การวิเคราะห์วงจร 2: วงจรกระแสสลับ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 16 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จำนวนเชิงซ้อน

รูปเชิงสี่เหลี่ยม: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
มอดูลัสและอาร์กิวเมนต์: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
รูปเชิงขั้วและรูปเอกซ์โพเนนเชียล: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
การหาร: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
ผลคูณและผลหาร: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
เดอมัวฟร์: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
รากที่ n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
สมการกำลังสองที่ p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

วิธีการ

เลือกรูปแบบที่เหมาะกับการดำเนินการ: รูปเชิงสี่เหลี่ยม a + jb สำหรับการบวกและลบ รูปเชิงขั้ว r∠θ สำหรับการคูณ หาร เลขยกกำลัง และราก
คูณกระจายด้วย j² = −1; หารโดยคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน
แปลงด้วย r = √(a² + b²) และ θ จากภาพร่างของจุด (ตรวจจตุภาค) และกลับด้วย a = r cos θ, b = r sin θ
สำหรับเลขยกกำลังใช้เดอมัวฟร์ (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; สำหรับ zⁿ = R∠φ ให้เขียนรายการรากทั้ง n ราก R^1/n∠((φ + 360°k)/n)

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

กำลังจริง: P = V·I·cos φ
กำลังรีแอกทีฟ: Q = V·I·sin φ
กำลังปรากฏ: S = V·I = √(P² + Q²)
ตัวประกอบกำลัง: pf = cos φ = P/S
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

ความถี่ธรรมชาติ: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
พลังงาน: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
กระแสยอด: I_max = V₀√(C/L)
ตัวประกอบคุณภาพ: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC อนุกรม: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC ขนาน: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
แบนด์วิดท์: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
ความถี่กำลังครึ่งหนึ่ง: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
แทงก์ที่มีความต้านทานขดลวด r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
การลดลงของแอมพลิจูด: e^−Rt/(2L)

วิธีการ

หาความถี่เรโซแนนซ์ก่อน: ω₀ = 1/√(LC) และ f₀ = ω₀/(2π)
ตัดสินว่าวงจรเป็นอนุกรมหรือขนาน: อนุกรม Q = (1/R)√(L/C) ขนาน Q = R√(C/L)
ใช้ BW = f₀/Q สำหรับแบนด์วิดท์ หรือทางลัด R/(2πL) (อนุกรม) และ 1/(2πRC) (ขนาน)
สำหรับโจทย์พลังงาน ใช้ข้อเท็จจริงว่าพลังงานรวม ½CV₀² คงที่ในวงจร LC ในอุดมคติ และแกว่งระหว่าง C กับ L ทุกหนึ่งในสี่ของคาบ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

การต่อแบบ Y: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
การต่อแบบ Δ: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
กำลังจริงรวม: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
กำลังปรากฏและกำลังรีแอกทีฟ: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุแต่ละตัว: Δ: V_L Y: V_L/√3
กำลังป้อนเข้ามอเตอร์: P_in = P_out/η

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา: τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง: วงจรเปิด v_C กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง: ลัดวงจร i_L กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว: t ≈ 5τ

วิธีการ

หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ

เทวินินและนอร์ตัน

แรงดันเทวินิน: V_th = V_{open circuit}
ความต้านทานเทวินิน: R_th: ปิดแหล่งจ่ายทั้งหมด มองจาก a–b
กระแสนอร์ตัน: I_N = V_th/R_th
กระแสโหลด: I_L = V_th/(R_th + R_L)
การถ่ายโอนกำลังสูงสุด: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

วิธีการ

ถอดโหลดออกและทำเครื่องหมายสองขั้วเป็น a และ b
หาแรงดันวงจรเปิดระหว่าง a และ b: นี่คือ V_th
ปิดแหล่งจ่ายอิสระทั้งหมดแล้วหาความต้านทานที่มองจาก a–b: นี่คือ R_th
ต่อโหลดกลับเข้ากับวงจรสมมูล: V_th อนุกรมกับ R_th
สำหรับวงจรสมมูลนอร์ตัน ให้แปลง: I_N = V_th/R_th โดยมี R_N = R_th ต่อขนาน

2โจทย์ฝึก

1.จำนวนเชิงซ้อนปานกลาง

จงเขียน z = 6∠160° ในรูปเชิงสี่เหลี่ยม a + jb และให้ส่วนจินตภาพ b

r = 6θ = 160°

b =

2.จำนวนเชิงซ้อนยาก

รากของ zⁿ = w ที่ n = 3 และ w = 64∠−90° คือ z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2 จงหาส่วนจินตภาพของ z₁

w = 64∠−90°n = 3k = 1

Im(z₁) =

3.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 120 V (rms) 500 Hz จงหากำลังจริง P ที่ดึงจากแหล่งจ่าย

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 10 µF

P = W

4.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 120 V (rms) 60 Hz หาแรงดัน rms V_C คร่อมตัวเก็บประจุ

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 22 µF

V_C = V

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังปานกลาง

มอเตอร์เฟสเดียวใช้กำลัง 2 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.65 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 240 V หากระแสในสาย I

P = 2 kWpf = 0.65V = 240 V

I = A

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังยาก

โหลดเฟสเดียวดึง 28 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.75 แบบตามหลังจากแหล่งจ่าย 400 V 60 Hz ตัวเก็บประจุ 68 µF ต่อขนานกับโหลด หากระแสในสายใหม่ I

P = 28 kWpf₁ = 0.75V = 400 Vf = 60 HzC = 68 µF

I = A

7.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์ปานกลาง

ตัวเก็บประจุ 10 µF ที่ชาร์จถึง 15 V สั่นกับตัวเหนี่ยวนำ 47 µH ในอุดมคติ จงหาพลังงาน W_L ที่สะสมในตัวเหนี่ยวนำในขณะที่แรงดันตัวเก็บประจุเป็น 7.5 V ในหน่วย µJ

C = 10 µFV₀ = 15 Vv_C = 7.5 V

W_L = µJ

8.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์ยาก

จงออกแบบฟิลเตอร์ RLC อนุกรมที่มีความต้านทานรวม 100 Ω ความถี่เรโซแนนซ์ 500 kHz และแบนด์วิดท์ 25 kHz จงหาความจุ C ในหน่วย nF

R = 100 Ωf₀ = 500 kHzBW = 25 kHz

C = nF

9.กำลังไฟฟ้าสามเฟสปานกลาง

มอเตอร์เหนี่ยวนำสามเฟสให้กำลังกลขาออก 110 kW ที่โหลดเต็มพิกัด ที่โหลดนี้ประสิทธิภาพ 88% และตัวประกอบกำลัง 0.88 ล้าหลัง แหล่งจ่ายมีแรงดันสาย–สาย 690 V หากระแสสาย I_L

P_out = 110 kWη = 88%cos φ = 0.88V_L = 690 V

I_L = A

10.กำลังไฟฟ้าสามเฟสยาก

โหลดสามเฟสสมดุลใช้กำลัง 150 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.8 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 480 V (สาย–สาย) 60 Hz ชุดตัวเก็บประจุสามเฟสที่ต่อขนานกับโหลดต้องเพิ่มตัวประกอบกำลังรวมเป็น 0.95 ล้าหลัง กำลังจริงคงเดิม ตัวเก็บประจุต่อแบบ Δ หาความจุ C_ph ของตัวเก็บประจุแต่ละตัวใน µF

P = 150 kWpf₁ = 0.8pf₂ = 0.95V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 จงหาพลังงาน W ที่สะสมในตัวเหนี่ยวนำที่ t = 1 ms ใน mJ

V_s = 10 VR = 20 ΩL = 22 mHt = 1 ms

W = mJ

12.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก

ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 12 V ตามขั้วที่แสดง หาแรงดัน v_C คร่อมตัวเก็บประจุที่ t = 150 ms

V_s = 5 VR = 2.2 kΩC = 68 µFv_C(0) = 12 Vt = 150 ms

v_C = V

13.เทวินินและนอร์ตันปานกลาง

หาความต้านทานเทวินิน R_th เมื่อมองจากขั้ว a–b

V₁ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 Ω

R_th = Ω

14.เทวินินและนอร์ตันยาก

หากระแสนอร์ตัน I_N คือกระแสที่ไหลจาก a ไป b เมื่อลัดวงจรขั้ว

V₁ = 5 VI_s = 0.5 AR₁ = 8 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 2 Ω

I_N = A

15.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

จงหาเฟส ∠G(jω) ของ G(s) = 46(s + 14)/(s(s + 2)) ที่ ω = 15 rad/s เป็นองศา

G(s) = 46(s + 14)/(s(s + 2))ω = 15 rad/s

∠G(jω) = °

16.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 70/(s(s + 5)) จงหาขอบเฟส PM เป็นองศา

L(s) = 70/(s(s + 5))

PM = °

3สารละลาย

1.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: b = 2.052

รูปเชิงขั้ว: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ โดย r = |z| และ θ = arg z กลับเป็นรูปเชิงสี่เหลี่ยม: a = r cos θ, b = r sin θ อาร์กิวเมนต์ต้องคำนึงถึงจตุภาค: θ = atan(b/a) ใช้ได้เฉพาะเมื่อ a > 0; เมื่อ a < 0 ให้บวกหรือลบ 180° ในรูปเชิงขั้ว การคูณง่าย: คูณมอดูลัสและบวกอาร์กิวเมนต์ การหารให้หารมอดูลัสและลบอาร์กิวเมนต์

องค์ประกอบ

a = 6·cos(160°) = −5.638

b = 6·sin(160°) = 2.052

รูปเชิงสี่เหลี่ยม

z = −5.638 + j2.052

b = 2.052

คำตอบ

b = 2.052

2.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: Im(z₁) = 4

เดอมัวฟร์และราก: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ สมการ zⁿ = R∠φ มีรากพอดี n ราก ทุกรากมีมอดูลัส R^1/n ที่อาร์กิวเมนต์ (φ + 360°·k)/n สำหรับ k = 0, 1, …, n − 1: รากวางห่างเท่า ๆ กันบนวงกลม ห่างกัน 360°/n สมการกำลังสอง z² + pz + q = 0 ที่ p² < 4q มีรากเชิงซ้อน z = −p/2 ± j√(q − p²/4) พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จริงมีรากเชิงซ้อนเป็นคู่สังยุค a ± jb เสมอ

มอดูลัสของราก

64^1/3 = 4

อาร์กิวเมนต์ของราก

θ₁ = (−90° + 360°·1)/3 = 90°

รูปเชิงสี่เหลี่ยม

z₁ = 4·(cos 90° + j sin 90°) = j4

Im(z₁) = 4

คำตอบ

Im(z₁) = 4

ราก 3 รากอยู่บนวงกลมรัศมี 4 ห่างกัน 120°

3.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: P = 224.9 W

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

X_L = 62.83 Ω, X_C = 31.83 Ω

อิมพีแดนซ์

|Z| = √(40² + (31)²) = 50.61 Ω

กำลังจริง

ตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุเพียงสะสมแล้วคืนพลังงาน ตัวต้านทานดูดกำลังจริงทั้งหมด

I = 120/50.61 = 2.371 A

P = I²·R = 2.371²·40 = 224.9 W

คำตอบ

P = 224.9 W

4.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: V_C = 95.87 V

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0.02 = 7.54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(X_L − X_C)

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−113)²) = 150.9 Ω

กระแส

กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม

I = V/|Z| = 120/150.9 = 0.7951 A

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ

V_C = I·X_C = 0.7951·120.6 = 95.87 V

คำตอบ

V_C = 95.87 V

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: I = 12.82 A

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

กระแสในสาย

มีเพียงส่วนจริงของกำลังเท่านั้นที่ทำงาน จึงหารด้วยตัวประกอบกำลัง

I = P/(V·cos φ) = 2000/(240·0.65) = 12.82 A

คำตอบ

I = 12.82 A

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: I = 86.89 A

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริง P ไม่เปลี่ยน มีเพียงกำลังรีแอกทีฟที่ดึงจากแหล่งจ่ายเท่านั้นที่เปลี่ยน

Q₁ = 28·tan(arccos 0.75) = 24.69 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 400²·2π·60·68·10⁻⁶ = 4102 var = 4.102 kvar

Q₂ = 24.69 − 4.102 = 20.59 kvar

กำลังปรากฏใหม่

S₂ = √(28² + 20.59²) = 34.76 kVA

กระแสในสายใหม่

I = S₂/V = 34757/400 = 86.89 A

คำตอบ

I = 86.89 A

7.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

คำตอบ: W_L = 843.7 µJ

เรโซแนนซ์ LC: ตัวเก็บประจุที่ชาร์จแล้วต่อกับตัวเหนี่ยวนำขับกระแสที่ชาร์จมันในทิศตรงข้าม: พลังงานแกว่งระหว่างสนามไฟฟ้าของ C (½Cv²) กับสนามแม่เหล็กของ L (½Li²) ที่ความถี่ธรรมชาติ f₀ = 1/(2π√(LC)) เมื่อไม่มีความต้านทาน พลังงานรวม ½CV₀² คงที่ ดังนั้นกระแสยอดคือ I_max = V₀√(C/L) หนึ่งคาบคือ T = 1/f₀ พลังงานย้ายจาก C ไป L ในหนึ่งในสี่ของคาบนั้น

พลังงานรวม

½·1 × 10⁻⁵·15² = 0.001125 J

พลังงานที่เหลืออยู่ในตัวเก็บประจุ

½·1 × 10⁻⁵·7.5² = 0.0002812 J

พลังงานในตัวเหนี่ยวนำ

W_L = 0.0008437 J = 843.7 µJ

คำตอบ

W_L = 843.7 µJ

8.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

คำตอบ: C = 0.1592 nF

ตัวประกอบคุณภาพ Q และแบนด์วิดท์: ในวงจรเรโซแนนซ์ Q = 2π·(พลังงานที่สะสม)/(พลังงานที่สูญเสียต่อรอบ) สำหรับ RLC อนุกรม Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C) สำหรับ RLC ขนาน Q = R/(ω₀L) = R√(C/L) แบนด์วิดท์ระหว่างความถี่กำลังครึ่งหนึ่ง f₁ และ f₂ (ที่กำลังเป็นครึ่งหนึ่งและกระแสหรือแรงดันเป็น 1/√2 ของค่ายอด) คือ BW = f₂ − f₁ = f₀/Q ซึ่งเท่ากับ R/(2πL) ในวงจรอนุกรมและ 1/(2πRC) ในวงจรขนาน ความถี่เรโซแนนซ์คือค่าเฉลี่ยเรขาคณิต f₀ = √(f₁f₂) และ f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) การสูญเสียยังทำให้การสั่นลดลงด้วย: ใน RLC อนุกรม แอมพลิจูดลดลงตาม e^−Rt/(2L)

ความเหนี่ยวนำจากแบนด์วิดท์

L = R/(2π·BW) = 100/(2π·25000) = 0.0006366 H

ความจุจากความถี่เรโซแนนซ์

C = 1/((2π·500000)²·0.0006366) = 1.592 × 10⁻¹⁰ F = 0.1592 nF

คำตอบ

C = 0.1592 nF

Q = f₀/BW = 20

9.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: I_L = 118.9 A

กำลังไฟฟ้าขาเข้า

P_in = P_out/η = 110/0.88 = 125 kW

กระแสในสาย

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 125000/(√3·690·0.88) = 118.9 A

คำตอบ

I_L = 118.9 A

10.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: C_ph = 242.5 µF

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส V_L = √3·V_ph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส I_L = √3·I_ph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ การปรับปรุงตัวประกอบกำลัง: ตัวเก็บประจุจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂) ตัวเก็บประจุทั้งสามตัวจ่ายตัวละ Q_C/3 = V²·ω·C โดย V คือแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุตัวนั้น: V_L ในชุดแบบ Δ, V_L/√3 ในชุดแบบ Y

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริงไม่เปลี่ยน ตัวประกอบกำลังแต่ละค่าจึงกำหนดกำลังรีแอกทีฟ: Q = P·tan φ

Q₁ = 150·tan(acos 0.8) = 150·0.75 = 112.5 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0.95) = 150·0.3287 = 49.3 kvar

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

Q_C = Q₁ − Q₂ = 63.2 kvar

ความจุต่อเฟส

ในชุดแบบ Δ ตัวเก็บประจุแต่ละตัวต่อระหว่างสองสาย

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 21066/(377·480²) = 242.5 µF

คำตอบ

C_ph = 242.5 µF

11.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: W = 0.9805 mJ

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 22 mH / 20 Ω = 1.1 ms

i(∞) = V_s/R = 10/20 = 0.5 A

กระแสที่เวลาที่กำหนด

i(t) = 0.5·(1 − e^−1/1.1) = 0.2986 A

พลังงานที่สะสม

W = ½·L·i² = ½·22·0.2986² = 0.9805 mJ

คำตอบ

W = 0.9805 mJ

12.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: v_C = 7.568 V

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย

v_C(0) = 12 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 2.2 kΩ · 68 µF = 149.6 ms

v_C(t) = 5 + (12 − 5)·e^−t/τ

แรงดันที่เวลาที่กำหนด

v_C(150) = 5 + (7)·e^−150/149.6 = 7.568 V

คำตอบ

v_C = 7.568 V

13.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: R_th = 8.333 Ω

ทฤษฎีบทของเทวินิน: โครงข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ ทำงานเหมือนแหล่งจ่ายแรงดัน V_th หนึ่งตัวต่ออนุกรมกับความต้านทาน R_th ทฤษฎีบทของนอร์ตัน ให้โครงข่ายเดียวกันในรูปแหล่งจ่ายกระแส I_N = V_th/R_th ต่อขนานกับ R_th

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

แทนแหล่งจ่ายแรงดันด้วยลัดวงจรและแหล่งจ่ายกระแสด้วยวงจรเปิด แล้วมองเข้าไปในวงจรจาก a–b

R₁ ∥ R₂ = 10·5/(10+5) = 3.333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.333 + 5 = 8.333 Ω

14.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: I_N = 0.963 A

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

R₁ ∥ R₂ = 8·20/(8+20) = 5.714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5.714 + 2 = 7.714 Ω

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ เส้นทางเดียวของ Iₛ คือผ่าน R₃ เข้าโหนด A หา V_A ด้วยการซ้อนทับของ V₁ และ Iₛ แล้วบวกแรงดันตกคร่อม R₃

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3.571 + 0.5·5.714 = 6.429 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 6.429 + 0.5·2 = 7.429 V

วงจรสมมูลนอร์ตัน

แหล่งจ่ายนอร์ตันคือวงจรเดียวกันที่มองเป็นแหล่งจ่ายกระแสขนานกับ R_th กระแสของมันคือกระแสลัดวงจรที่ a–b

I_N = V_th/R_th = 7.429/7.714 = 0.963 A

15.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ∠G(jω) = −125.4 °

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

บวกมุม

∠G = atan(15/14) − 90° − atan(15/2) = 46.97° − 90° − 82.41°

ผลลัพธ์

∠G(j15) = −125.4°

คำตอบ

∠G(jω) = −125.4°

16.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: PM = 33.15 °

จุดตัดอัตราขยาย

ω⁴ + 25ω² − 4900 = 0

ω² = (−25 + √(625 + 4·4900))/2 = 58.61

ω_c = 7.656 rad/s

ขอบเฟส

∠L(jω_c) = −90° − atan(7.656/5) = −146.9°

PM = 180° + ∠L = 33.15°

คำตอบ

PM = 33.15°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

การวิเคราะห์วงจร 2: วงจรกระแสสลับ: ชุดสรุปเร่งรัด

1สูตรและวิธีทำ

จำนวนเชิงซ้อน

วิธีการ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

วิธีการ

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

วิธีการ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

ทรานเซียนต์ RC และ RL

วิธีการ

เทวินินและนอร์ตัน

วิธีการ

2โจทย์ฝึก

3สารละลาย

องค์ประกอบ

รูปเชิงสี่เหลี่ยม

คำตอบ

มอดูลัสของราก

อาร์กิวเมนต์ของราก

รูปเชิงสี่เหลี่ยม

คำตอบ

รีแอกแตนซ์

อิมพีแดนซ์

กำลังจริง

คำตอบ

รีแอกแตนซ์

อิมพีแดนซ์

กระแส

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ

คำตอบ

กระแสในสาย

คำตอบ

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังปรากฏใหม่

กระแสในสายใหม่

คำตอบ

พลังงานรวม

พลังงานที่เหลืออยู่ในตัวเก็บประจุ

พลังงานในตัวเหนี่ยวนำ

คำตอบ

ความเหนี่ยวนำจากแบนด์วิดท์

ความจุจากความถี่เรโซแนนซ์

คำตอบ

กำลังไฟฟ้าขาเข้า

กระแสในสาย

คำตอบ

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

ความจุต่อเฟส

คำตอบ

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

กระแสที่เวลาที่กำหนด

พลังงานที่สะสม

คำตอบ

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

แรงดันที่เวลาที่กำหนด

คำตอบ

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

วงจรสมมูลนอร์ตัน

บวกมุม

ผลลัพธ์

คำตอบ

จุดตัดอัตราขยาย

ขอบเฟส

คำตอบ

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด