การวิเคราะห์วงจร 2: วงจรกระแสสลับ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 16 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จำนวนเชิงซ้อน

รูปเชิงสี่เหลี่ยม: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
มอดูลัสและอาร์กิวเมนต์: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
รูปเชิงขั้วและรูปเอกซ์โพเนนเชียล: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
การหาร: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
ผลคูณและผลหาร: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
เดอมัวฟร์: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
รากที่ n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
สมการกำลังสองที่ p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

วิธีการ

เลือกรูปแบบที่เหมาะกับการดำเนินการ: รูปเชิงสี่เหลี่ยม a + jb สำหรับการบวกและลบ รูปเชิงขั้ว r∠θ สำหรับการคูณ หาร เลขยกกำลัง และราก
คูณกระจายด้วย j² = −1; หารโดยคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน
แปลงด้วย r = √(a² + b²) และ θ จากภาพร่างของจุด (ตรวจจตุภาค) และกลับด้วย a = r cos θ, b = r sin θ
สำหรับเลขยกกำลังใช้เดอมัวฟร์ (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; สำหรับ zⁿ = R∠φ ให้เขียนรายการรากทั้ง n ราก R^1/n∠((φ + 360°k)/n)

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

กำลังจริง: P = V·I·cos φ
กำลังรีแอกทีฟ: Q = V·I·sin φ
กำลังปรากฏ: S = V·I = √(P² + Q²)
ตัวประกอบกำลัง: pf = cos φ = P/S
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

ความถี่ธรรมชาติ: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
พลังงาน: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
กระแสยอด: I_max = V₀√(C/L)
ตัวประกอบคุณภาพ: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC อนุกรม: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC ขนาน: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
แบนด์วิดท์: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
ความถี่กำลังครึ่งหนึ่ง: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
แทงก์ที่มีความต้านทานขดลวด r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
การลดลงของแอมพลิจูด: e^−Rt/(2L)

วิธีการ

หาความถี่เรโซแนนซ์ก่อน: ω₀ = 1/√(LC) และ f₀ = ω₀/(2π)
ตัดสินว่าวงจรเป็นอนุกรมหรือขนาน: อนุกรม Q = (1/R)√(L/C) ขนาน Q = R√(C/L)
ใช้ BW = f₀/Q สำหรับแบนด์วิดท์ หรือทางลัด R/(2πL) (อนุกรม) และ 1/(2πRC) (ขนาน)
สำหรับโจทย์พลังงาน ใช้ข้อเท็จจริงว่าพลังงานรวม ½CV₀² คงที่ในวงจร LC ในอุดมคติ และแกว่งระหว่าง C กับ L ทุกหนึ่งในสี่ของคาบ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

การต่อแบบ Y: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
การต่อแบบ Δ: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
กำลังจริงรวม: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
กำลังปรากฏและกำลังรีแอกทีฟ: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุแต่ละตัว: Δ: V_L Y: V_L/√3
กำลังป้อนเข้ามอเตอร์: P_in = P_out/η

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา: τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง: วงจรเปิด v_C กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง: ลัดวงจร i_L กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว: t ≈ 5τ

วิธีการ

หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ

เทวินินและนอร์ตัน

แรงดันเทวินิน: V_th = V_{open circuit}
ความต้านทานเทวินิน: R_th: ปิดแหล่งจ่ายทั้งหมด มองจาก a–b
กระแสนอร์ตัน: I_N = V_th/R_th
กระแสโหลด: I_L = V_th/(R_th + R_L)
การถ่ายโอนกำลังสูงสุด: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

วิธีการ

ถอดโหลดออกและทำเครื่องหมายสองขั้วเป็น a และ b
หาแรงดันวงจรเปิดระหว่าง a และ b: นี่คือ V_th
ปิดแหล่งจ่ายอิสระทั้งหมดแล้วหาความต้านทานที่มองจาก a–b: นี่คือ R_th
ต่อโหลดกลับเข้ากับวงจรสมมูล: V_th อนุกรมกับ R_th
สำหรับวงจรสมมูลนอร์ตัน ให้แปลง: I_N = V_th/R_th โดยมี R_N = R_th ต่อขนาน

2โจทย์ฝึก

1.จำนวนเชิงซ้อนปานกลาง

จำนวน z = 5·e^j0.4 มีมุมเป็นเรเดียน หาส่วนจินตภาพของมัน b

r = 5θ = 0.4 rad

b =

2.จำนวนเชิงซ้อนยาก

จงแก้ z² − 8z + 22.25 = 0 รากคือ a ± jb จงหา b > 0

p = −8q = 22.25

b =

3.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

ตัวต้านทานและตัวเก็บประจุต่อขนานกันคร่อมแหล่งจ่าย 24 V (rms) 100 Hz หาขนาดของอิมพีแดนซ์ |Z|

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩC = 22 µF

|Z| = Ω

4.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมถูกขับด้วยแหล่งกำเนิด 1 V (rms) ซึ่งตั้งความถี่ไว้ที่ความถี่เรโซแนนซ์ของวงจร จงหาแรงดัน rms V_L ตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

V = 1 V (rms)R = 20 ΩL = 50 mHC = 0.22 µF

V_L = V

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังปานกลาง

โหลดสองตัวต่อขนานกันกับแหล่งจ่ายเฟสเดียว 240 V: โหลด 14 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.7 แบบตามหลัง และ โหลด 16 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.9 แบบตามหลัง จงหาตัวประกอบกำลังรวม cos φ ที่แหล่งจ่ายเห็น

V = 240 VP₁ = 14 kW, pf₁ = 0.7 ล้าหลังP₂ = 16 kW, pf₂ = 0.9 ล้าหลัง

cos φ =

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังยาก

หม้อแปลงเฟสเดียว 200 kVA จ่ายให้โหลด 62 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.7 แบบตามหลัง จะเพิ่มกำลังจริง ΔP ได้อีกเท่าใดในรูปโหลดตัวต้านทาน (ตัวประกอบกำลังเท่ากับหนึ่ง) ก่อนที่หม้อแปลงจะถึงพิกัด kVA

S_max = 200 kVAP₁ = 62 kWpf₁ = 0.7

ΔP = kW

7.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมเรโซแนนซ์ที่ 200 kHz โดย Q = 2 จงหาความถี่กำลังครึ่งหนึ่งค่าต่ำ f₁ อย่างแม่นยำ ในหน่วย kHz

f₀ = 200 kHzQ = 2

f₁ = kHz

8.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์ยาก

วงจรเรโซแนนซ์อนุกรมใช้ตัวเหนี่ยวนำ 4.7 mH ความต้านทานอนุกรมรวม R ค่าใดให้แบนด์วิดท์ 2 kHz

L = 4.7 mHBW = 2 kHz

R = Ω

9.กำลังไฟฟ้าสามเฟสปานกลาง

มอเตอร์เหนี่ยวนำสามเฟสให้กำลังกลขาออก 15 kW ที่โหลดเต็มพิกัด ที่โหลดนี้ประสิทธิภาพ 88% และตัวประกอบกำลัง 0.86 ล้าหลัง แหล่งจ่ายมีแรงดันสาย–สาย 400 V หากระแสสาย I_L

P_out = 15 kWη = 88%cos φ = 0.86V_L = 400 V

I_L = A

10.กำลังไฟฟ้าสามเฟสยาก

โหลดสามเฟสสมดุลใช้กำลัง 60 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.8 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 480 V (สาย–สาย) 50 Hz ชุดตัวเก็บประจุสามเฟสที่ต่อขนานกับโหลดต้องเพิ่มตัวประกอบกำลังรวมเป็น 0.95 ล้าหลัง กำลังจริงคงเดิม หากำลังรีแอกทีฟรวม Q_C ที่ชุดตัวเก็บประจุต้องจ่าย ใน kvar

P = 60 kWpf₁ = 0.8pf₂ = 0.95V_L = 480 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

11.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 หลังจากสวิตช์ปิดนานเท่าใดกระแสจึงถึง 95% ของค่าสุดท้าย หา t

V_s = 12 VR = 33 ΩL = 10 mH

t = ms

12.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก

สวิตช์คร่อม R₂ ปิดมานานแล้ว กระแสตัวเหนี่ยวนำจึงคงตัว ที่ t = 0 สวิตช์เปิด จงหากระแสตัวเหนี่ยวนำ i ที่ t = 10 ms

V_s = 15 VR₁ = 33 ΩR₂ = 10 ΩL = 150 mHt = 10 ms

i = A

13.เทวินินและนอร์ตันปานกลาง

หาแรงดันเทวินิน V_th เมื่อมองจากขั้ว a–b

V₁ = 9 VR₁ = 3 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 Ω

V_th = V

14.เทวินินและนอร์ตันยาก

ต่อโหลด R_L = 6 Ω คร่อม a–b ใช้วงจรสมมูลเทวินินเพื่อหากำลัง P_L ที่จ่ายให้โหลด

V₁ = 24 VI_s = 5 AR₁ = 25 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 8 ΩR_L = 6 Ω

P_L = W

15.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

ตัวกรองความถี่สูงผ่าน RLที่แสดงมีR = 10 Ω, L = 47 mH ป้อนอินพุตรูปซายน์ของ 68 Hz จงหาการเลื่อนเฟส φ ของ v_out เทียบกับ v_in เป็นองศา

R = 10 ΩL = 47 mHf = 68 Hz

φ = °

16.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 300/(s(s + 20)) จงหาขอบเฟส PM เป็นองศา

L(s) = 300/(s(s + 20))

PM = °

3สารละลาย

1.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: b = 1.947

รูปเชิงขั้ว: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ โดย r = |z| และ θ = arg z กลับเป็นรูปเชิงสี่เหลี่ยม: a = r cos θ, b = r sin θ อาร์กิวเมนต์ต้องคำนึงถึงจตุภาค: θ = atan(b/a) ใช้ได้เฉพาะเมื่อ a > 0; เมื่อ a < 0 ให้บวกหรือลบ 180° ในรูปเชิงขั้ว การคูณง่าย: คูณมอดูลัสและบวกอาร์กิวเมนต์ การหารให้หารมอดูลัสและลบอาร์กิวเมนต์

สูตรของออยเลอร์

z = 5·(cos 0.4 + j sin 0.4)

องค์ประกอบ (เรเดียน)

a = 5·cos 0.4 = 4.605

b = 5·sin 0.4 = 1.947

b = 1.947

คำตอบ

b = 1.947

2.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: b = 2.5

เดอมัวฟร์และราก: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ สมการ zⁿ = R∠φ มีรากพอดี n ราก ทุกรากมีมอดูลัส R^1/n ที่อาร์กิวเมนต์ (φ + 360°·k)/n สำหรับ k = 0, 1, …, n − 1: รากวางห่างเท่า ๆ กันบนวงกลม ห่างกัน 360°/n สมการกำลังสอง z² + pz + q = 0 ที่ p² < 4q มีรากเชิงซ้อน z = −p/2 ± j√(q − p²/4) พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จริงมีรากเชิงซ้อนเป็นคู่สังยุค a ± jb เสมอ

ตัวจำแนก

p² − 4q = 64 − 89 = −25 < 0

สูตรกำลังสอง

z = (8 ± j√25)/2 = 4 + j2.5, 4 − j2.5

คำตอบ

b = 2.5

คำตอบ

b = 2.5

3.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: |Z| = 14.69 Ω

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·100·22·10⁻⁶) = 72.34 Ω

กระแสในแต่ละสาขา

ทั้งสองสาขาต่อตรงคร่อมแหล่งจ่าย ดังนั้นแต่ละสาขาเห็นแรงดัน V เต็มค่า

I_R = V/R = 24/15 = 1.6 A

I_X = V/X_C = 24/72.34 = 0.3318 A

กระแสรวม

กระแสตัวต้านทานเฟสตรงกับ V และกระแสรีแอกทีฟต่างเฟส 90° จึงบวกกันเหมือนด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

I = √(I_R² + I_X²) = √(1.6² + 0.3318²) = 1.634 A

อิมพีแดนซ์

|Z| = V/I = 24/1.634 = 14.69 Ω

คำตอบ

|Z| = 14.69 Ω

4.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: V_L = 23.84 V

เรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์หักล้างกัน อิมพีแดนซ์จึงเท่ากับ R เท่านั้น

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.05·0.22·10⁻⁶) = 9535 rad/s

I = V/R = 1/20 = 0.05 A

แรงดันตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

X_L = ω₀L = 9535·0.05 = 476.7 Ω

V_L = I·X_L = 0.05·476.7 = 23.84 V

คำตอบ

V_L = 23.84 V

นี่คือ Q = 23.84 เท่าของแรงดันแหล่งจ่าย

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: cos φ = 0.806

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

กำลังรีแอกทีฟของแต่ละโหลด

โหลดแบบตามหลังดึงกำลังรีแอกทีฟ (Q > 0) โหลดแบบนำจ่ายกำลังรีแอกทีฟ (Q < 0)

Q₁ = 14·tan(arccos 0.7) = 14.28 kvar

Q₂ = 16·tan(arccos 0.9) = 7.749 kvar

ผลรวม

P = 14 + 16 = 30 kW

Q = 14.28 + 7.749 = 22.03 kvar

S = √(30² + 22.03²) = 37.22 kVA

ตัวประกอบกำลังรวม

cos φ = P/S = 30/37.22 = 0.806 ล้าหลัง

คำตอบ

cos φ = 0.806

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: ΔP = 127.7 kW

กำลังรีแอกทีฟของโหลดเดิม

Q₁ = 62·tan(arccos 0.7) = 63.25 kvar

กำลังจริงรวมที่มากที่สุด

ที่พิกัดเต็ม S = S_max และ Q ไม่เปลี่ยนจากโหลดตัวต้านทาน

P = √(S_max² − Q₁²) = √(200² − 63.25²) = 189.7 kW

กำลังจริงที่เพิ่มได้

ΔP = 189.7 − 62 = 127.7 kW

คำตอบ

ΔP = 127.7 kW

7.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

คำตอบ: f₁ = 156.2 kHz

ตัวประกอบคุณภาพ Q และแบนด์วิดท์: ในวงจรเรโซแนนซ์ Q = 2π·(พลังงานที่สะสม)/(พลังงานที่สูญเสียต่อรอบ) สำหรับ RLC อนุกรม Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C) สำหรับ RLC ขนาน Q = R/(ω₀L) = R√(C/L) แบนด์วิดท์ระหว่างความถี่กำลังครึ่งหนึ่ง f₁ และ f₂ (ที่กำลังเป็นครึ่งหนึ่งและกระแสหรือแรงดันเป็น 1/√2 ของค่ายอด) คือ BW = f₂ − f₁ = f₀/Q ซึ่งเท่ากับ R/(2πL) ในวงจรอนุกรมและ 1/(2πRC) ในวงจรขนาน ความถี่เรโซแนนซ์คือค่าเฉลี่ยเรขาคณิต f₀ = √(f₁f₂) และ f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) การสูญเสียยังทำให้การสั่นลดลงด้วย: ใน RLC อนุกรม แอมพลิจูดลดลงตาม e^−Rt/(2L)

พจน์รากที่สอง

√(1 + 1/(4·2²)) = 1.031

ความถี่กำลังครึ่งหนึ่งค่าต่ำ

f₁ = 200000·(1.031 − 0.25) = 156155 Hz = 156.2 kHz

คำตอบ

f₁ = 156.2 kHz

ค่าสูงคือ f₂ = 256.2 kHz ตรวจสอบ: f₂ − f₁ = 100 kHz = f₀/Q

8.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

คำตอบ: R = 59.06 Ω

แบนด์วิดท์อนุกรม

BW = R/(2πL)

ความต้านทาน

R = 2π·0.0047·2000 = 59.06 Ω

คำตอบ

R = 59.06 Ω

9.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: I_L = 28.61 A

กำลังไฟฟ้าขาเข้า

P_in = P_out/η = 15/0.88 = 17.05 kW

กระแสในสาย

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 17045/(√3·400·0.86) = 28.61 A

คำตอบ

I_L = 28.61 A

10.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: Q_C = 25.28 kvar

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส V_L = √3·V_ph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส I_L = √3·I_ph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ การปรับปรุงตัวประกอบกำลัง: ตัวเก็บประจุจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂) ตัวเก็บประจุทั้งสามตัวจ่ายตัวละ Q_C/3 = V²·ω·C โดย V คือแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุตัวนั้น: V_L ในชุดแบบ Δ, V_L/√3 ในชุดแบบ Y

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริงไม่เปลี่ยน ตัวประกอบกำลังแต่ละค่าจึงกำหนดกำลังรีแอกทีฟ: Q = P·tan φ

Q₁ = 60·tan(acos 0.8) = 60·0.75 = 45 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0.95) = 60·0.3287 = 19.72 kvar

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

Q_C = Q₁ − Q₂ = 25.28 kvar

คำตอบ

Q_C = 25.28 kvar

11.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 0.9078 ms

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 10 mH / 33 Ω = 0.303 ms

i(∞) = V_s/R = 12/33 = 0.3636 A

แก้สมการหาเวลา

0.95 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.95)

t = −0.303·ln(0.05) = 0.9078 ms

คำตอบ

t = 0.9078 ms

12.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: i = 0.3549 A

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

ก่อน t = 0 สวิตช์ที่ปิดอยู่ข้าม R₂ หลังจากนั้น R₁ และ R₂ อยู่ในวงจรทั้งคู่

i(0) = 15/33 = 0.4545 A

i(∞) = 15/(33 + 10) = 0.3488 A

τ = L/R = 150/43 = 3.488 ms

i(t) = 0.3488 + (0.4545 − 0.3488)·e^−t/τ

กระแสที่เวลาที่กำหนด

i(10) = 0.3488 + (0.1057)·e^−10/3.488 = 0.3549 A

คำตอบ

i = 0.3549 A

13.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: V_th = 6 V

ทฤษฎีบทของเทวินิน: โครงข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ ทำงานเหมือนแหล่งจ่ายแรงดัน V_th หนึ่งตัวต่ออนุกรมกับความต้านทาน R_th ทฤษฎีบทของนอร์ตัน ให้โครงข่ายเดียวกันในรูปแหล่งจ่ายกระแส I_N = V_th/R_th ต่อขนานกับ R_th

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

แทนแหล่งจ่ายแรงดันด้วยลัดวงจรและแหล่งจ่ายกระแสด้วยวงจรเปิด แล้วมองเข้าไปในวงจรจาก a–b

R₁ ∥ R₂ = 3·6/(3+6) = 2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2 + 12 = 14 Ω

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ ไม่มีกระแสไหลผ่าน R₃ จึงไม่มีแรงดันตกคร่อม ดังนั้น V_b = V_A และ R₁ กับ R₂ เป็นตัวแบ่งแรงดัน

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·6/(3+6) = 6 V

14.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: P_L = 69.98 W

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

R₁ ∥ R₂ = 25·25/(25+25) = 12.5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 12.5 + 8 = 20.5 Ω

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ เส้นทางเดียวของ Iₛ คือผ่าน R₃ เข้าโหนด A หา V_A ด้วยการซ้อนทับของ V₁ และ Iₛ แล้วบวกแรงดันตกคร่อม R₃

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 12 + (−5)·12.5 = −50.5 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −50.5 + (−5)·8 = −90.5 V

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

แหล่งจ่ายเทวินินกับ R_th ที่ต่ออนุกรมกันทำงานเหมือนวงจรเดิมที่ a–b ทุกประการ โหลดจึงเห็นเป็นลูปอนุกรมอย่างง่าย

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −90.5/(20.5 + 6) = −3.415 A

P_L = I_L²·R_L = −3.415²·6 = 69.98 W

15.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: φ = 26.47 °

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่มุม

ω_c = R/L = 10/0.047 = 212.8 rad/s

f_c = 33.86 Hz → f/f_c = 68/33.86 = 2.008

เฟส

φ = 90° − atan(2.008) = 26.47°

คำตอบ

φ = 26.47°

16.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: PM = 57.64 °

จุดตัดอัตราขยาย

ω⁴ + 400ω² − 90000 = 0

ω² = (−400 + √(160000 + 4·90000))/2 = 160.6

ω_c = 12.67 rad/s

ขอบเฟส

∠L(jω_c) = −90° − atan(12.67/20) = −122.4°

PM = 180° + ∠L = 57.64°

คำตอบ

PM = 57.64°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

การวิเคราะห์วงจร 2: วงจรกระแสสลับ: ชุดสรุปเร่งรัด

1สูตรและวิธีทำ

จำนวนเชิงซ้อน

วิธีการ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

วิธีการ

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

วิธีการ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

ทรานเซียนต์ RC และ RL

วิธีการ

เทวินินและนอร์ตัน

วิธีการ

2โจทย์ฝึก

3สารละลาย

สูตรของออยเลอร์

องค์ประกอบ (เรเดียน)

คำตอบ

ตัวจำแนก

สูตรกำลังสอง

คำตอบ

คำตอบ

รีแอกแตนซ์

กระแสในแต่ละสาขา

กระแสรวม

อิมพีแดนซ์

คำตอบ

เรโซแนนซ์

แรงดันตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

คำตอบ

กำลังรีแอกทีฟของแต่ละโหลด

ผลรวม

ตัวประกอบกำลังรวม

คำตอบ

กำลังรีแอกทีฟของโหลดเดิม

กำลังจริงรวมที่มากที่สุด

กำลังจริงที่เพิ่มได้

คำตอบ

พจน์รากที่สอง

ความถี่กำลังครึ่งหนึ่งค่าต่ำ

คำตอบ

แบนด์วิดท์อนุกรม

ความต้านทาน

คำตอบ

กำลังไฟฟ้าขาเข้า

กระแสในสาย

คำตอบ

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

คำตอบ

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

แก้สมการหาเวลา

คำตอบ

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

กระแสที่เวลาที่กำหนด

คำตอบ

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

ความถี่มุม

เฟส

คำตอบ

จุดตัดอัตราขยาย

ขอบเฟส

คำตอบ

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด