การวิเคราะห์วงจร 2: วงจรกระแสสลับ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 16 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จำนวนเชิงซ้อน

รูปเชิงสี่เหลี่ยม: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
มอดูลัสและอาร์กิวเมนต์: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
รูปเชิงขั้วและรูปเอกซ์โพเนนเชียล: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
การหาร: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
ผลคูณและผลหาร: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
เดอมัวฟร์: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
รากที่ n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
สมการกำลังสองที่ p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

วิธีการ

เลือกรูปแบบที่เหมาะกับการดำเนินการ: รูปเชิงสี่เหลี่ยม a + jb สำหรับการบวกและลบ รูปเชิงขั้ว r∠θ สำหรับการคูณ หาร เลขยกกำลัง และราก
คูณกระจายด้วย j² = −1; หารโดยคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน
แปลงด้วย r = √(a² + b²) และ θ จากภาพร่างของจุด (ตรวจจตุภาค) และกลับด้วย a = r cos θ, b = r sin θ
สำหรับเลขยกกำลังใช้เดอมัวฟร์ (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; สำหรับ zⁿ = R∠φ ให้เขียนรายการรากทั้ง n ราก R^1/n∠((φ + 360°k)/n)

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

กำลังจริง: P = V·I·cos φ
กำลังรีแอกทีฟ: Q = V·I·sin φ
กำลังปรากฏ: S = V·I = √(P² + Q²)
ตัวประกอบกำลัง: pf = cos φ = P/S
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

ความถี่ธรรมชาติ: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
พลังงาน: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
กระแสยอด: I_max = V₀√(C/L)
ตัวประกอบคุณภาพ: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC อนุกรม: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC ขนาน: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
แบนด์วิดท์: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
ความถี่กำลังครึ่งหนึ่ง: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
แทงก์ที่มีความต้านทานขดลวด r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
การลดลงของแอมพลิจูด: e^−Rt/(2L)

วิธีการ

หาความถี่เรโซแนนซ์ก่อน: ω₀ = 1/√(LC) และ f₀ = ω₀/(2π)
ตัดสินว่าวงจรเป็นอนุกรมหรือขนาน: อนุกรม Q = (1/R)√(L/C) ขนาน Q = R√(C/L)
ใช้ BW = f₀/Q สำหรับแบนด์วิดท์ หรือทางลัด R/(2πL) (อนุกรม) และ 1/(2πRC) (ขนาน)
สำหรับโจทย์พลังงาน ใช้ข้อเท็จจริงว่าพลังงานรวม ½CV₀² คงที่ในวงจร LC ในอุดมคติ และแกว่งระหว่าง C กับ L ทุกหนึ่งในสี่ของคาบ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

การต่อแบบ Y: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
การต่อแบบ Δ: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
กำลังจริงรวม: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
กำลังปรากฏและกำลังรีแอกทีฟ: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุแต่ละตัว: Δ: V_L Y: V_L/√3
กำลังป้อนเข้ามอเตอร์: P_in = P_out/η

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา: τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง: วงจรเปิด v_C กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง: ลัดวงจร i_L กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว: t ≈ 5τ

วิธีการ

หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ

เทวินินและนอร์ตัน

แรงดันเทวินิน: V_th = V_{open circuit}
ความต้านทานเทวินิน: R_th: ปิดแหล่งจ่ายทั้งหมด มองจาก a–b
กระแสนอร์ตัน: I_N = V_th/R_th
กระแสโหลด: I_L = V_th/(R_th + R_L)
การถ่ายโอนกำลังสูงสุด: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

วิธีการ

ถอดโหลดออกและทำเครื่องหมายสองขั้วเป็น a และ b
หาแรงดันวงจรเปิดระหว่าง a และ b: นี่คือ V_th
ปิดแหล่งจ่ายอิสระทั้งหมดแล้วหาความต้านทานที่มองจาก a–b: นี่คือ R_th
ต่อโหลดกลับเข้ากับวงจรสมมูล: V_th อนุกรมกับ R_th
สำหรับวงจรสมมูลนอร์ตัน ให้แปลง: I_N = V_th/R_th โดยมี R_N = R_th ต่อขนาน

2โจทย์ฝึก

1.จำนวนเชิงซ้อนปานกลาง

แผนภาพแสดง z = 2 + j4 เมื่อ w = 2∠180° ให้คลิกจุดที่แทน z·w

z = 2 + j4w = 2∠180°

1A (−2 − j4)
2B (4 + j8)
3C (−1 − j2)
4D (−4 − j8)

2.จำนวนเชิงซ้อนยาก

มีเพียงหนึ่งจุดจาก A–D เท่านั้นที่เป็นรากของ z⁶ = 729∠90° ให้คลิกจุดนั้น

w = 729∠90°n = 6

1A (5.4∠15°)
2B (3∠−15°)
3C (3∠45°)
4D (3∠15°)

3.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 50 V (rms) 500 Hz จงหาตัวประกอบกำลัง cos φ ของวงจร

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 10 µF

cos φ =

4.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 24 V (rms) 500 Hz หาความถี่เรโซแนนซ์ f₀ ของวงจร

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังปานกลาง

โหลดสองตัวต่อขนานกันกับแหล่งจ่ายเฟสเดียว 230 V: โหลด 25 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.7 แบบตามหลัง และ โหลด 9 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.95 แบบนำ จงหาตัวประกอบกำลังรวม cos φ ที่แหล่งจ่ายเห็น

V = 230 VP₁ = 25 kW, pf₁ = 0.7 ล้าหลังP₂ = 9 kW, pf₂ = 0.95 แบบนำ

cos φ =

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังยาก

โหลดเฟสเดียวดึง 5 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.6 แบบตามหลังจากแหล่งจ่าย 240 V 60 Hz ตัวเก็บประจุ 68 µF ต่อขนานกับโหลด หากระแสในสายใหม่ I

P = 5 kWpf₁ = 0.6V = 240 Vf = 60 HzC = 68 µF

I = A

7.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมมี R = 100 Ω, L = 4.7 mH และ C = 220 pF จงหาแบนด์วิดท์ BW ในหน่วย kHz

R = 100 ΩL = 4.7 mHC = 220 pF

BW = kHz

8.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์ยาก

วงจร RLC อนุกรม (R = 10 Ω, L = 10 mH, C = 2.2 nF) ถูกขับที่เรโซแนนซ์ด้วยแอมพลิจูดกระแส 200 mA จงหาพลังงาน E_cycle ที่สูญเสียใน R ในหนึ่งรอบ ในหน่วย µJ

R = 10 ΩL = 10 mHC = 2.2 nFI_m = 200 mA

E_cycle = µJ

9.กำลังไฟฟ้าสามเฟสปานกลาง

โหลดสามเฟสสมดุลดึงกระแสสาย 60 A จากแหล่งจ่ายที่มีแรงดันสาย–สาย 480 V ตัวประกอบกำลังคือ 0.9 ล้าหลัง หากำลังจริงรวม P ที่โหลดใช้ใน kW

V_L = 480 VI_L = 60 Acos φ = 0.9

P = kW

10.กำลังไฟฟ้าสามเฟสยาก

โหลดสามเฟสสมดุลใช้กำลัง 150 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.75 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 415 V (สาย–สาย) 60 Hz ชุดตัวเก็บประจุสามเฟสที่ต่อขนานกับโหลดต้องเพิ่มตัวประกอบกำลังรวมเป็น 0.9 ล้าหลัง กำลังจริงคงเดิม ตัวเก็บประจุต่อแบบ Δ หาความจุ C_ph ของตัวเก็บประจุแต่ละตัวใน µF

P = 150 kWpf₁ = 0.75pf₂ = 0.9V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง

ตัวเหนี่ยวนำมีกระแสคงที่ 0.5 A ที่ t = 0 สวิตช์ปิดวงจรผ่าน R และแหล่งกำเนิดถูกถอดออก กระแสตัวเหนี่ยวนำจึงลดลงผ่าน R ใช้เวลานานเท่าใด t กระแสจึงลดลงเหลือ 0.1 A

i(0) = 0.5 AR = 50 ΩL = 100 mH

t = ms

12.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก

สวิตช์ปิดมานานแล้ว วงจรจึงอยู่ในสถานะคงตัว ที่ t = 0 สวิตช์เปิด หาแรงดัน v_C คร่อมตัวเก็บประจุที่ t = 40 ms

V_s = 30 VR₁ = 2.2 kΩR₂ = 2.2 kΩC = 33 µFt = 40 ms

v_C = V

13.เทวินินและนอร์ตันปานกลาง

หาแรงดันเทวินิน V_th เมื่อมองจากขั้ว a–b

V₁ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 15 Ω

V_th = V

14.เทวินินและนอร์ตันยาก

ต่อโหลด R_L = 6 Ω คร่อม a–b ใช้วงจรสมมูลเทวินินเพื่อหากำลัง P_L ที่จ่ายให้โหลด

V₁ = 9 VI_s = 6 AR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 25 ΩR_L = 6 Ω

P_L = W

15.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

จงหาเฟส ∠G(jω) ของ G(s) = 50(s + 7)/(s(s + 1)) ที่ ω = 10 rad/s เป็นองศา

G(s) = 50(s + 7)/(s(s + 1))ω = 10 rad/s

∠G(jω) = °

16.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 368/(s(s + 5)(s + 8)) จงหาขอบอัตราขยาย GM ใน dB

L(s) = 368/(s(s + 5)(s + 8))

GM = dB

3สารละลาย

1.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: D (−4 − j8)

รูปเชิงขั้ว: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ โดย r = |z| และ θ = arg z กลับเป็นรูปเชิงสี่เหลี่ยม: a = r cos θ, b = r sin θ อาร์กิวเมนต์ต้องคำนึงถึงจตุภาค: θ = atan(b/a) ใช้ได้เฉพาะเมื่อ a > 0; เมื่อ a < 0 ให้บวกหรือลบ 180° ในรูปเชิงขั้ว การคูณง่าย: คูณมอดูลัสและบวกอาร์กิวเมนต์ การหารให้หารมอดูลัสและลบอาร์กิวเมนต์

ผลของ w

|z·w| = 2·|z|, arg(z·w) = arg z + 180°

จุด

z·w = −4 − j8 → D

คำตอบ

D (−4 − j8)

2.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: D (3∠15°)

เดอมัวฟร์และราก: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ สมการ zⁿ = R∠φ มีรากพอดี n ราก ทุกรากมีมอดูลัส R^1/n ที่อาร์กิวเมนต์ (φ + 360°·k)/n สำหรับ k = 0, 1, …, n − 1: รากวางห่างเท่า ๆ กันบนวงกลม ห่างกัน 360°/n สมการกำลังสอง z² + pz + q = 0 ที่ p² < 4q มีรากเชิงซ้อน z = −p/2 ± j√(q − p²/4) พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จริงมีรากเชิงซ้อนเป็นคู่สังยุค a ± jb เสมอ

มอดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของราก

|z| = 3

θ = 15°, 75°, 135°, −165°, −105°, −45°

จุด

D = 3∠15°

คำตอบ

D (3∠15°)

3.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: cos φ = 0.9324

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

X_L = 62.83 Ω, X_C = 31.83 Ω

อิมพีแดนซ์

|Z| = √(80² + (31)²) = 85.8 Ω

ตัวประกอบกำลัง

cos φ = R/|Z| = 80/85.8 = 0.9324

วงจรเป็นเชิงเหนี่ยวนำ ตัวประกอบกำลังจึงเป็นแบบตามหลัง

คำตอบ

cos φ = 0.9324

4.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: f₀ = 35.59 Hz

เรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์เหนี่ยวนำและรีแอกแตนซ์ความจุหักล้างกัน: ωL = 1/(ωC) ความถี่ของแหล่งจ่ายไม่มีผล

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.2·100·10⁻⁶)) = 35.59 Hz

คำตอบ

f₀ = 35.59 Hz

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: cos φ = 0.8334

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

กำลังรีแอกทีฟของแต่ละโหลด

โหลดแบบตามหลังดึงกำลังรีแอกทีฟ (Q > 0) โหลดแบบนำจ่ายกำลังรีแอกทีฟ (Q < 0)

Q₁ = 25·tan(arccos 0.7) = 25.51 kvar

Q₂ = −9·tan(arccos 0.95) = −2.958 kvar

ผลรวม

P = 25 + 9 = 34 kW

Q = 25.51 + (−2.958) = 22.55 kvar

S = √(34² + 22.55²) = 40.8 kVA

ตัวประกอบกำลังรวม

cos φ = P/S = 34/40.8 = 0.8334 ล้าหลัง

คำตอบ

cos φ = 0.8334

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: I = 30.03 A

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริง P ไม่เปลี่ยน มีเพียงกำลังรีแอกทีฟที่ดึงจากแหล่งจ่ายเท่านั้นที่เปลี่ยน

Q₁ = 5·tan(arccos 0.6) = 6.667 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·60·68·10⁻⁶ = 1477 var = 1.477 kvar

Q₂ = 6.667 − 1.477 = 5.19 kvar

กำลังปรากฏใหม่

S₂ = √(5² + 5.19²) = 7.207 kVA

กระแสในสายใหม่

I = S₂/V = 7207/240 = 30.03 A

คำตอบ

I = 30.03 A

7.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

คำตอบ: BW = 3.386 kHz

ตัวประกอบคุณภาพ Q และแบนด์วิดท์: ในวงจรเรโซแนนซ์ Q = 2π·(พลังงานที่สะสม)/(พลังงานที่สูญเสียต่อรอบ) สำหรับ RLC อนุกรม Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C) สำหรับ RLC ขนาน Q = R/(ω₀L) = R√(C/L) แบนด์วิดท์ระหว่างความถี่กำลังครึ่งหนึ่ง f₁ และ f₂ (ที่กำลังเป็นครึ่งหนึ่งและกระแสหรือแรงดันเป็น 1/√2 ของค่ายอด) คือ BW = f₂ − f₁ = f₀/Q ซึ่งเท่ากับ R/(2πL) ในวงจรอนุกรมและ 1/(2πRC) ในวงจรขนาน ความถี่เรโซแนนซ์คือค่าเฉลี่ยเรขาคณิต f₀ = √(f₁f₂) และ f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) การสูญเสียยังทำให้การสั่นลดลงด้วย: ใน RLC อนุกรม แอมพลิจูดลดลงตาม e^−Rt/(2L)

แบนด์วิดท์ในหน่วย rad/s

R/L = 100/0.0047 = 21277 rad/s

แบนด์วิดท์ในหน่วย Hz

BW = 21277/(2π) = 3386 Hz = 3.386 kHz

คำตอบ

BW = 3.386 kHz

เมื่อ f₀ = 156.5 kHz ได้ Q = 46.22

8.เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

คำตอบ: E_cycle = 5.894 µJ

พลังงานที่สะสม

W = ½·0.01·0.2² = 0.0002 J

ตัวประกอบคุณภาพ

Q = (1/10)·√(0.01/2.2 × 10⁻⁹) = 213.2

พลังงานที่สูญเสียต่อรอบ

E_cycle = 2π·W/Q = 2π·0.0002/213.2 = 5.894 × 10⁻⁶ J = 5.894 µJ

ตรวจสอบ: ½·0.2²·10/33932 = 5.894 × 10⁻⁶ J

คำตอบ

E_cycle = 5.894 µJ

9.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: P = 44.89 kW

กำลังปรากฏ

S = √3·V_L·I_L = √3·480·60 = 49.88 kVA

กำลังจริง

P = S·cos φ = 49.88·0.9 = 44.89 kW

คำตอบ

P = 44.89 kW

10.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: C_ph = 306.2 µF

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส V_L = √3·V_ph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส I_L = √3·I_ph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ การปรับปรุงตัวประกอบกำลัง: ตัวเก็บประจุจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂) ตัวเก็บประจุทั้งสามตัวจ่ายตัวละ Q_C/3 = V²·ω·C โดย V คือแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุตัวนั้น: V_L ในชุดแบบ Δ, V_L/√3 ในชุดแบบ Y

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริงไม่เปลี่ยน ตัวประกอบกำลังแต่ละค่าจึงกำหนดกำลังรีแอกทีฟ: Q = P·tan φ

Q₁ = 150·tan(acos 0.75) = 150·0.8819 = 132.3 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0.9) = 150·0.4843 = 72.65 kvar

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

Q_C = Q₁ − Q₂ = 59.64 kvar

ความจุต่อเฟส

ในชุดแบบ Δ ตัวเก็บประจุแต่ละตัวต่อระหว่างสองสาย

V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 19880/(377·415²) = 306.2 µF

คำตอบ

C_ph = 306.2 µF

11.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 3.219 ms

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลา

τ = L/R = 100 mH / 50 Ω = 2 ms

แก้สมการหาเวลา

0.1 = 0.5·e^−t/τ → t = τ·ln(0.5/0.1)

t = 2·ln(5) = 3.219 ms

คำตอบ

t = 3.219 ms

12.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: v_C = 8.646 V

แรงดันเริ่มต้นของตัวเก็บประจุ

ในสถานะคงตัวตัวเก็บประจุเป็นวงจรเปิด ดังนั้น R₁ และ R₂ เป็นวงจรแบ่งแรงดัน แรงดันตัวเก็บประจุกระโดดไม่ได้เมื่อสวิตช์เปิด

v_C(0) = 30·2.2/(2.2 + 2.2) = 15 V

ค่าคงที่เวลาหลังสวิตช์เปิด

τ = R₂·C = 2.2·33 = 72.6 ms

การคายประจุ

v_C(t) = 15·e^−40/72.6 = 8.646 V

คำตอบ

v_C = 8.646 V

13.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: V_th = 5.143 V

ทฤษฎีบทของเทวินิน: โครงข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ ทำงานเหมือนแหล่งจ่ายแรงดัน V_th หนึ่งตัวต่ออนุกรมกับความต้านทาน R_th ทฤษฎีบทของนอร์ตัน ให้โครงข่ายเดียวกันในรูปแหล่งจ่ายกระแส I_N = V_th/R_th ต่อขนานกับ R_th

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

แทนแหล่งจ่ายแรงดันด้วยลัดวงจรและแหล่งจ่ายกระแสด้วยวงจรเปิด แล้วมองเข้าไปในวงจรจาก a–b

R₁ ∥ R₂ = 20·15/(20+15) = 8.571 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8.571 + 15 = 23.57 Ω

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ ไม่มีกระแสไหลผ่าน R₃ จึงไม่มีแรงดันตกคร่อม ดังนั้น V_b = V_A และ R₁ กับ R₂ เป็นตัวแบ่งแรงดัน

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·15/(20+15) = 5.143 V

14.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: P_L = 140.7 W

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

R₁ ∥ R₂ = 8·8/(8+8) = 4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4 + 25 = 29 Ω

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ เส้นทางเดียวของ Iₛ คือผ่าน R₃ เข้าโหนด A หา V_A ด้วยการซ้อนทับของ V₁ และ Iₛ แล้วบวกแรงดันตกคร่อม R₃

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4.5 + (−6)·4 = −19.5 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −19.5 + (−6)·25 = −169.5 V

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

แหล่งจ่ายเทวินินกับ R_th ที่ต่ออนุกรมกันทำงานเหมือนวงจรเดิมที่ a–b ทุกประการ โหลดจึงเห็นเป็นลูปอนุกรมอย่างง่าย

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −169.5/(29 + 6) = −4.843 A

P_L = I_L²·R_L = −4.843²·6 = 140.7 W

15.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ∠G(jω) = −119.3 °

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

บวกมุม

∠G = atan(10/7) − 90° − atan(10/1) = 55.01° − 90° − 84.29°

ผลลัพธ์

∠G(j10) = −119.3°

คำตอบ

∠G(jω) = −119.3°

16.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: GM = 3.003 dB

จุดตัดเฟส

(ω/5)·(ω/8) = 1 → ω₁₈₀ = √(5·8) = 6.325 rad/s

ขนาดที่จุดตัดเฟส

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 25)·√(ω² + 64)) = K/(5·8·(5 + 8)) = K/520

ขอบอัตราขยาย

GM = 20·log₁₀(520/368) = 3.003 dB

คำตอบ

GM = 3.003 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

การวิเคราะห์วงจร 2: วงจรกระแสสลับ: ชุดสรุปเร่งรัด

1สูตรและวิธีทำ

จำนวนเชิงซ้อน

วิธีการ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

วิธีการ

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์

วิธีการ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

ทรานเซียนต์ RC และ RL

วิธีการ

เทวินินและนอร์ตัน

วิธีการ

2โจทย์ฝึก

3สารละลาย

ผลของ w

จุด

คำตอบ

มอดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของราก

จุด

คำตอบ

รีแอกแตนซ์

อิมพีแดนซ์

ตัวประกอบกำลัง

คำตอบ

เรโซแนนซ์

คำตอบ

กำลังรีแอกทีฟของแต่ละโหลด

ผลรวม

ตัวประกอบกำลังรวม

คำตอบ

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังปรากฏใหม่

กระแสในสายใหม่

คำตอบ

แบนด์วิดท์ในหน่วย rad/s

แบนด์วิดท์ในหน่วย Hz

คำตอบ

พลังงานที่สะสม

ตัวประกอบคุณภาพ

พลังงานที่สูญเสียต่อรอบ

คำตอบ

กำลังปรากฏ

กำลังจริง

คำตอบ

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

ความจุต่อเฟส

คำตอบ

ค่าคงตัวเวลา

แก้สมการหาเวลา

คำตอบ

แรงดันเริ่มต้นของตัวเก็บประจุ

ค่าคงที่เวลาหลังสวิตช์เปิด

การคายประจุ

คำตอบ

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

บวกมุม

ผลลัพธ์

คำตอบ

จุดตัดเฟส

ขนาดที่จุดตัดเฟส

ขอบอัตราขยาย

คำตอบ

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด