การวิเคราะห์วงจร 2: วงจรกระแสสลับ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 16 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จำนวนเชิงซ้อน

รูปเชิงสี่เหลี่ยม: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
มอดูลัสและอาร์กิวเมนต์: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
รูปเชิงขั้วและรูปเอกซ์โพเนนเชียล: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
การหาร: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
ผลคูณและผลหาร: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
เดอมัวฟร์: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
รากที่ n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
สมการกำลังสองที่ p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

วิธีการ

เลือกรูปแบบที่เหมาะกับการดำเนินการ: รูปเชิงสี่เหลี่ยม a + jb สำหรับการบวกและลบ รูปเชิงขั้ว r∠θ สำหรับการคูณ หาร เลขยกกำลัง และราก
คูณกระจายด้วย j² = −1; หารโดยคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน
แปลงด้วย r = √(a² + b²) และ θ จากภาพร่างของจุด (ตรวจจตุภาค) และกลับด้วย a = r cos θ, b = r sin θ
สำหรับเลขยกกำลังใช้เดอมัวฟร์ (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; สำหรับ zⁿ = R∠φ ให้เขียนรายการรากทั้ง n ราก R^1/n∠((φ + 360°k)/n)

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

กำลังจริง: P = V·I·cos φ
กำลังรีแอกทีฟ: Q = V·I·sin φ
กำลังปรากฏ: S = V·I = √(P² + Q²)
ตัวประกอบกำลัง: pf = cos φ = P/S
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

ความถี่ธรรมชาติ: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
พลังงาน: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
กระแสยอด: I_max = V₀√(C/L)
ตัวประกอบคุณภาพ: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC อนุกรม: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC ขนาน: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
แบนด์วิดท์: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
ความถี่กำลังครึ่งหนึ่ง: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
แทงก์ที่มีความต้านทานขดลวด r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
การลดลงของแอมพลิจูด: e^−Rt/(2L)

วิธีการ

หาความถี่เรโซแนนซ์ก่อน: ω₀ = 1/√(LC) และ f₀ = ω₀/(2π)
ตัดสินว่าวงจรเป็นอนุกรมหรือขนาน: อนุกรม Q = (1/R)√(L/C) ขนาน Q = R√(C/L)
ใช้ BW = f₀/Q สำหรับแบนด์วิดท์ หรือทางลัด R/(2πL) (อนุกรม) และ 1/(2πRC) (ขนาน)
สำหรับโจทย์พลังงาน ใช้ข้อเท็จจริงว่าพลังงานรวม ½CV₀² คงที่ในวงจร LC ในอุดมคติ และแกว่งระหว่าง C กับ L ทุกหนึ่งในสี่ของคาบ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

การต่อแบบ Y: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
การต่อแบบ Δ: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
กำลังจริงรวม: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
กำลังปรากฏและกำลังรีแอกทีฟ: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุแต่ละตัว: Δ: V_L Y: V_L/√3
กำลังป้อนเข้ามอเตอร์: P_in = P_out/η

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา: τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง: วงจรเปิด v_C กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง: ลัดวงจร i_L กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว: t ≈ 5τ

วิธีการ

หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ

เทวินินและนอร์ตัน

แรงดันเทวินิน: V_th = V_{open circuit}
ความต้านทานเทวินิน: R_th: ปิดแหล่งจ่ายทั้งหมด มองจาก a–b
กระแสนอร์ตัน: I_N = V_th/R_th
กระแสโหลด: I_L = V_th/(R_th + R_L)
การถ่ายโอนกำลังสูงสุด: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

วิธีการ

ถอดโหลดออกและทำเครื่องหมายสองขั้วเป็น a และ b
หาแรงดันวงจรเปิดระหว่าง a และ b: นี่คือ V_th
ปิดแหล่งจ่ายอิสระทั้งหมดแล้วหาความต้านทานที่มองจาก a–b: นี่คือ R_th
ต่อโหลดกลับเข้ากับวงจรสมมูล: V_th อนุกรมกับ R_th
สำหรับวงจรสมมูลนอร์ตัน ให้แปลง: I_N = V_th/R_th โดยมี R_N = R_th ต่อขนาน

2โจทย์ฝึก

1.จำนวนเชิงซ้อนปานกลาง

จำนวน z = 2·e^−j1.8 มีมุมเป็นเรเดียน หาส่วนจริงของมัน a

r = 2θ = −1.8 rad

a =

2.จำนวนเชิงซ้อนยาก

ใช้ทฤษฎีบทของเดอมัวฟร์เพื่อหาส่วนจริงของ z³ สำหรับ z = 1 − j√3

z = 1 − j√3n = 3

Re(z³) =

3.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 230 V (rms) 50 Hz จงหากำลังจริง P ที่ดึงจากแหล่งจ่าย

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 22 µF

P = W

4.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 24 V (rms) 100 Hz หาแรงดัน rms V_C คร่อมตัวเก็บประจุ

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 47 µF

V_C = V

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังปานกลาง

มอเตอร์เฟสเดียวใช้กำลัง 13 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.8 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 240 V หากำลังรีแอกทีฟ Q ที่ดึงมา

P = 13 kWpf = 0.8V = 240 V

Q = kvar

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังยาก

โหลดเฟสเดียวใช้กำลัง 40 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.65 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 230 V 60 Hz ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานทำให้ตัวประกอบกำลังเพิ่มเป็น 0.95 หากำลังรีแอกทีฟ Q_C ที่ตัวเก็บประจุต้องจ่าย

P = 40 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.95V = 230 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

7.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์ปานกลาง

วงจร RLC ขนานมี R = 10 kΩ, L = 470 µH และ C = 470 pF จงหาตัวประกอบคุณภาพ Q

R = 10 kΩL = 470 µHC = 470 pF

Q =

8.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์ยาก

ตัวเก็บประจุ 10 µF ที่ชาร์จแล้วคายประจุผ่านขดลวด 470 µH ที่มีความต้านทานอนุกรมรวม 0.5 Ω ทำให้การสั่นค่อย ๆ หมดไป แอมพลิจูดของมันลดลงตาม e^−Rt/(2L) การสั่นกี่รอบ n ผ่านไปก่อนที่แอมพลิจูดจะลดลงครึ่งหนึ่ง (การสูญเสียน้อย ดังนั้นความถี่คือ f₀)

L = 470 µHC = 10 µFR = 0.5 Ω

n =

9.กำลังไฟฟ้าสามเฟสปานกลาง

มอเตอร์เหนี่ยวนำสามเฟสให้กำลังกลขาออก 7.5 kW ที่โหลดเต็มพิกัด ที่โหลดนี้ประสิทธิภาพ 88% และตัวประกอบกำลัง 0.8 ล้าหลัง แหล่งจ่ายมีแรงดันสาย–สาย 480 V หากระแสสาย I_L

P_out = 7.5 kWη = 88%cos φ = 0.8V_L = 480 V

I_L = A

10.กำลังไฟฟ้าสามเฟสยาก

โหลดสามเฟสสมดุลใช้กำลัง 300 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.7 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 480 V (สาย–สาย) 50 Hz ชุดตัวเก็บประจุสามเฟสที่ต่อขนานกับโหลดต้องเพิ่มตัวประกอบกำลังรวมเป็น 0.98 ล้าหลัง กำลังจริงคงเดิม ตัวเก็บประจุต่อแบบ Δ หาความจุ C_ph ของตัวเก็บประจุแต่ละตัวใน µF

P = 300 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.98V_L = 480 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง

ตัวเหนี่ยวนำมีกระแสคงที่ 2 A ที่ t = 0 สวิตช์ปิดวงจรผ่าน R และแหล่งกำเนิดถูกถอดออก กระแสตัวเหนี่ยวนำจึงลดลงผ่าน R หากระแส i ที่ t = 20 ms

i(0) = 2 AR = 15 ΩL = 150 mHt = 20 ms

i = A

12.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก

ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 15 V ตามขั้วที่แสดง ใช้เวลานานเท่าใดให้ v_C ถึง 17.7 V หา t

V_s = 24 VR = 3.3 kΩC = 68 µFv_C(0) = 15 V

t = ms

13.เทวินินและนอร์ตันปานกลาง

ต่อโหลด R_L = 20 Ω คร่อม a–b แทนส่วนที่เหลือของวงจรด้วยวงจรสมมูลเทวินิน แล้วหากระแสโหลด I_L

V₁ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 6 ΩR_L = 20 Ω

I_L = A

14.เทวินินและนอร์ตันยาก

หาแรงดันเทวินิน V_th เมื่อมองจากขั้ว a–b

V₁ = 15 VI_s = 2.5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 Ω

V_th = V

15.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

ตัวกรองความถี่ต่ำผ่าน RCที่แสดงมีR = 1 kΩ, C = 10 nF ป้อนอินพุตรูปซายน์ของ 64 kHz จงหาอัตราขยาย |H| = |v_out/v_in| ใน dB

R = 1 kΩC = 10 nFf = 64 kHz

|H| = dB

16.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 722/(s(s + 8)(s + 10)) จงหาความถี่จุดตัดเฟส ω₁₈₀ ที่ ∠L(jω) = −180°

L(s) = 722/(s(s + 8)(s + 10))

ω₁₈₀ = rad/s

3สารละลาย

1.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: a = −0.4544

รูปเชิงขั้ว: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ โดย r = |z| และ θ = arg z กลับเป็นรูปเชิงสี่เหลี่ยม: a = r cos θ, b = r sin θ อาร์กิวเมนต์ต้องคำนึงถึงจตุภาค: θ = atan(b/a) ใช้ได้เฉพาะเมื่อ a > 0; เมื่อ a < 0 ให้บวกหรือลบ 180° ในรูปเชิงขั้ว การคูณง่าย: คูณมอดูลัสและบวกอาร์กิวเมนต์ การหารให้หารมอดูลัสและลบอาร์กิวเมนต์

สูตรของออยเลอร์

z = 2·(cos −1.8 + j sin −1.8)

องค์ประกอบ (เรเดียน)

a = 2·cos −1.8 = −0.4544

b = 2·sin −1.8 = −1.948

a = −0.4544

คำตอบ

a = −0.4544

2.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: Re(z³) = −8

เดอมัวฟร์และราก: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ สมการ zⁿ = R∠φ มีรากพอดี n ราก ทุกรากมีมอดูลัส R^1/n ที่อาร์กิวเมนต์ (φ + 360°·k)/n สำหรับ k = 0, 1, …, n − 1: รากวางห่างเท่า ๆ กันบนวงกลม ห่างกัน 360°/n สมการกำลังสอง z² + pz + q = 0 ที่ p² < 4q มีรากเชิงซ้อน z = −p/2 ± j√(q − p²/4) พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จริงมีรากเชิงซ้อนเป็นคู่สังยุค a ± jb เสมอ

รูปเชิงขั้ว

z = 1 − j√3 = 2∠−60°

เดอมัวฟร์

z³ = (2)³∠−180° = 8∠180°

รูปเชิงสี่เหลี่ยม

z³ = 8·(cos 180° + j sin 180°) = −8

Re(z³) = −8

คำตอบ

Re(z³) = −8

3.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: P = 181.4 W

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

X_L = 6.283 Ω, X_C = 144.7 Ω

อิมพีแดนซ์

|Z| = √(100² + (−138.4)²) = 170.7 Ω

กำลังจริง

ตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุเพียงสะสมแล้วคืนพลังงาน ตัวต้านทานดูดกำลังจริงทั้งหมด

I = 230/170.7 = 1.347 A

P = I²·R = 1.347²·100 = 181.4 W

คำตอบ

P = 181.4 W

4.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: V_C = 8.116 V

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.2 = 125.7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·47·10⁻⁶) = 33.86 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(X_L − X_C)

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (91.8)²) = 100.1 Ω

กระแส

กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม

I = V/|Z| = 24/100.1 = 0.2397 A

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ

V_C = I·X_C = 0.2397·33.86 = 8.116 V

คำตอบ

V_C = 8.116 V

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: Q = 9.75 kvar

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

มุม

φ = arccos(0.8) = 36.87°, tan φ = 0.75

กำลังรีแอกทีฟ

Q = P·tan φ = 13·0.75 = 9.75 kvar

คำตอบ

Q = 9.75 kvar

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: Q_C = 33.62 kvar

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริง P ไม่เปลี่ยน มีเพียงกำลังรีแอกทีฟที่ดึงจากแหล่งจ่ายเท่านั้นที่เปลี่ยน

Q₁ = P·tan φ₁ = 40·tan(49.46°) = 46.77 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 40·tan(18.19°) = 13.15 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 33.62 kvar

คำตอบ

Q_C = 33.62 kvar

7.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

คำตอบ: Q = 10

ตัวประกอบคุณภาพ Q และแบนด์วิดท์: ในวงจรเรโซแนนซ์ Q = 2π·(พลังงานที่สะสม)/(พลังงานที่สูญเสียต่อรอบ) สำหรับ RLC อนุกรม Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C) สำหรับ RLC ขนาน Q = R/(ω₀L) = R√(C/L) แบนด์วิดท์ระหว่างความถี่กำลังครึ่งหนึ่ง f₁ และ f₂ (ที่กำลังเป็นครึ่งหนึ่งและกระแสหรือแรงดันเป็น 1/√2 ของค่ายอด) คือ BW = f₂ − f₁ = f₀/Q ซึ่งเท่ากับ R/(2πL) ในวงจรอนุกรมและ 1/(2πRC) ในวงจรขนาน ความถี่เรโซแนนซ์คือค่าเฉลี่ยเรขาคณิต f₀ = √(f₁f₂) และ f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) การสูญเสียยังทำให้การสั่นลดลงด้วย: ใน RLC อนุกรม แอมพลิจูดลดลงตาม e^−Rt/(2L)

ความถี่เรโซแนนซ์

ω₀ = 1/√(LC) = 2.128 × 10⁶ rad/s

ตัวประกอบคุณภาพ

Q = R/(ω₀L) = 10000/(2.128 × 10⁶·0.00047) = 10

คำตอบ

Q = 10

แบนด์วิดท์คือ 1/(2πRC) = 33.86 kHz

8.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

คำตอบ: n = 3.025

ครึ่งชีวิตของแอมพลิจูด

t = 2·0.00047·ln 2/0.5 = 0.001303 s

จำนวนรอบ

n = t·f₀ = 0.001303·2322 = 3.025

คำตอบ

n = 3.025

ทางลัด: n = Q·ln 2/π โดย Q = 13.71

9.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: I_L = 12.81 A

กำลังไฟฟ้าขาเข้า

P_in = P_out/η = 7.5/0.88 = 8.523 kW

กระแสในสาย

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 8523/(√3·480·0.8) = 12.81 A

คำตอบ

I_L = 12.81 A

10.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: C_ph = 1129 µF

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส V_L = √3·V_ph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส I_L = √3·I_ph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ การปรับปรุงตัวประกอบกำลัง: ตัวเก็บประจุจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂) ตัวเก็บประจุทั้งสามตัวจ่ายตัวละ Q_C/3 = V²·ω·C โดย V คือแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุตัวนั้น: V_L ในชุดแบบ Δ, V_L/√3 ในชุดแบบ Y

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริงไม่เปลี่ยน ตัวประกอบกำลังแต่ละค่าจึงกำหนดกำลังรีแอกทีฟ: Q = P·tan φ

Q₁ = 300·tan(acos 0.7) = 300·1.02 = 306.1 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0.98) = 300·0.2031 = 60.92 kvar

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

Q_C = Q₁ − Q₂ = 245.1 kvar

ความจุต่อเฟส

ในชุดแบบ Δ ตัวเก็บประจุแต่ละตัวต่อระหว่างสองสาย

V = 480 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 81715/(314.2·480²) = 1129 µF

คำตอบ

C_ph = 1129 µF

11.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: i = 0.2707 A

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลา

τ = L/R = 150 mH / 15 Ω = 10 ms

การลดลงของกระแส

i(t) = 2·e^−20/10 = 0.2707 A

คำตอบ

i = 0.2707 A

12.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 80.04 ms

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย

v_C(0) = 15 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 3.3 kΩ · 68 µF = 224.4 ms

v_C(t) = 24 + (15 − 24)·e^−t/τ

แก้สมการหาเวลา

17.7 = 24 + (−9)·e^−t/τ → e^−t/τ = (17.7 − 24)/(15 − 24) = 0.7

t = τ·ln((15 − 24)/(17.7 − 24)) = 224.4·ln(1.429) = 80.04 ms

คำตอบ

t = 80.04 ms

13.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: I_L = 0.03614 A

ทฤษฎีบทของเทวินิน: โครงข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ ทำงานเหมือนแหล่งจ่ายแรงดัน V_th หนึ่งตัวต่ออนุกรมกับความต้านทาน R_th ทฤษฎีบทของนอร์ตัน ให้โครงข่ายเดียวกันในรูปแหล่งจ่ายกระแส I_N = V_th/R_th ต่อขนานกับ R_th

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

แทนแหล่งจ่ายแรงดันด้วยลัดวงจรและแหล่งจ่ายกระแสด้วยวงจรเปิด แล้วมองเข้าไปในวงจรจาก a–b

R₁ ∥ R₂ = 10·2/(10+2) = 1.667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.667 + 6 = 7.667 Ω

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ ไม่มีกระแสไหลผ่าน R₃ จึงไม่มีแรงดันตกคร่อม ดังนั้น V_b = V_A และ R₁ กับ R₂ เป็นตัวแบ่งแรงดัน

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·2/(10+2) = 1 V

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

แหล่งจ่ายเทวินินกับ R_th ที่ต่ออนุกรมกันทำงานเหมือนวงจรเดิมที่ a–b ทุกประการ โหลดจึงเห็นเป็นลูปอนุกรมอย่างง่าย

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 1/(7.667 + 20) = 0.03614 A

14.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: V_th = −27.5 V

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

R₁ ∥ R₂ = 12·12/(12+12) = 6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6 + 8 = 14 Ω

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ เส้นทางเดียวของ Iₛ คือผ่าน R₃ เข้าโหนด A หา V_A ด้วยการซ้อนทับของ V₁ และ Iₛ แล้วบวกแรงดันตกคร่อม R₃

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 7.5 + (−2.5)·6 = −7.5 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −7.5 + (−2.5)·8 = −27.5 V

15.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: |H| = −12.35 dB

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่มุม

ω_c = 1/(RC) = 1/(1000·1 × 10⁻⁸) = 100000 rad/s

f_c = 15915 Hz → f/f_c = 64000/15915 = 4.021

อัตราขยาย

|H| = 1/√(1 + 4.021²) = 0.2413

20·log₁₀(0.2413) = −12.35 dB

คำตอบ

|H| = −12.35 dB

16.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ω₁₈₀ = 8.944 rad/s

จุดตัดเฟส

(ω/8)·(ω/10) = 1 → ω₁₈₀ = √(8·10) = 8.944 rad/s

คำตอบ

ω₁₈₀ = 8.944 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

การวิเคราะห์วงจร 2: วงจรกระแสสลับ: ชุดสรุปเร่งรัด

1สูตรและวิธีทำ

จำนวนเชิงซ้อน

วิธีการ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

วิธีการ

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

วิธีการ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

ทรานเซียนต์ RC และ RL

วิธีการ

เทวินินและนอร์ตัน

วิธีการ

2โจทย์ฝึก

3สารละลาย

สูตรของออยเลอร์

องค์ประกอบ (เรเดียน)

คำตอบ

รูปเชิงขั้ว

เดอมัวฟร์

รูปเชิงสี่เหลี่ยม

คำตอบ

รีแอกแตนซ์

อิมพีแดนซ์

กำลังจริง

คำตอบ

รีแอกแตนซ์

อิมพีแดนซ์

กระแส

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ

คำตอบ

มุม

กำลังรีแอกทีฟ

คำตอบ

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

คำตอบ

ความถี่เรโซแนนซ์

ตัวประกอบคุณภาพ

คำตอบ

ครึ่งชีวิตของแอมพลิจูด

จำนวนรอบ

คำตอบ

กำลังไฟฟ้าขาเข้า

กระแสในสาย

คำตอบ

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

ความจุต่อเฟส

คำตอบ

ค่าคงตัวเวลา

การลดลงของกระแส

คำตอบ

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

แก้สมการหาเวลา

คำตอบ

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

ความถี่มุม

อัตราขยาย

คำตอบ

จุดตัดเฟส

คำตอบ

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด