การวิเคราะห์วงจร 2: วงจรกระแสสลับ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 16 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จำนวนเชิงซ้อน

รูปเชิงสี่เหลี่ยม: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
มอดูลัสและอาร์กิวเมนต์: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
รูปเชิงขั้วและรูปเอกซ์โพเนนเชียล: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
การหาร: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
ผลคูณและผลหาร: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
เดอมัวฟร์: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
รากที่ n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
สมการกำลังสองที่ p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

วิธีการ

เลือกรูปแบบที่เหมาะกับการดำเนินการ: รูปเชิงสี่เหลี่ยม a + jb สำหรับการบวกและลบ รูปเชิงขั้ว r∠θ สำหรับการคูณ หาร เลขยกกำลัง และราก
คูณกระจายด้วย j² = −1; หารโดยคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน
แปลงด้วย r = √(a² + b²) และ θ จากภาพร่างของจุด (ตรวจจตุภาค) และกลับด้วย a = r cos θ, b = r sin θ
สำหรับเลขยกกำลังใช้เดอมัวฟร์ (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; สำหรับ zⁿ = R∠φ ให้เขียนรายการรากทั้ง n ราก R^1/n∠((φ + 360°k)/n)

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

กำลังจริง: P = V·I·cos φ
กำลังรีแอกทีฟ: Q = V·I·sin φ
กำลังปรากฏ: S = V·I = √(P² + Q²)
ตัวประกอบกำลัง: pf = cos φ = P/S
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

ความถี่ธรรมชาติ: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
พลังงาน: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
กระแสยอด: I_max = V₀√(C/L)
ตัวประกอบคุณภาพ: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC อนุกรม: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC ขนาน: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
แบนด์วิดท์: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
ความถี่กำลังครึ่งหนึ่ง: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
แทงก์ที่มีความต้านทานขดลวด r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
การลดลงของแอมพลิจูด: e^−Rt/(2L)

วิธีการ

หาความถี่เรโซแนนซ์ก่อน: ω₀ = 1/√(LC) และ f₀ = ω₀/(2π)
ตัดสินว่าวงจรเป็นอนุกรมหรือขนาน: อนุกรม Q = (1/R)√(L/C) ขนาน Q = R√(C/L)
ใช้ BW = f₀/Q สำหรับแบนด์วิดท์ หรือทางลัด R/(2πL) (อนุกรม) และ 1/(2πRC) (ขนาน)
สำหรับโจทย์พลังงาน ใช้ข้อเท็จจริงว่าพลังงานรวม ½CV₀² คงที่ในวงจร LC ในอุดมคติ และแกว่งระหว่าง C กับ L ทุกหนึ่งในสี่ของคาบ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

การต่อแบบ Y: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
การต่อแบบ Δ: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
กำลังจริงรวม: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
กำลังปรากฏและกำลังรีแอกทีฟ: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุแต่ละตัว: Δ: V_L Y: V_L/√3
กำลังป้อนเข้ามอเตอร์: P_in = P_out/η

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา: τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง: วงจรเปิด v_C กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง: ลัดวงจร i_L กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว: t ≈ 5τ

วิธีการ

หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ

เทวินินและนอร์ตัน

แรงดันเทวินิน: V_th = V_{open circuit}
ความต้านทานเทวินิน: R_th: ปิดแหล่งจ่ายทั้งหมด มองจาก a–b
กระแสนอร์ตัน: I_N = V_th/R_th
กระแสโหลด: I_L = V_th/(R_th + R_L)
การถ่ายโอนกำลังสูงสุด: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

วิธีการ

ถอดโหลดออกและทำเครื่องหมายสองขั้วเป็น a และ b
หาแรงดันวงจรเปิดระหว่าง a และ b: นี่คือ V_th
ปิดแหล่งจ่ายอิสระทั้งหมดแล้วหาความต้านทานที่มองจาก a–b: นี่คือ R_th
ต่อโหลดกลับเข้ากับวงจรสมมูล: V_th อนุกรมกับ R_th
สำหรับวงจรสมมูลนอร์ตัน ให้แปลง: I_N = V_th/R_th โดยมี R_N = R_th ต่อขนาน

2โจทย์ฝึก

1.จำนวนเชิงซ้อนปานกลาง

จงเขียน z = 12∠−20° ในรูปเชิงสี่เหลี่ยม a + jb และให้ส่วนจริง a

r = 12θ = −20°

a =

2.จำนวนเชิงซ้อนยาก

รากหนึ่งของ z³ + z² − 17z − 65 = 0 คือ z₁ = −3 + j2 สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง จงหารากจริง r

z₁ = −3 + j2

r =

3.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

ตัวต้านทานและตัวเก็บประจุต่อขนานกันคร่อมแหล่งจ่าย 230 V (rms) 500 Hz หามุมเฟส φ ของอิมพีแดนซ์ ในหน่วยองศา (เป็นบวกเมื่อกระแสล้าหลังแรงดัน)

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 10 ΩC = 10 µF

φ = °

4.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 12 V (rms) 1000 Hz หากระแส rms I

V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 10 µF

I = A

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังปานกลาง

มอเตอร์เฟสเดียวใช้กำลัง 36 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.7 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 400 V หากระแสในสาย I

P = 36 kWpf = 0.7V = 400 V

I = A

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังยาก

โหลดเฟสเดียวดึง 24 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.65 แบบตามหลังจากแหล่งจ่าย 240 V 60 Hz ตัวเก็บประจุ 470 µF ต่อขนานกับโหลด หากระแสในสายใหม่ I

P = 24 kWpf₁ = 0.65V = 240 Vf = 60 HzC = 470 µF

I = A

7.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์ปานกลาง

ตัวเก็บประจุ 100 nF ที่ชาร์จถึง 24 V สั่นกับตัวเหนี่ยวนำ 22 mH ในอุดมคติ จงหาพลังงาน W_L ที่สะสมในตัวเหนี่ยวนำในขณะที่แรงดันตัวเก็บประจุเป็น 6 V ในหน่วย µJ

C = 100 nFV₀ = 24 Vv_C = 6 V

W_L = µJ

8.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์ยาก

ตัวเก็บประจุ 1 µF ที่ชาร์จแล้วคายประจุผ่านขดลวด 10 µH ที่มีความต้านทานอนุกรมรวม 0.5 Ω ทำให้การสั่นค่อย ๆ หมดไป แอมพลิจูดของมันลดลงตาม e^−Rt/(2L) การสั่นกี่รอบ n ผ่านไปก่อนที่แอมพลิจูดจะลดลงครึ่งหนึ่ง (การสูญเสียน้อย ดังนั้นความถี่คือ f₀)

L = 10 µHC = 1 µFR = 0.5 Ω

n =

9.กำลังไฟฟ้าสามเฟสปานกลาง

โหลดต่อแบบ Y สมดุลที่มีอิมพีแดนซ์ 9 + j12 Ω ต่อเฟส ต่อกับแหล่งจ่ายสามเฟสสมดุลที่มีแรงดันสาย–สาย 208 V หากำลังจริงรวม P ที่โหลดดูดซับใน kW

V_L = 208 VZ = 9 + j12 Ω ต่อเฟส

P = kW

10.กำลังไฟฟ้าสามเฟสยาก

โหลดสามเฟสสมดุลใช้กำลัง 200 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.7 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 400 V (สาย–สาย) 60 Hz ชุดตัวเก็บประจุสามเฟสที่ต่อขนานกับโหลดต้องเพิ่มตัวประกอบกำลังรวมเป็น 0.9 ล้าหลัง กำลังจริงคงเดิม ตัวเก็บประจุต่อแบบ Y หาความจุ C_ph ของตัวเก็บประจุแต่ละตัวใน µF

P = 200 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.9V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 หลังจากสวิตช์ปิดนานเท่าใดกระแสจึงถึง 90% ของค่าสุดท้าย หา t

V_s = 12 VR = 47 ΩL = 10 mH

t = ms

12.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก

สวิตช์ปิดมานานแล้ว วงจรจึงอยู่ในสถานะคงตัว ที่ t = 0 สวิตช์เปิด หาแรงดัน v_C คร่อมตัวเก็บประจุที่ t = 120 ms

V_s = 9 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 3.3 kΩC = 22 µFt = 120 ms

v_C = V

13.เทวินินและนอร์ตันปานกลาง

หาแรงดันเทวินิน V_th เมื่อมองจากขั้ว a–b

V₁ = 15 VR₁ = 3 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 2 Ω

V_th = V

14.เทวินินและนอร์ตันยาก

ต่อโหลด R_L = 5 Ω คร่อม a–b แทนส่วนที่เหลือของวงจรด้วยวงจรสมมูลเทวินิน แล้วหากระแสโหลด I_L

V₁ = 24 VI_s = 1 AR₁ = 12 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 8 ΩR_L = 5 Ω

I_L = A

15.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

จงหาขนาดที่แน่นอน |G(jω)| ของ G(s) = 3040/((s + 10)(s + 19)) ที่ ω = 3 rad/s ใน dB

G(s) = 3040/((s + 10)(s + 19))ω = 3 rad/s

|G(jω)| = dB

16.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 596/(s(s + 5)(s + 10)) จงหาความถี่จุดตัดเฟส ω₁₈₀ ที่ ∠L(jω) = −180°

L(s) = 596/(s(s + 5)(s + 10))

ω₁₈₀ = rad/s

3สารละลาย

1.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: a = 11.28

รูปเชิงขั้ว: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ โดย r = |z| และ θ = arg z กลับเป็นรูปเชิงสี่เหลี่ยม: a = r cos θ, b = r sin θ อาร์กิวเมนต์ต้องคำนึงถึงจตุภาค: θ = atan(b/a) ใช้ได้เฉพาะเมื่อ a > 0; เมื่อ a < 0 ให้บวกหรือลบ 180° ในรูปเชิงขั้ว การคูณง่าย: คูณมอดูลัสและบวกอาร์กิวเมนต์ การหารให้หารมอดูลัสและลบอาร์กิวเมนต์

องค์ประกอบ

a = 12·cos(−20°) = 11.28

b = 12·sin(−20°) = −4.104

รูปเชิงสี่เหลี่ยม

z = 11.28 − j4.104

a = 11.28

คำตอบ

a = 11.28

2.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: r = 5

เดอมัวฟร์และราก: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ สมการ zⁿ = R∠φ มีรากพอดี n ราก ทุกรากมีมอดูลัส R^1/n ที่อาร์กิวเมนต์ (φ + 360°·k)/n สำหรับ k = 0, 1, …, n − 1: รากวางห่างเท่า ๆ กันบนวงกลม ห่างกัน 360°/n สมการกำลังสอง z² + pz + q = 0 ที่ p² < 4q มีรากเชิงซ้อน z = −p/2 ± j√(q − p²/4) พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จริงมีรากเชิงซ้อนเป็นคู่สังยุค a ± jb เสมอ

คู่สังยุค

z₂ = −3 − j2

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−3)·z + ((−3)² + 2²) = z² + 6z + 13

แยกตัวประกอบกำลังสอง

z³ + z² − 17z − 65 = (z² + 6z + 13)(z − 5)

รากจริง

r = 5

คำตอบ

r = 5

ตรวจสอบด้วยผลบวกของราก: z₁ + z₂ + r = −6 + 5 = −1 = −(1)

3.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: φ = −17.44 °

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·500·10·10⁻⁶) = 31.83 Ω

กระแสในแต่ละสาขา

ทั้งสองสาขาต่อตรงคร่อมแหล่งจ่าย ดังนั้นแต่ละสาขาเห็นแรงดัน V เต็มค่า

I_R = V/R = 230/10 = 23 A

I_X = V/X_C = 230/31.83 = 7.226 A

กระแสรวม

กระแสตัวต้านทานเฟสตรงกับ V และกระแสรีแอกทีฟต่างเฟส 90° จึงบวกกันเหมือนด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

I = √(I_R² + I_X²) = √(23² + 7.226²) = 24.11 A

มุมเฟส

กระแสตัวเก็บประจุนำ V ดังนั้นกระแสรวมนำและมุมเป็นลบ

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(7.226/23) = −17.44°

คำตอบ

φ = −17.44°

4.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: I = 0.01292 A

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0.15 = 942.5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·10·10⁻⁶) = 15.92 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(X_L − X_C)

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (926.6)²) = 928.5 Ω

กระแส

กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม

I = V/|Z| = 12/928.5 = 0.01292 A

คำตอบ

I = 0.01292 A

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: I = 128.6 A

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

กระแสในสาย

มีเพียงส่วนจริงของกำลังเท่านั้นที่ทำงาน จึงหารด้วยตัวประกอบกำลัง

I = P/(V·cos φ) = 36000/(400·0.7) = 128.6 A

คำตอบ

I = 128.6 A

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: I = 124.6 A

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริง P ไม่เปลี่ยน มีเพียงกำลังรีแอกทีฟที่ดึงจากแหล่งจ่ายเท่านั้นที่เปลี่ยน

Q₁ = 24·tan(arccos 0.65) = 28.06 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·60·470·10⁻⁶ = 10206 var = 10.21 kvar

Q₂ = 28.06 − 10.21 = 17.85 kvar

กำลังปรากฏใหม่

S₂ = √(24² + 17.85²) = 29.91 kVA

กระแสในสายใหม่

I = S₂/V = 29912/240 = 124.6 A

คำตอบ

I = 124.6 A

7.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

คำตอบ: W_L = 27 µJ

เรโซแนนซ์ LC: ตัวเก็บประจุที่ชาร์จแล้วต่อกับตัวเหนี่ยวนำขับกระแสที่ชาร์จมันในทิศตรงข้าม: พลังงานแกว่งระหว่างสนามไฟฟ้าของ C (½Cv²) กับสนามแม่เหล็กของ L (½Li²) ที่ความถี่ธรรมชาติ f₀ = 1/(2π√(LC)) เมื่อไม่มีความต้านทาน พลังงานรวม ½CV₀² คงที่ ดังนั้นกระแสยอดคือ I_max = V₀√(C/L) หนึ่งคาบคือ T = 1/f₀ พลังงานย้ายจาก C ไป L ในหนึ่งในสี่ของคาบนั้น

พลังงานรวม

½·1 × 10⁻⁷·24² = 2.88 × 10⁻⁵ J

พลังงานที่เหลืออยู่ในตัวเก็บประจุ

½·1 × 10⁻⁷·6² = 1.8 × 10⁻⁶ J

พลังงานในตัวเหนี่ยวนำ

W_L = 2.7 × 10⁻⁵ J = 27 µJ

คำตอบ

W_L = 27 µJ

8.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

คำตอบ: n = 1.395

ตัวประกอบคุณภาพ Q และแบนด์วิดท์: ในวงจรเรโซแนนซ์ Q = 2π·(พลังงานที่สะสม)/(พลังงานที่สูญเสียต่อรอบ) สำหรับ RLC อนุกรม Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C) สำหรับ RLC ขนาน Q = R/(ω₀L) = R√(C/L) แบนด์วิดท์ระหว่างความถี่กำลังครึ่งหนึ่ง f₁ และ f₂ (ที่กำลังเป็นครึ่งหนึ่งและกระแสหรือแรงดันเป็น 1/√2 ของค่ายอด) คือ BW = f₂ − f₁ = f₀/Q ซึ่งเท่ากับ R/(2πL) ในวงจรอนุกรมและ 1/(2πRC) ในวงจรขนาน ความถี่เรโซแนนซ์คือค่าเฉลี่ยเรขาคณิต f₀ = √(f₁f₂) และ f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) การสูญเสียยังทำให้การสั่นลดลงด้วย: ใน RLC อนุกรม แอมพลิจูดลดลงตาม e^−Rt/(2L)

ครึ่งชีวิตของแอมพลิจูด

t = 2·1 × 10⁻⁵·ln 2/0.5 = 2.773 × 10⁻⁵ s

จำนวนรอบ

n = t·f₀ = 2.773 × 10⁻⁵·50329 = 1.395

คำตอบ

n = 1.395

ทางลัด: n = Q·ln 2/π โดย Q = 6.325

9.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: P = 1.731 kW

แรงดันเฟส

V_ph = 208/√3 = 120.1 V

กระแสเฟส

|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω

I_ph = 120.1/15 = 8.006 A

กำลังจริงรวม

มีเพียงส่วนที่เป็นความต้านทานของอิมพีแดนซ์แต่ละตัวที่ดูดซับกำลังจริง

P = 3·I_ph²·R = 3·8.006²·9 = 1.731 kW

คำตอบ

P = 1.731 kW

ตรวจสอบ: cos φ = R/|Z| = 0.6 และ √3·V_L·I_L·cos φ ให้กำลังเท่ากัน

10.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: C_ph = 1777 µF

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส V_L = √3·V_ph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส I_L = √3·I_ph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ การปรับปรุงตัวประกอบกำลัง: ตัวเก็บประจุจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂) ตัวเก็บประจุทั้งสามตัวจ่ายตัวละ Q_C/3 = V²·ω·C โดย V คือแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุตัวนั้น: V_L ในชุดแบบ Δ, V_L/√3 ในชุดแบบ Y

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริงไม่เปลี่ยน ตัวประกอบกำลังแต่ละค่าจึงกำหนดกำลังรีแอกทีฟ: Q = P·tan φ

Q₁ = 200·tan(acos 0.7) = 200·1.02 = 204 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0.9) = 200·0.4843 = 96.86 kvar

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

Q_C = Q₁ − Q₂ = 107.2 kvar

ความจุต่อเฟส

ในชุดแบบ Y ตัวเก็บประจุแต่ละตัวต่อระหว่างสายกับจุดสตาร์

V = 400/√3 = 230.9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 35725/(377·230.9²) = 1777 µF

คำตอบ

C_ph = 1777 µF

11.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 0.4899 ms

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 10 mH / 47 Ω = 0.2128 ms

i(∞) = V_s/R = 12/47 = 0.2553 A

แก้สมการหาเวลา

0.9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.9)

t = −0.2128·ln(0.1) = 0.4899 ms

คำตอบ

t = 0.4899 ms

12.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: v_C = 0.7109 V

แรงดันเริ่มต้นของตัวเก็บประจุ

ในสถานะคงตัวตัวเก็บประจุเป็นวงจรเปิด ดังนั้น R₁ และ R₂ เป็นวงจรแบ่งแรงดัน แรงดันตัวเก็บประจุกระโดดไม่ได้เมื่อสวิตช์เปิด

v_C(0) = 9·3.3/(4.7 + 3.3) = 3.712 V

ค่าคงที่เวลาหลังสวิตช์เปิด

τ = R₂·C = 3.3·22 = 72.6 ms

การคายประจุ

v_C(t) = 3.712·e^−120/72.6 = 0.7109 V

คำตอบ

v_C = 0.7109 V

13.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: V_th = 10 V

ทฤษฎีบทของเทวินิน: โครงข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ ทำงานเหมือนแหล่งจ่ายแรงดัน V_th หนึ่งตัวต่ออนุกรมกับความต้านทาน R_th ทฤษฎีบทของนอร์ตัน ให้โครงข่ายเดียวกันในรูปแหล่งจ่ายกระแส I_N = V_th/R_th ต่อขนานกับ R_th

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

แทนแหล่งจ่ายแรงดันด้วยลัดวงจรและแหล่งจ่ายกระแสด้วยวงจรเปิด แล้วมองเข้าไปในวงจรจาก a–b

R₁ ∥ R₂ = 3·6/(3+6) = 2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2 + 2 = 4 Ω

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ ไม่มีกระแสไหลผ่าน R₃ จึงไม่มีแรงดันตกคร่อม ดังนั้น V_b = V_A และ R₁ กับ R₂ เป็นตัวแบ่งแรงดัน

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·6/(3+6) = 10 V

14.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: I_L = 0.8932 A

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

R₁ ∥ R₂ = 12·2/(12+2) = 1.714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.714 + 8 = 9.714 Ω

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ เส้นทางเดียวของ Iₛ คือผ่าน R₃ เข้าโหนด A หา V_A ด้วยการซ้อนทับของ V₁ และ Iₛ แล้วบวกแรงดันตกคร่อม R₃

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3.429 + 1·1.714 = 5.143 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 5.143 + 1·8 = 13.14 V

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

แหล่งจ่ายเทวินินกับ R_th ที่ต่ออนุกรมกันทำงานเหมือนวงจรเดิมที่ a–b ทุกประการ โหลดจึงเห็นเป็นลูปอนุกรมอย่างง่าย

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 13.14/(9.714 + 5) = 0.8932 A

15.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: |G(jω)| = 23.6 dB

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

คูณขนาด

|G(j3)| = 3040/(√(3² + 10²)·√(3² + 19²)) = 3040/(10.44·19.24) = 15.14

ผลลัพธ์

20·log₁₀(15.14) = 23.6 dB

คำตอบ

|G(jω)| = 23.6 dB

16.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ω₁₈₀ = 7.071 rad/s

จุดตัดเฟส

(ω/5)·(ω/10) = 1 → ω₁₈₀ = √(5·10) = 7.071 rad/s

คำตอบ

ω₁₈₀ = 7.071 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

การวิเคราะห์วงจร 2: วงจรกระแสสลับ: ชุดสรุปเร่งรัด

1สูตรและวิธีทำ

จำนวนเชิงซ้อน

วิธีการ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

วิธีการ

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

วิธีการ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

ทรานเซียนต์ RC และ RL

วิธีการ

เทวินินและนอร์ตัน

วิธีการ

2โจทย์ฝึก

3สารละลาย

องค์ประกอบ

รูปเชิงสี่เหลี่ยม

คำตอบ

คู่สังยุค

แยกตัวประกอบกำลังสอง

รากจริง

คำตอบ

รีแอกแตนซ์

กระแสในแต่ละสาขา

กระแสรวม

มุมเฟส

คำตอบ

รีแอกแตนซ์

อิมพีแดนซ์

กระแส

คำตอบ

กระแสในสาย

คำตอบ

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังปรากฏใหม่

กระแสในสายใหม่

คำตอบ

พลังงานรวม

พลังงานที่เหลืออยู่ในตัวเก็บประจุ

พลังงานในตัวเหนี่ยวนำ

คำตอบ

ครึ่งชีวิตของแอมพลิจูด

จำนวนรอบ

คำตอบ

แรงดันเฟส

กระแสเฟส

กำลังจริงรวม

คำตอบ

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

ความจุต่อเฟส

คำตอบ

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

แก้สมการหาเวลา

คำตอบ

แรงดันเริ่มต้นของตัวเก็บประจุ

ค่าคงที่เวลาหลังสวิตช์เปิด

การคายประจุ

คำตอบ

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

คูณขนาด

ผลลัพธ์

คำตอบ

จุดตัดเฟส

คำตอบ

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด