(พลังงานที่สูญเสียต่อรอบ) สำหรับ RLC อนุกรม Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C) สำหรับ RLC ขนาน Q = R/(ω₀L) = R√(C/L) แบนด์วิดท์ระหว่างความถี่กำลังครึ่งหนึ่ง f₁ และ f₂ (ที่กำลังเป็นครึ่งหนึ่งและกระแสหรือแรงดันเป็น 1/√2 ของค่ายอด) คือ BW = f₂ − f₁ = f₀/Q ซึ่งเท่ากับ R/(2πL) ในวงจรอนุกรมและ 1/(2πRC) ในวงจรขนาน ความถี่เรโซแนนซ์คือค่าเฉลี่ยเรขาคณิต f₀ = √(f₁f₂) และ f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) การสูญเสียยังทำให้การสั่นลดลงด้วย: ใน RLC อนุกรม แอมพลิจูดลดลงตาม e^−Rt/(2L)

แบนด์วิดท์ในหน่วย rad/s

R/L = 220/0.1 = 2200 rad/s

แบนด์วิดท์ในหน่วย Hz

BW = 2200/(2π) = 350.1 Hz = 350.1 Hz

คำตอบ

BW = 350.1 Hz

เมื่อ f₀ = 1.592 kHz ได้ Q = 4.545

8.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

คำตอบ: Q = 4.472

ความถี่เรโซแนนซ์

f₀ = √(5000·6250) = 5590 Hz

แบนด์วิดท์

BW = 6250 − 5000 = 1250 Hz

ตัวประกอบคุณภาพ

Q = 5590/1250 = 4.472

คำตอบ

Q = 4.472

9.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: P = 19.2 kW

แรงดันเฟส

V_ph = 400/√3 = 230.9 V

กระแสเฟส

|Z| = √(3² + 4²) = 5 Ω

I_ph = 230.9/5 = 46.19 A

กำลังจริงรวม

มีเพียงส่วนที่เป็นความต้านทานของอิมพีแดนซ์แต่ละตัวที่ดูดซับกำลังจริง

P = 3·I_ph²·R = 3·46.19²·3 = 19.2 kW

คำตอบ

P = 19.2 kW

ตรวจสอบ: cos φ = R/|Z| = 0.6 และ √3·V_L·I_L·cos φ ให้กำลังเท่ากัน

10.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: C_ph = 92.01 µF

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส V_L = √3·V_ph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส I_L = √3·I_ph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ การปรับปรุงตัวประกอบกำลัง: ตัวเก็บประจุจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂) ตัวเก็บประจุทั้งสามตัวจ่ายตัวละ Q_C/3 = V²·ω·C โดย V คือแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุตัวนั้น: V_L ในชุดแบบ Δ, V_L/√3 ในชุดแบบ Y

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริงไม่เปลี่ยน ตัวประกอบกำลังแต่ละค่าจึงกำหนดกำลังรีแอกทีฟ: Q = P·tan φ

Q₁ = 50·tan(acos 0.72) = 50·0.9639 = 48.19 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0.9) = 50·0.4843 = 24.22 kvar

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

Q_C = Q₁ − Q₂ = 23.98 kvar

ความจุต่อเฟส

ในชุดแบบ Δ ตัวเก็บประจุแต่ละตัวต่อระหว่างสองสาย

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 7992/(377·480²) = 92.01 µF

คำตอบ

C_ph = 92.01 µF

11.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 1.77 ms

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลา

τ = L/R = 22 mH / 20 Ω = 1.1 ms

แก้สมการหาเวลา

0.2 = 1·e^−t/τ → t = τ·ln(1/0.2)

t = 1.1·ln(5) = 1.77 ms

คำตอบ

t = 1.77 ms

12.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: C = 76.74 µF

ค่าคงที่เวลาที่ต้องการ

6 = 12·(1 − e^−250/τ) → τ = 250/ln(12/(12 − 6))

τ = 250/0.6931 = 360.7 ms

ความจุไฟฟ้า

kΩ คูณ µF ได้มิลลิวินาที

C = τ/R = 360.7/4.7 = 76.74 µF

คำตอบ

C = 76.74 µF

13.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: V_th = 7.2 V

ทฤษฎีบทของเทวินิน: โครงข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ ทำงานเหมือนแหล่งจ่ายแรงดัน V_th หนึ่งตัวต่ออนุกรมกับความต้านทาน R_th ทฤษฎีบทของนอร์ตัน ให้โครงข่ายเดียวกันในรูปแหล่งจ่ายกระแส I_N = V_th/R_th ต่อขนานกับ R_th

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

แทนแหล่งจ่ายแรงดันด้วยลัดวงจรและแหล่งจ่ายกระแสด้วยวงจรเปิด แล้วมองเข้าไปในวงจรจาก a–b

R₁ ∥ R₂ = 5·20/(5+20) = 4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4 + 8 = 12 Ω

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ ไม่มีกระแสไหลผ่าน R₃ จึงไม่มีแรงดันตกคร่อม ดังนั้น V_b = V_A และ R₁ กับ R₂ เป็นตัวแบ่งแรงดัน

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·20/(5+20) = 7.2 V

14.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: I_L = 3.832 A

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

R₁ ∥ R₂ = 4·5/(4+5) = 2.222 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.222 + 30 = 32.22 Ω

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ เส้นทางเดียวของ Iₛ คือผ่าน R₃ เข้าโหนด A หา V_A ด้วยการซ้อนทับของ V₁ และ Iₛ แล้วบวกแรงดันตกคร่อม R₃

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 8.333 + 5·2.222 = 19.44 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 19.44 + 5·30 = 169.4 V

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

แหล่งจ่ายเทวินินกับ R_th ที่ต่ออนุกรมกันทำงานเหมือนวงจรเดิมที่ a–b ทุกประการ โหลดจึงเห็นเป็นลูปอนุกรมอย่างง่าย

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 169.4/(32.22 + 12) = 3.832 A

15.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: f₀ = 2322 Hz

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่เรโซแนนซ์

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.01·4.7 × 10⁻⁷) = 14586 rad/s

f₀ = ω₀/(2π) = 2322 Hz

คำตอบ

f₀ = 2322 Hz

16.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: K = 26.56

จุดตัดเฟส

(ω/3)·(ω/4) = 1 → ω₁₈₀ = √(3·4) = 3.464 rad/s

ขนาดที่จุดตัดเฟส

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 9)·√(ω² + 16)) = K/(3·4·(3 + 4)) = K/84

อัตราขยายที่ต้องการ

84/K = 10^10/20 = 3.162

K = 84/3.162 = 26.56

คำตอบ

K = 26.56

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

การวิเคราะห์วงจร 2: วงจรกระแสสลับ: ชุดสรุปเร่งรัด

1สูตรและวิธีทำ

จำนวนเชิงซ้อน

วิธีการ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

วิธีการ

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

วิธีการ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

ทรานเซียนต์ RC และ RL

วิธีการ

เทวินินและนอร์ตัน

วิธีการ

2โจทย์ฝึก

3สารละลาย

องค์ประกอบ

รูปเชิงสี่เหลี่ยม

คำตอบ

รูปเชิงขั้ว

เดอมัวฟร์

รูปเชิงสี่เหลี่ยม

คำตอบ

รีแอกแตนซ์

อิมพีแดนซ์

มุมเฟส

คำตอบ

เรโซแนนซ์

คำตอบ

กำลังรีแอกทีฟของแต่ละโหลด

ผลรวม

กระแสรวม

คำตอบ

การจับคู่สังยุค

กำลังสูงสุด

คำตอบ

แบนด์วิดท์ในหน่วย rad/s

แบนด์วิดท์ในหน่วย Hz

คำตอบ

ความถี่เรโซแนนซ์

แบนด์วิดท์

ตัวประกอบคุณภาพ

คำตอบ

แรงดันเฟส

กระแสเฟส

กำลังจริงรวม

คำตอบ

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

ความจุต่อเฟส

คำตอบ

ค่าคงตัวเวลา

แก้สมการหาเวลา

คำตอบ

ค่าคงที่เวลาที่ต้องการ

ความจุไฟฟ้า

คำตอบ

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

ความถี่เรโซแนนซ์

คำตอบ

จุดตัดเฟส

ขนาดที่จุดตัดเฟส

อัตราขยายที่ต้องการ

คำตอบ

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด