ระบบเลข
- ค่าประจำตำแหน่ง
- ฐานสอง 2k, ฐานแปด 8k, ฐานสิบหก 16k
- เป็นเลขฐานสิบ
- Σ dk·bk
- จากเลขฐานสิบ
- หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
- ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง
- เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
- two’s complement
- กลับบิตแล้วบวก 1
พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
- แถวของตารางค่าความจริง
- 2ⁿ
- นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- นิเสธของนัย
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- เงื่อนไขสองทาง
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- กฎของเดอมอร์แกน
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- กฎการแจกแจง
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
วิธีการ
- นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
- ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
- ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
- สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
- การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน
ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
- เกตพื้นฐาน
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- กฎของพีชคณิตแบบบูล
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- กฎของเดอมอร์แกน
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- ลำดับของแผนที่คาร์โนห์
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์
- สูญเสีย k ตัวแปร
- มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- ฟลิปฟล็อป
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- ตัวนับ
- n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
- ตัวนับริปเปิล
- fmax = 1/(n·tpd)
- ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน
- n และ 2n สถานะ
วิธีการ
- สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
- สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
- ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
- สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ
ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
- การหารที่มีเศษ
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- ยูคลิด
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- ตัวคูณร่วมน้อย
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- อินเวอร์ส
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- ความสอดคล้องเชิงเส้น
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- แฟร์มา
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
วิธีการ
- ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
- สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
- สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
- แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
- สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)
ทฤษฎีกราฟ
- เล็มมาการจับมือ
- Σ deg(v) = 2|E|
- กราฟบริบูรณ์
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- กราฟปรกติ
- |E| = n·k/2
- ต้นไม้และป่า
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- ใบของต้นไม้
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- ออยเลอร์
- วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
- วงจรแฮมิลตันใน Kn
- (n − 1)!/2
- การปรับค่าของไดก์สตรา
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- วอล์กความยาว L
- (Mᴸ)ij
วิธีการ
- เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
- สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
- สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
- สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
- สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)
การแบ่งซับเน็ต IPv4
- โฮสต์ต่อซับเน็ต
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- ขนาดบล็อก
- 256 − (mask octet)
- ที่อยู่เครือข่าย
- IP AND มาสก์
- ที่อยู่บรอดคาสต์
- IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
- ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม
- 2n
2โจทย์ฝึก
1.ระบบเลขปานกลาง
ตั้งบิตให้เก็บ −46 ใน two's complement 8 บิต อ่านเป็นจำนวนไม่มีเครื่องหมาย ค่าของรูปแบบ U เป็นเท่าใด
N = −468 bit
U =
2.ระบบเลขยาก
ตั้งบิตให้เป็นผลลัพธ์ 8 บิตของ 1001 1101 OR 1011 0011 ค่าของผลลัพธ์ R เป็นเท่าใดในเลขฐานสิบ
1001 1101OR1011 0011
R =
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง
ในตารางค่าความจริง 8 แถวของ (p ∧ r) ∧ (r ∨ q) มีกี่แถวที่เป็นจริง เรียกจำนวนนี้ว่า N
(p ∧ r) ∧ (r ∨ q)
N =
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก
ประโยคใดสมมูลกับ ¬∃x A(x) เมื่อย้ายนิเสธเข้าด้านในสุด ให้คลิกประโยคนั้น
¬∃x A(x)
- 1∃x ¬A(x)
- 2∀x ¬A(x)
- 3∃x A(x)
- 4∀x A(x)
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1 มีอินพุตเลือก S₁ = A และ S₀ = B และอินพุตข้อมูลต่อเข้ากับ I₀ = 0, I₁ = 0, I₂ = C, I₃ = C′ จาก 8 ชุดของ A, B และ C มีกี่ชุดที่เอาต์พุต F = 1 จงหา N
I₀ = 0I₁ = 0I₂ = CI₃ = C′
N =
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก
จงหารูป SOP ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 9, 12, 13) + d(5, 14, 15) โดย d แทนเงื่อนไขไม่สนใจ มีกี่ลิเทอรัล L
F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 9, 12, 13) + d(5, 14, 15)
L =
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง
จงหาตัวผกผันของ 14 มอดูโล 41: จำนวน x ที่ 0 < x < 41 และ 14·x ≡ 1 (mod 41)
a = 14n = 41
14−1 mod 41 =
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก
เข้ารหัสข้อความ m = 32 ด้วยกุญแจสาธารณะ RSA (n, e) = (91, 23) จงหาข้อความเข้ารหัส c
n = 91e = 23m = 32
c =
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง
ความซับซ้อนเชิงเวลาของฟีโบนักชีแบบเรียกซ้ำตรง ๆ (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) คือ
- Aเชิงเส้น
- Bเอกซ์โพเนนเชียล
- Cคงที่
- Dลอการิทึม
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก
Insertion sort ทำงานใน O(n) บนอินพุตที่เรียงแล้ว สิ่งนี้ขัดกับขอบเขตล่าง Ω(n log n) ของการเรียงแบบเปรียบเทียบหรือไม่
- Aขัด ดังนั้นขอบเขตล่างจึงผิด
- Bขัด แต่เฉพาะอาร์เรย์ที่สั้นกว่า 100
- Cไม่ขัด ขอบเขตล่างใช้กับกรณีเลวร้ายที่สุดเหนือทุกอินพุต ไม่ใช่ทุกอินพุต
- Dไม่ขัด เพราะ insertion sort ไม่ใช่การเรียงแบบเปรียบเทียบ
11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง
โปรแกรมที่ทำงานอยู่ใช้โครงสร้างข้อมูลใดติดตามการเรียกฟังก์ชันที่กำลังทำงานและตัวแปรท้องถิ่น
- Aตารางแฮชของฟังก์ชัน
- Bคิวหน่วยความจำฮีป
- Cbinary search tree ของเฟรม
- Dสแตกการเรียก (call stack)
12.โครงสร้างข้อมูลยาก
ตรวจว่าลิงก์ลิสต์เชิงเดี่ยวมีวงจรหรือไม่โดยใช้หน่วยความจำเพิ่ม O(1) ได้อย่างไร
- Aเรียงลิสต์และหาตัวซ้ำ
- Bเก็บทุกโหนดที่เยี่ยมในเซตแฮช
- Cเลื่อนตัวชี้หนึ่งทีละหนึ่งก้าวและอีกตัวสองก้าว แล้วตรวจว่าพบกันหรือไม่
- Dนับโหนดจนเกินกว่าฟิลด์ความยาวของลิสต์
13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
กราฟบริบูรณ์ K4 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน
K4
H =
14.ทฤษฎีกราฟยาก
ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้คลิกเส้นเชื่อมที่เพิ่มเป็นเส้นหมายเลข 6 เส้นที่ถูกข้ามไม่นับ
k = 6
- 1เส้นเชื่อม AB
- 2เส้นเชื่อม AC
- 3เส้นเชื่อม BC
- 4เส้นเชื่อม BD
- 5เส้นเชื่อม CE
- 6เส้นเชื่อม DE
- 7เส้นเชื่อม DF
- 8เส้นเชื่อม EF
- 9เส้นเชื่อม GC
- 10เส้นเชื่อม GE
15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง
SELECT SUM(amount) FROM orders คืนอะไรเมื่อ WHERE ไม่ตรงกับแถวใดเลย?
- Aสตริงว่าง
- Bข้อผิดพลาด
- C0
- DNULL
16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก
การแยก R เป็น R1 และ R2 รับประกันว่าไม่สูญเสียเมื่อใด?
- Aเมื่อแอตทริบิวต์ร่วมของ R1 และ R2 เป็นซูเปอร์คีย์ของ R1 หรือของ R2
- Bเมื่อทุกแอตทริบิวต์ของ R ปรากฏในทั้ง R1 และ R2
- Cเมื่อ R1 และ R2 มีจำนวนคอลัมน์เท่ากัน
- Dเมื่อ R1 และ R2 ไม่มีแอตทริบิวต์ร่วมกัน
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง
RIP ใช้เมตริกใดเลือกเส้นทาง?
- Aความล่าช้าที่วัดได้
- Bแบนด์วิดท์ของลิงก์
- Cจำนวนฮอป (hop count)
- Dนโยบายทางธุรกิจ
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก
ประโยชน์หลักของการเชื่อมต่อถาวร (keep-alive) ใน HTTP/1.1 คืออะไร?
- Aการเชื่อมต่อยังคงเข้ารหัสได้โดยไม่ต้องมี TLS
- Bหลายคำขอใช้การเชื่อมต่อ TCP เดียวซ้ำ หลีกเลี่ยงการแฮนด์เชกซ้ำ ๆ
- Cการตอบกลับมาถึงในลำดับใดก็ได้บนสตรีมเดียว การตอบกลับที่ช้าจึงไม่บล็อกรายอื่น
- Dเซิร์ฟเวอร์ผลักการอัปเดตผ่าน UDP ได้
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง
เครือข่าย 192.168.10.0/24 ต้องแบ่งเป็นซับเน็ตขนาดเท่ากันอย่างน้อย 8 ซับเน็ต หากยืมบิตให้น้อยที่สุด แต่ละซับเน็ตมีโฮสต์ที่ใช้ได้กี่เครื่อง H
192.168.10.0/248 subnets
H =
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก
โฮสต์มีที่อยู่ 10.20.24.13/29 ตัวเลขสุดท้าย (ออคเต็ตที่สี่) x ของที่อยู่บรอดคาสต์ของซับเน็ตคือเท่าใด
10.20.24.13/29
x =
3สารละลาย
1.ระบบเลข
คำตอบ: U = 210
การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน
กลับบิตแล้วบวกหนึ่ง
46 = 0010 1110
ที่กลับบิตแล้ว: 1101 0001
+1 → 1101 0010
อ่านเป็นแบบไม่มีเครื่องหมาย
1101 0010₂ = 256 − 46 = 210
คำตอบ
U = 210
2.ระบบเลข
คำตอบ: R = 191
การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน
ทีละบิต
OR ให้ 1 เมื่ออย่างน้อยหนึ่งบิตเป็น 1
1001 1101
OR 1011 0011
= 1011 1111
ค่าของผลลัพธ์
1011 1111₂ = 191
คำตอบ
R = 191
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
คำตอบ: N = 2
ตารางค่าความจริง: สูตรที่มีตัวแปรต่างกัน n ตัวมี 2ⁿ แถว หนึ่งแถวต่อทุกชุดของค่าความจริง (1 = จริง, 0 = เท็จ) ทำจากด้านในออกมาและให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง ¬a กลับค่า a ∧ b เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1 a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 a ↔ b เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างเท่ากัน
ตารางค่าความจริงทีละแถว
p = 1, q = 1, r = 1: p ∧ r = 1, r ∨ q = 1, (p ∧ r) ∧ (r ∨ q) = 1
p = 1, q = 1, r = 0: p ∧ r = 0, r ∨ q = 1, (p ∧ r) ∧ (r ∨ q) = 0
p = 1, q = 0, r = 1: p ∧ r = 1, r ∨ q = 1, (p ∧ r) ∧ (r ∨ q) = 1
p = 1, q = 0, r = 0: p ∧ r = 0, r ∨ q = 0, (p ∧ r) ∧ (r ∨ q) = 0
p = 0, q = 1, r = 1: p ∧ r = 0, r ∨ q = 1, (p ∧ r) ∧ (r ∨ q) = 0
p = 0, q = 1, r = 0: p ∧ r = 0, r ∨ q = 1, (p ∧ r) ∧ (r ∨ q) = 0
p = 0, q = 0, r = 1: p ∧ r = 0, r ∨ q = 1, (p ∧ r) ∧ (r ∨ q) = 0
p = 0, q = 0, r = 0: p ∧ r = 0, r ∨ q = 0, (p ∧ r) ∧ (r ∨ q) = 0
นับแถวที่มีค่าเป็น 1
(p ∧ r) ∧ (r ∨ q): 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0
N = 2
คำตอบ
N = 2
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
คำตอบ: ∀x ¬A(x)
ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล
ย้ายนิเสธเข้าด้านใน
¬∃x A(x) ≡ ∀x ¬A(x)
คำตอบ
∀x ¬A(x)
ตัวเลือกอื่นอาจคงตัวบ่งปริมาณไว้ไม่เปลี่ยน เปลี่ยนลำดับของตัวบ่งปริมาณ หรือใส่นิเสธให้สูตรด้านในผิด
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
คำตอบ: N = 2
มัลติเพล็กเซอร์: มัลติเพล็กเซอร์ 2ⁿ ต่อ 1 ส่งอินพุตข้อมูลหนึ่งตัวไปยังเอาต์พุต สายเลือก (select) เมื่ออ่านเป็นเลขฐานสองจะเลือกว่าตัวใด สำหรับ MUX 4 ต่อ 1 ที่สายเลือก S₁S₀ = AB จะได้ F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃ การต่ออินพุตข้อมูลเข้ากับ 0, 1, C หรือ C′ ทำให้ MUX สร้างฟังก์ชันใดก็ได้ของ A, B และ C ซึ่งเป็นวิธีที่พบบ่อยในการสร้างตรรกะด้วยชิปตัวเดียว
นิพจน์เอาต์พุต
F = AB′C + ABC′
แถวที่ F = 1
ABC = 101, 110
N = 2
คำตอบ
N = 2
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
คำตอบ: L = 6
แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด
ไพรม์อิมพลิแคนต์
กลุ่มที่ใหญ่ที่สุดที่สร้างได้จาก 1 และ X
C′D, A′B′, AB
การครอบคลุมที่น้อยที่สุด
F = C′D + A′B′ + AB
L = 6
คำตอบ
L = 6
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
คำตอบ: 14−1 mod 41 = 3
ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)
ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยาย
เศษ r แต่ละตัวเขียนเป็น r ≡ t·14 (mod 41)
r = 41, t = 0
r = 14, q = 2, t = 1
r = 13, q = 1, t = −2
r = 1, q = 13, t = 3
อินเวอร์ส
1 ≡ 3·14 (mod 41)
x = 3
ตรวจสอบ: 14·3 = 42 = 1·41 + 1
คำตอบ
14−1 mod 41 = 3
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
คำตอบ: c = 37
เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n
การยกกำลังสองซ้ำ
23 = 16 + 4 + 2 + 1
321 ≡ 32 (mod 91)
322 ≡ 23 (mod 91)
324 ≡ 74 (mod 91)
328 ≡ 16 (mod 91)
3216 ≡ 74 (mod 91)
3223 ≡ 32·23·74·74 ≡ 37 (mod 91)
ข้อความเข้ารหัส
c = 37
คำตอบ
c = 37
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อน
คำตอบ: B · เอกซ์โพเนนเชียล
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
ต้นไม้การเรียกเติบโตประมาณ φⁿ (ราว 1.618ⁿ) การทำ memoisation ลดเหลือ O(n)
คำตอบ
B · เอกซ์โพเนนเชียล
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อน
คำตอบ: C · ไม่ขัด ขอบเขตล่างใช้กับกรณีเลวร้ายที่สุดเหนือทุกอินพุต ไม่ใช่ทุกอินพุต
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
ขอบเขตนี้บอกว่าการเรียงแบบเปรียบเทียบทุกชนิดต้องใช้ประมาณ n log n การเปรียบเทียบกับอินพุตบางแบบขนาด n อินพุตพิเศษอาจเร็วกว่ามาก
คำตอบ
C · ไม่ขัด ขอบเขตล่างใช้กับกรณีเลวร้ายที่สุดเหนือทุกอินพุต ไม่ใช่ทุกอินพุต
11.โครงสร้างข้อมูล
คำตอบ: D · สแตกการเรียก (call stack)
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
แต่ละการเรียก push เฟรมสแตกและแต่ละการคืนค่า pop ออก จึงเป็นเหตุที่การเรียกล่าสุดเสร็จก่อน
คำตอบ
D · สแตกการเรียก (call stack)
12.โครงสร้างข้อมูล
คำตอบ: C · เลื่อนตัวชี้หนึ่งทีละหนึ่งก้าวและอีกตัวสองก้าว แล้วตรวจว่าพบกันหรือไม่
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
ในอัลกอริทึมของ Floyd ถ้ามีวงจร ตัวชี้เร็วจะไล่ทันตัวช้าในที่สุด มิฉะนั้นตัวชี้เร็วถึง null
คำตอบ
C · เลื่อนตัวชี้หนึ่งทีละหนึ่งก้าวและอีกตัวสองก้าว แล้วตรวจว่าพบกันหรือไม่
13.ทฤษฎีกราฟ
คำตอบ: H = 3
ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น
นับ
H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3
คำตอบ
H = 3
14.ทฤษฎีกราฟ
คำตอบ: เส้นเชื่อม DF
เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม
ขั้นตอนวิธีของครัสคัล
1. CE (1)
2. AC (3)
3. BD (6)
4. GC (7)
5. DE (8)
6. DF (11)
เส้นเชื่อมหมายเลข 6
DF
คำตอบ
เส้นเชื่อม DF
15.ฐานข้อมูลและ SQL
คำตอบ: D · NULL
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
SUM, AVG, MIN และ MAX คืน NULL เมื่อเซตว่าง ส่วน COUNT คืน 0 COALESCE(SUM(amount), 0) ให้ 0 แทน
คำตอบ
D · NULL
16.ฐานข้อมูลและ SQL
คำตอบ: A · เมื่อแอตทริบิวต์ร่วมของ R1 และ R2 เป็นซูเปอร์คีย์ของ R1 หรือของ R2
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
หากแอตทริบิวต์ร่วมกำหนดทุกแอตทริบิวต์ของ R1 หรือ R2 การเชื่อมกลับจะได้แถวเดิมพอดีโดยไม่มีทูเพิลปลอม
คำตอบ
A · เมื่อแอตทริบิวต์ร่วมของ R1 และ R2 เป็นซูเปอร์คีย์ของ R1 หรือของ R2
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์
คำตอบ: C · จำนวนฮอป (hop count)
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
RIP เป็นโพรโทคอลแบบเวกเตอร์ระยะทางที่นับฮอป โดย 16 หมายถึงเข้าถึงไม่ได้ จึงจำกัดอยู่ที่เครือข่ายขนาดเล็ก
คำตอบ
C · จำนวนฮอป (hop count)
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์
คำตอบ: B · หลายคำขอใช้การเชื่อมต่อ TCP เดียวซ้ำ หลีกเลี่ยงการแฮนด์เชกซ้ำ ๆ
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
การใช้การเชื่อมต่อซ้ำหลีกเลี่ยงแฮนด์เชกใหม่และ slow start สำหรับแต่ละออบเจ็กต์ หน้าที่มีทรัพยากรมากจึงโหลดเร็วขึ้น
คำตอบ
B · หลายคำขอใช้การเชื่อมต่อ TCP เดียวซ้ำ หลีกเลี่ยงการแฮนด์เชกซ้ำ ๆ
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4
คำตอบ: H = 30
การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)
บิตที่ต้องยืม
23 = 8 ≥ 8 → b = 3, /27
โฮสต์ต่อซับเน็ต
25 − 2 = 30
คำตอบ
H = 30
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4
คำตอบ: x = 15
การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)
ขนาดบล็อก
23 = 8
ซับเน็ตของโฮสต์นี้
เครือข่าย: ⌊13/8⌋·8 = 8
บรอดคาสต์: 8 + 8 − 1 = 15
โฮสต์ที่ใช้ได้: 9 … 14
คำตอบ
x = 15
ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals