ระบบเลข
- ค่าประจำตำแหน่ง
- ฐานสอง 2k, ฐานแปด 8k, ฐานสิบหก 16k
- เป็นเลขฐานสิบ
- Σ dk·bk
- จากเลขฐานสิบ
- หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
- ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง
- เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
- two’s complement
- กลับบิตแล้วบวก 1
พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
- แถวของตารางค่าความจริง
- 2ⁿ
- นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- นิเสธของนัย
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- เงื่อนไขสองทาง
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- กฎของเดอมอร์แกน
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- กฎการแจกแจง
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
วิธีการ
- นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
- ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
- ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
- สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
- การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน
ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
- เกตพื้นฐาน
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- กฎของพีชคณิตแบบบูล
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- กฎของเดอมอร์แกน
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- ลำดับของแผนที่คาร์โนห์
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์
- สูญเสีย k ตัวแปร
- มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- ฟลิปฟล็อป
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- ตัวนับ
- n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
- ตัวนับริปเปิล
- fmax = 1/(n·tpd)
- ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน
- n และ 2n สถานะ
วิธีการ
- สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
- สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
- ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
- สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ
ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
- การหารที่มีเศษ
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- ยูคลิด
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- ตัวคูณร่วมน้อย
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- อินเวอร์ส
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- ความสอดคล้องเชิงเส้น
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- แฟร์มา
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
วิธีการ
- ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
- สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
- สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
- แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
- สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)
ทฤษฎีกราฟ
- เล็มมาการจับมือ
- Σ deg(v) = 2|E|
- กราฟบริบูรณ์
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- กราฟปรกติ
- |E| = n·k/2
- ต้นไม้และป่า
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- ใบของต้นไม้
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- ออยเลอร์
- วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
- วงจรแฮมิลตันใน Kn
- (n − 1)!/2
- การปรับค่าของไดก์สตรา
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- วอล์กความยาว L
- (Mᴸ)ij
วิธีการ
- เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
- สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
- สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
- สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
- สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)
การแบ่งซับเน็ต IPv4
- โฮสต์ต่อซับเน็ต
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- ขนาดบล็อก
- 256 − (mask octet)
- ที่อยู่เครือข่าย
- IP AND มาสก์
- ที่อยู่บรอดคาสต์
- IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
- ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม
- 2n
2โจทย์ฝึก
1.ระบบเลขปานกลาง
รูปแบบ 8 บิต 0000 0111 เก็บจำนวนเต็มมีเครื่องหมายแบบ two's complement ค่าของมัน N ในเลขฐานสิบคือเท่าใด
0000 01118 bit
N =
2.ระบบเลขยาก
ตั้งบิตให้เป็นผลลัพธ์ 8 บิตของ 0111 1101 AND 1010 1010 ค่าของผลลัพธ์ R เป็นเท่าใดในเลขฐานสิบ
0111 1101AND1010 1010
R =
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง
ในตารางค่าความจริง 8 แถวของ (a ↔ b) ∧ (c ∧ (a ∨ ¬c)) มีกี่แถวที่เป็นจริง เรียกจำนวนนี้ว่า N
(a ↔ b) ∧ (c ∧ (a ∨ ¬c))
N =
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก
ประโยคใดสมมูลกับ ¬∀x (A(x) ∨ B(x)) เมื่อย้ายนิเสธเข้าด้านในสุด ให้คลิกประโยคนั้น
¬∀x (A(x) ∨ B(x))
- 1∀x (¬A(x) ∧ ¬B(x))
- 2∃x (¬A(x) ∨ ¬B(x))
- 3∀x (¬A(x) ∨ ¬B(x))
- 4∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง
จงทำ F = A′BC′ + AB′C′ + A′B′C′ ให้เป็นรูปผลบวกของผลคูณที่น้อยที่สุด นิพจน์ที่ทำให้ง่ายแล้วมีกี่ลิเทอรัล L
F = A′BC′ + AB′C′ + A′B′C′
L =
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก
สำหรับ F(A, B, C, D) = Σm(5, 7, 8, 10, 12, 15) + d(1, 2, 14) โดย d แทนเงื่อนไขไม่สนใจ จงหาจำนวน N ของไพรม์อิมพลิแคนต์จำเป็น
F(A, B, C, D) = Σm(5, 7, 8, 10, 12, 15) + d(1, 2, 14)
N =
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง
จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด x ที่ x ≡ 2 (mod 3) และ x ≡ 10 (mod 13)
x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 10 (mod 13)
x =
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก
ใช้การยกกำลังสองซ้ำเพื่อหา 1487 mod 17
a = 14k = 87n = 17
1487 mod 17 =
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง
การค้นหาแบบทวิภาคต้องเปรียบเทียบประมาณกี่ครั้งในกรณีเลวร้ายที่สุดบนอาร์เรย์ที่เรียงแล้วซึ่งมี 1,000,000 สมาชิก
- Aประมาณ 100
- Bประมาณ 20
- Cประมาณ 500,000
- Dประมาณ 1,000
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก
22n อยู่ใน O(2ⁿ) หรือไม่
- Aใช่ เพราะตัวคูณคงที่ในเลขชี้กำลังถูกละไว้เสมอใน Big O
- Bไม่ เพราะ 22n เติบโตช้ากว่า 2ⁿ
- Cไม่ เพราะ 22n = 4ⁿ และ 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ เติบโตไม่มีขอบเขต
- Dใช่ เพราะทั้งสองเป็นเอกซ์โพเนนเชียล
11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง
ต้นไม้ AVL และต้นไม้แดง–ดำ (red-black) รับประกัน
- Aความสูง O(log n) ผ่านการปรับสมดุลใหม่
- Bการค้นหาในเวลาคงที่ทุกกรณี
- Cไม่มีโหนดใดมีลูกสองตัว
- Dคีย์ถูกเก็บตามลำดับการแทรก
12.โครงสร้างข้อมูลยาก
กฎของต้นไม้แดง–ดำรับประกันอะไรเกี่ยวกับความสูงของต้นไม้ที่มี n คีย์
- Aความสูงเท่ากับ log2 n พอดี
- Bความสูงไม่เกิน 2 log2(n + 1)
- Cความสูงไม่เกิน n / 2
- Dความสูงไม่เกิน log2 n + 1
13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
กราฟเชื่อมโยงมี 19 จุดยอดและ 25 เส้นเชื่อม ต้องเอาเส้นเชื่อมออกกี่เส้น k เพื่อให้เหลือต้นไม้ทอดข้าม
|V| = 19|E| = 25
k =
14.ทฤษฎีกราฟยาก
ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก
เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =
15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง
การพึ่งพาเชิงฟังก์ชัน A → B หมายความว่าอย่างไร?
- AA เป็นคีย์นอกที่อ้างอิง B
- Bแต่ละค่าของ A สัมพันธ์กับค่าของ B เพียงค่าเดียว
- CA และ B เป็นคีย์หลักทั้งคู่
- Dแต่ละค่าของ B สัมพันธ์กับค่าของ A เพียงค่าเดียว
16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก
รูปแบบบรรทัดฐานบอยซ์–คอดด์ (BCNF) กำหนดว่าสำหรับทุกการพึ่งพาเชิงฟังก์ชันที่ไม่ธรรมดา X → Y:
- AY เป็นอะตอมมิก
- BX มี NULL
- CY เป็นคีย์หลัก
- DX เป็นซูเปอร์คีย์
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง
ที่อยู่เครือข่ายของโฮสต์ 192.168.10.77/26 คืออะไร?
- A192.168.10.128
- B192.168.10.76
- C192.168.10.64
- D192.168.10.0
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก
BGP ทำหน้าที่หลักอะไรบนอินเทอร์เน็ต?
- Aแลกเปลี่ยนข้อมูลการกำหนดเส้นทางระหว่างระบบอิสระ (autonomous system)
- Bแปลงชื่อเป็นที่อยู่
- Cเข้ารหัสข้อมูลระหว่างเราเตอร์
- Dกำหนดที่อยู่ IP ให้ผู้ใช้ตามบ้านผ่านผู้ให้บริการอินเทอร์เน็ตของตน
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง
เครือข่าย 192.168.10.0/24 ต้องแบ่งเป็นซับเน็ตขนาดเท่ากันอย่างน้อย 4 ซับเน็ต หากยืมบิตให้น้อยที่สุด แต่ละซับเน็ตมีโฮสต์ที่ใช้ได้กี่เครื่อง H
192.168.10.0/244 subnets
H =
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก
โฮสต์มีที่อยู่ 10.20.81.192/29 ตัวเลขสุดท้าย (ออคเต็ตที่สี่) x ของที่อยู่บรอดคาสต์ของซับเน็ตคือเท่าใด
10.20.81.192/29
x =
3สารละลาย
1.ระบบเลข
คำตอบ: N = 7
ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ
บวกค่าประจำตำแหน่ง
บิตอื่นยังคงมีค่าเป็นบวกตามปกติ
4 + 2 + 1 = 7
คำตอบ
N = 7
2.ระบบเลข
คำตอบ: R = 40
การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน
ทีละบิต
AND ให้ 1 เฉพาะที่ทั้งสองบิตเป็น 1
0111 1101
AND 1010 1010
= 0010 1000
ค่าของผลลัพธ์
0010 1000₂ = 40
คำตอบ
R = 40
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
คำตอบ: N = 1
ตารางค่าความจริง: สูตรที่มีตัวแปรต่างกัน n ตัวมี 2ⁿ แถว หนึ่งแถวต่อทุกชุดของค่าความจริง (1 = จริง, 0 = เท็จ) ทำจากด้านในออกมาและให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง ¬a กลับค่า a ∧ b เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1 a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 a ↔ b เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างเท่ากัน
ตารางค่าความจริงทีละแถว
a = 1, b = 1, c = 1: a ↔ b = 1, ¬c = 0, a ∨ ¬c = 1, c ∧ (a ∨ ¬c) = 1, (a ↔ b) ∧ (c ∧ (a ∨ ¬c)) = 1
a = 1, b = 1, c = 0: a ↔ b = 1, ¬c = 1, a ∨ ¬c = 1, c ∧ (a ∨ ¬c) = 0, (a ↔ b) ∧ (c ∧ (a ∨ ¬c)) = 0
a = 1, b = 0, c = 1: a ↔ b = 0, ¬c = 0, a ∨ ¬c = 1, c ∧ (a ∨ ¬c) = 1, (a ↔ b) ∧ (c ∧ (a ∨ ¬c)) = 0
a = 1, b = 0, c = 0: a ↔ b = 0, ¬c = 1, a ∨ ¬c = 1, c ∧ (a ∨ ¬c) = 0, (a ↔ b) ∧ (c ∧ (a ∨ ¬c)) = 0
a = 0, b = 1, c = 1: a ↔ b = 0, ¬c = 0, a ∨ ¬c = 0, c ∧ (a ∨ ¬c) = 0, (a ↔ b) ∧ (c ∧ (a ∨ ¬c)) = 0
a = 0, b = 1, c = 0: a ↔ b = 0, ¬c = 1, a ∨ ¬c = 1, c ∧ (a ∨ ¬c) = 0, (a ↔ b) ∧ (c ∧ (a ∨ ¬c)) = 0
a = 0, b = 0, c = 1: a ↔ b = 1, ¬c = 0, a ∨ ¬c = 0, c ∧ (a ∨ ¬c) = 0, (a ↔ b) ∧ (c ∧ (a ∨ ¬c)) = 0
a = 0, b = 0, c = 0: a ↔ b = 1, ¬c = 1, a ∨ ¬c = 1, c ∧ (a ∨ ¬c) = 0, (a ↔ b) ∧ (c ∧ (a ∨ ¬c)) = 0
นับแถวที่มีค่าเป็น 1
(a ↔ b) ∧ (c ∧ (a ∨ ¬c)): 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
N = 1
คำตอบ
N = 1
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
คำตอบ: ∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))
ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล
ย้ายนิเสธเข้าด้านใน
¬∀x (A(x) ∨ B(x)) ≡ ∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))
คำตอบ
∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))
ตัวเลือกอื่นอาจคงตัวบ่งปริมาณไว้ไม่เปลี่ยน เปลี่ยนลำดับของตัวบ่งปริมาณ หรือใส่นิเสธให้สูตรด้านในผิด
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
คำตอบ: L = 4
พีชคณิตแบบบูล: กฎที่ทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นได้แก่ X + X′ = 1 และ X·X′ = 0, X + X = X, การดูดกลืน X + X·Y = X, กฎการรวม X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y และทฤษฎีบทฉันทามติ XY + X′Z + YZ = XY + X′Z กฎของเดอมอร์แกนเปลี่ยน (X·Y)′ เป็น X′ + Y′ และ (X + Y)′ เป็น X′·Y′ แผนที่คาร์โนห์ใช้กฎเหล่านี้ในรูปภาพ: ทุกกลุ่มของสองเซลล์ที่อยู่ติดกันคือการใช้ XY + XY′ = X หนึ่งครั้ง
มินเทอมของนิพจน์
A′BC′ → m(2)
AB′C′ → m(4)
A′B′C′ → m(0)
จัดกลุ่มและอ่านค่า
F = B′C′ + A′C′
นับลิเทอรัล
L = 4
คำตอบ
L = 4
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
คำตอบ: N = 1
แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด
ไพรม์อิมพลิแคนต์
กลุ่มที่ใหญ่ที่สุดที่สร้างได้จาก 1 และ X
B′CD′, BCD, AD′, A′C′D, A′BD, ABC
ไพรม์อิมพลิแคนต์จำเป็น
AD′
N = 1
คำตอบ
N = 1
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
คำตอบ: x = 23
ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)
ความสอดคล้องข้อแรก
x = 2 + 3k
ความสอดคล้องข้อที่สอง
2 + 3k ≡ 10 (mod 13) → 3k ≡ 8 (mod 13)
k ≡ 9·8 ≡ 7 (mod 13)
ผลลัพธ์
x = 2 + 3·7 = 23
x = 23
ตรวจสอบ: 23 mod 3 = 2, 23 mod 13 = 10
คำตอบ
x = 23
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
คำตอบ: 1487 mod 17 = 6
เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n
เลขชี้กำลังฐานสอง
87 = 10101112 = 64 + 16 + 4 + 2 + 1
การยกกำลังสองซ้ำ
141 ≡ 14 (mod 17)
142 ≡ 9 (mod 17)
144 ≡ 13 (mod 17)
148 ≡ 16 (mod 17)
1416 ≡ 1 (mod 17)
1432 ≡ 1 (mod 17)
1464 ≡ 1 (mod 17)
คูณเลขยกกำลังที่ต้องใช้
1487 ≡ 14·9·13·1·1 ≡ 6 (mod 17)
คำตอบ
1487 mod 17 = 6
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อน
คำตอบ: B · ประมาณ 20
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
220 ≈ 1,048,576 ดังนั้นหลังแบ่งครึ่งประมาณ 20 ครั้งจะเหลือสมาชิกเพียงตัวเดียว
คำตอบ
B · ประมาณ 20
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อน
คำตอบ: C · ไม่ เพราะ 22n = 4ⁿ และ 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ เติบโตไม่มีขอบเขต
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
ค่าคงที่ที่บวกเข้ากับเลขชี้กำลังให้ตัวคูณคงที่ แต่ค่าคงที่ที่คูณเลขชี้กำลังเปลี่ยนฐานและอัตราการเติบโต
คำตอบ
C · ไม่ เพราะ 22n = 4ⁿ และ 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ เติบโตไม่มีขอบเขต
11.โครงสร้างข้อมูล
คำตอบ: A · ความสูง O(log n) ผ่านการปรับสมดุลใหม่
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
ต้นไม้ปรับสมดุลตัวเองรักษาความสูงเป็นลอการิทึม การค้นหา แทรก และลบจึงเป็น O(log n) ในกรณีเลวร้ายที่สุด
คำตอบ
A · ความสูง O(log n) ผ่านการปรับสมดุลใหม่
12.โครงสร้างข้อมูล
คำตอบ: B · ความสูงไม่เกิน 2 log2(n + 1)
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
ทุกเส้นทางมีจำนวนโหนดดำเท่ากัน และโหนดแดงติดกันไม่ได้ เส้นทางที่ยาวที่สุดจึงไม่เกินสองเท่าของที่สั้นที่สุด ได้ความสูง O(log n)
คำตอบ
B · ความสูงไม่เกิน 2 log2(n + 1)
13.ทฤษฎีกราฟ
คำตอบ: k = 7
ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น
เส้นเชื่อมของต้นไม้ทอดข้าม
19 − 1 = 18
เส้นเชื่อมที่ต้องเอาออก
k = 25 − 18 = 7
คำตอบ
k = 7
14.ทฤษฎีกราฟ
คำตอบ: d(F) = 20
เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม
ไดก์สตราทีละรอบ
แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น
A (0): B: 3, C: 15
B (3): D: 13, G: 17
D (13): E: 26, F: 20
C (15)
G (17)
F (20): E: 23
E (23)
เส้นทางที่สั้นที่สุด
A → B → D → F
d(F) = 20
คำตอบ
d(F) = 20
15.ฐานข้อมูลและ SQL
คำตอบ: B · แต่ละค่าของ A สัมพันธ์กับค่าของ B เพียงค่าเดียว
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
A → B หมายความว่าสองแถวใดที่มีค่า A เหมือนกันต้องมีค่า B เหมือนกัน A กำหนดค่า B
คำตอบ
B · แต่ละค่าของ A สัมพันธ์กับค่าของ B เพียงค่าเดียว
16.ฐานข้อมูลและ SQL
คำตอบ: D · X เป็นซูเปอร์คีย์
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
BCNF กำหนดให้ทุก determinant เป็นคีย์ผู้สมัคร (ซูเปอร์คีย์) ส่วน 3NF ยอมให้มีข้อยกเว้นเมื่อ Y เป็นส่วนหนึ่งของคีย์ผู้สมัคร
คำตอบ
D · X เป็นซูเปอร์คีย์
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์
คำตอบ: C · 192.168.10.64
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
ซับเน็ต /26 เริ่มที่ 0, 64, 128 และ 192 ค่า 77 อยู่ในบล็อก 64–127 ที่อยู่เครือข่ายจึงเป็น 192.168.10.64
คำตอบ
C · 192.168.10.64
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์
คำตอบ: A · แลกเปลี่ยนข้อมูลการกำหนดเส้นทางระหว่างระบบอิสระ (autonomous system)
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
BGP เป็นโพรโทคอลเลือกเส้นทางระหว่างโดเมน ระบบอิสระประกาศพรีฟิกซ์ที่เข้าถึงได้และเลือกเส้นทางตามนโยบาย
คำตอบ
A · แลกเปลี่ยนข้อมูลการกำหนดเส้นทางระหว่างระบบอิสระ (autonomous system)
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4
คำตอบ: H = 62
การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)
บิตที่ต้องยืม
22 = 4 ≥ 4 → b = 2, /26
โฮสต์ต่อซับเน็ต
26 − 2 = 62
คำตอบ
H = 62
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4
คำตอบ: x = 199
การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)
ขนาดบล็อก
23 = 8
ซับเน็ตของโฮสต์นี้
เครือข่าย: ⌊192/8⌋·8 = 192
บรอดคาสต์: 192 + 8 − 1 = 199
โฮสต์ที่ใช้ได้: 193 … 198
คำตอบ
x = 199
ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals