พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ระบบเลข

ค่าประจำตำแหน่ง
ฐานสอง 2k, ฐานแปด 8k, ฐานสิบหก 16k
เป็นเลขฐานสิบ
Σ dk·bk
จากเลขฐานสิบ
หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง
เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
two’s complement
กลับบิตแล้วบวก 1

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง
2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

  1. นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
  2. ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
  3. ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
  4. สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
  5. การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

เกตพื้นฐาน
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
กฎของพีชคณิตแบบบูล
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
กฎของเดอมอร์แกน
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ลำดับของแผนที่คาร์โนห์
00, 01, 11, 10 (Gray code)
กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์
สูญเสีย k ตัวแปร
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
ฟลิปฟล็อป
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
ตัวนับ
n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
ตัวนับริปเปิล
fmax = 1/(n·tpd)
ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน
n และ 2n สถานะ

วิธีการ

  1. สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
  2. สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
  3. ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
  4. สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

  1. ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
  2. สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
  3. สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
  4. แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
  5. สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

การแบ่งซับเน็ต IPv4

โฮสต์ต่อซับเน็ต
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
ขนาดบล็อก
256 − (mask octet)
ที่อยู่เครือข่าย
IP AND มาสก์
ที่อยู่บรอดคาสต์
IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม
2n

2โจทย์ฝึก

1.ระบบเลขปานกลาง
two's complement 8 บิต?−128?64?32?16?8?4?2?1

เขียน −6 เป็นรูปแบบ two's complement 8 บิต อ่านรูปแบบนั้นเป็นเลขฐานสองแบบไม่มีเครื่องหมาย ค่าของมัน U ในเลขฐานสิบคือเท่าใด

N = −68 bit
U =
2.ระบบเลขยาก
คลิกบิตเพื่อตั้งค่า012806403201608040201

ตั้งบิตให้เป็นผลลัพธ์ 8 บิตของ 0010 1010 XOR 1000 1111 ค่าของผลลัพธ์ R เป็นเท่าใดในเลขฐานสิบ

0010 1010XOR1000 1111
R =
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง
ซ้ำซ้อน (tautology)ขัดแย้ง (contradiction)contingency

r ∧ ¬r เป็น tautology, contradiction หรือ contingency ให้คลิกคำตอบของคุณ

r ∧ ¬r
  1. 1ซ้ำซ้อน (tautology)
  2. 2ขัดแย้ง (contradiction)
  3. 3contingency
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก

ตารางค่าความจริง 16 แถวมีกี่แถวที่ทำให้ (¬(b ∧ c) → b) ∧ (¬(¬d ∧ ¬a) ∧ d) เป็นจริง เรียกจำนวนนี้ว่า N

(¬(b ∧ c) → b) ∧ (¬(¬d ∧ ¬a) ∧ d)
N =
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง
ABC000111100101324576

จงทำ F = A′B′ + A′BC + B′C′ + AC′ ให้เป็นรูปผลบวกของผลคูณที่น้อยที่สุด นิพจน์ที่ทำให้ง่ายแล้วมีกี่ลิเทอรัล L

F = A′B′ + A′BC + B′C′ + AC′
L =
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก
ABCD0001111000011110X011130204050706X12113115X141819011110

จงหารูป SOP ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 8, 9, 10, 13, 15) + d(0, 12, 14) โดย d แทนเงื่อนไขไม่สนใจ มีกี่ลิเทอรัล L

F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 8, 9, 10, 13, 15) + d(0, 12, 14)
L =
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงแก้ 14x ≡ 11 (mod 17) ให้คำตอบ x ที่ 0 < x < 17

14x ≡ 11 (mod 17)
x =
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

จงแก้ 51x ≡ 30 (mod 87) ให้คำตอบที่เป็นบวกและน้อยที่สุด x

51x ≡ 30 (mod 87)
x =
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

เหตุใดรูทีนการเรียงลำดับในไลบรารีจำนวนมากจึงเปลี่ยนไปใช้ insertion sort กับอาร์เรย์ย่อยที่เล็กมาก

  1. AInsertion sort มีภาระเพิ่มน้อยและเร็วกับอินพุตที่เล็กหรือเกือบเรียงแล้ว
  2. Bอัลกอริทึมแบบเรียกซ้ำจัดการอาร์เรย์ที่เล็กกว่า 10 สมาชิกไม่ได้
  3. CInsertion sort เป็น O(n log n) ในกรณีเลวร้ายที่สุด
  4. DInsertion sort ใช้หน่วยความจำน้อยกว่าอัลกอริทึมการเรียงลำดับอื่นทุกตัวกับอินพุตใหญ่
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ปัญหาหนึ่งเป็น NP-complete ถ้ามัน

  1. Aอยู่ใน NP และทุกปัญหา NP ลดรูปมาเป็นมันได้ในเวลาพหุนาม
  2. Bแก้ไม่ได้เลย
  3. Cอยู่นอก NP แต่ยากกว่าทุกปัญหา NP เช่น ปัญหาการหยุด
  4. Dแก้ได้ในเวลาพหุนาม
11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ต้นไม้ AVL และต้นไม้แดง–ดำ (red-black) รับประกัน

  1. Aความสูง O(log n) ผ่านการปรับสมดุลใหม่
  2. Bคีย์ถูกเก็บตามลำดับการแทรก
  3. Cไม่มีโหนดใดมีลูกสองตัว
  4. Dการค้นหาในเวลาคงที่ทุกกรณี
12.โครงสร้างข้อมูลยาก

การลบโหนดที่มีลูกสองตัวจาก binary search tree มักทำโดย

  1. Aลบต้นไม้ย่อยทั้งหมด
  2. Bสลับกับราก
  3. Cแทนที่ด้วย in-order successor (หรือ predecessor) แล้วลบโหนดนั้น
  4. Dสร้างต้นไม้ย่อยที่อยู่ใต้โหนดนั้นขึ้นใหม่ทั้งหมดแล้วแทรกคีย์ทุกตัวที่เคยมีอยู่ลงไปใหม่
13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEFวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 6|E| = 7
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
14.ทฤษฎีกราฟยาก
ABCDE

มีวอล์กปิดความยาว 2 ที่เริ่มและจบที่ A กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 2
N =
15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง

คุณสมบัติ ACID ใดหมายความว่าทรานแซกชันที่ทำพร้อมกันไม่เห็นการเปลี่ยนแปลงที่ยังไม่เสร็จของกันและกัน?

  1. AAtomicity
  2. BDurability
  3. CAvailability
  4. DIsolation
16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก

R(A, B, C, D) มีการพึ่งพาเชิงฟังก์ชัน A → B และ C → D คีย์ผู้สมัครคืออะไร?

  1. A{B, D}
  2. B{A}
  3. C{A, C}
  4. D{C}
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง

ARP ทำหน้าที่อะไร?

  1. Aกำหนดที่อยู่ IP ให้โฮสต์โดยอัตโนมัติเมื่อเข้าร่วมเครือข่ายท้องถิ่น
  2. Bกำหนดเส้นทางแพ็กเก็ตบนอินเทอร์เน็ต
  3. Cหาที่อยู่ MAC ที่เป็นของที่อยู่ IP หนึ่งในเครือข่ายท้องถิ่น
  4. Dแปลงชื่อโดเมน
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก

เหตุใดจึงมีการเพิ่มตัวเลือกการปรับสเกลหน้าต่าง (window scale) ของ TCP?

  1. AUDP ต้องมีวิธีควบคุมอัตราการส่งบนเส้นทางที่คับคั่ง
  2. Bหากไม่มี TCP จะตรวจจับเซกเมนต์ที่สูญหายบนลิงก์ระยะไกลไม่ได้
  3. Cฟิลด์หน้าต่าง 16 บิตจำกัดหน้าต่างไว้ที่ 65,535 ไบต์ ซึ่งเล็กเกินไปสำหรับเส้นทางไกลที่เร็ว
  4. Dฟิลด์หน้าต่าง 32 บิตใหญ่เกินไปและสิ้นเปลืองพื้นที่ส่วนหัวในทุกเซกเมนต์ TCP ที่ส่ง
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง
/?11111111111111111111100000000000บิตเครือข่ายบิตโฮสต์

แผนกหนึ่งต้องการที่อยู่โฮสต์ 1784 ที่อยู่ในซับเน็ตเดียว ความยาวพรีฟิกซ์ที่ยาวที่สุด p (ซับเน็ตเล็กที่สุด) ที่ใหญ่พอคือเท่าใด

1784 hosts
p =
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก
ออกเท็ตที่สาม = 230112816413201608141201เครือข่ายโฮสต์

โฮสต์มีที่อยู่ 172.20.230.154/17 ออกเท็ตที่สาม x ของที่อยู่บรอดแคสต์ของซับเน็ตมันคือเท่าใด

172.20.230.154/17
x =

3สารละลาย

1.ระบบเลข

คำตอบ: U = 250

ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ

กลับบิตแล้วบวกหนึ่ง

6 = 0000 0110
ที่กลับบิตแล้ว: 1111 1001
+1 → 1111 1010

อ่านเป็นแบบไม่มีเครื่องหมาย

1111 1010₂ = 256 − 6 = 250

คำตอบ

U = 250
2.ระบบเลข

คำตอบ: R = 165

การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน

ทีละบิต

XOR ให้ 1 เมื่อสองบิตต่างกัน

0010 1010
XOR 1000 1111
= 1010 0101

ค่าของผลลัพธ์

1010 0101₂ = 165

คำตอบ

R = 165
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: ขัดแย้ง (contradiction)

ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

ตารางค่าความจริงทีละแถว

r = 1: ¬r = 0, r ∧ ¬r = 0
r = 0: ¬r = 1, r ∧ ¬r = 0

จัดประเภท

r ∧ ¬r: 0, 0
เป็น 0 ทุกแถว: contradiction

คำตอบ

ขัดแย้ง (contradiction)
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: N = 4

ตารางค่าความจริง: สูตรที่มีตัวแปรต่างกัน n ตัวมี 2ⁿ แถว หนึ่งแถวต่อทุกชุดของค่าความจริง (1 = จริง, 0 = เท็จ) ทำจากด้านในออกมาและให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง ¬a กลับค่า a ∧ b เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1 a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 a ↔ b เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างเท่ากัน

คอลัมน์

b ∧ c; ¬(b ∧ c); ¬(b ∧ c) → b; ¬d; ¬a; ¬d ∧ ¬a; ¬(¬d ∧ ¬a); ¬(¬d ∧ ¬a) ∧ d; (¬(b ∧ c) → b) ∧ (¬(¬d ∧ ¬a) ∧ d)

แยกตาม a

a = 1: 2
a = 0: 2
N = 2 + 2 = 4

คำตอบ

N = 4
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: L = 6

พีชคณิตแบบบูล: กฎที่ทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นได้แก่ X + X′ = 1 และ X·X′ = 0, X + X = X, การดูดกลืน X + X·Y = X, กฎการรวม X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y และทฤษฎีบทฉันทามติ XY + X′Z + YZ = XY + X′Z กฎของเดอมอร์แกนเปลี่ยน (X·Y)′ เป็น X′ + Y′ และ (X + Y)′ เป็น X′·Y′ แผนที่คาร์โนห์ใช้กฎเหล่านี้ในรูปภาพ: ทุกกลุ่มของสองเซลล์ที่อยู่ติดกันคือการใช้ XY + XY′ = X หนึ่งครั้ง

มินเทอมของนิพจน์

A′B′ → m(0, 1)
A′BC → m(3)
B′C′ → m(0, 4)
AC′ → m(4, 6)
ABC00011110011011130214050716

จัดกลุ่มและอ่านค่า

F = B′C′ + A′C + AC′

นับลิเทอรัล

L = 6

คำตอบ

L = 6

มีการจัดกลุ่มอีกแบบที่มีขนาดเท่ากัน ซึ่งมีจำนวนลิเทอรัลเท่ากัน

6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: L = 9

แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด

ไพรม์อิมพลิแคนต์

กลุ่มที่ใหญ่ที่สุดที่สร้างได้จาก 1 และ X

B′C′, AD′, AC′, AB, A′B′D
ABCD0001111000011110X011130204050706X12113115X141819011110

การครอบคลุมที่น้อยที่สุด

F = B′C′ + AD′ + AB + A′B′D
L = 9

คำตอบ

L = 9

มีการจัดกลุ่มอีกแบบที่มีขนาดเท่ากัน ซึ่งมีจำนวนพจน์และลิเทอรัลเท่ากัน

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: x = 2

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ตัวผกผันของ 14

r = 17, t = 0
r = 14, q = 1, t = 1
r = 3, q = 4, t = −1
r = 2, q = 1, t = 5
r = 1, q = 2, t = −6
14−1 ≡ 11 (mod 17)

แก้สมการ

x ≡ 11·11 = 121 ≡ 2 (mod 17)
ตรวจสอบ: 14·2 = 28 ≡ 11 (mod 17)

คำตอบ

x = 2
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: x = 4

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

หารด้วย gcd

gcd(51, 87) = 3
17x ≡ 10 (mod 29)

แก้ความสอดคล้องที่ลดรูปแล้ว

17−1 ≡ 12 (mod 29) → x ≡ 4 (mod 29)

คำตอบมอดูโล 87

x ∈ {4, 33, 62}
x = 4

คำตอบ

x = 4
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · Insertion sort มีภาระเพิ่มน้อยและเร็วกับอินพุตที่เล็กหรือเกือบเรียงแล้ว

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อ n น้อย ลูปง่าย ๆ ของ insertion sort ชนะภาระการเรียกซ้ำของ quicksort หรือ merge sort แม้จะเป็น O(n²)

คำตอบ

A · Insertion sort มีภาระเพิ่มน้อยและเร็วกับอินพุตที่เล็กหรือเกือบเรียงแล้ว
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · อยู่ใน NP และทุกปัญหา NP ลดรูปมาเป็นมันได้ในเวลาพหุนาม

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ปัญหา NP-complete เป็นปัญหาที่ยากที่สุดใน NP ถ้ามีอัลกอริทึมพหุนามสำหรับปัญหาหนึ่ง ก็จะมีสำหรับทั้ง NP

คำตอบ

A · อยู่ใน NP และทุกปัญหา NP ลดรูปมาเป็นมันได้ในเวลาพหุนาม
11.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · ความสูง O(log n) ผ่านการปรับสมดุลใหม่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ต้นไม้ปรับสมดุลตัวเองรักษาความสูงเป็นลอการิทึม การค้นหา แทรก และลบจึงเป็น O(log n) ในกรณีเลวร้ายที่สุด

คำตอบ

A · ความสูง O(log n) ผ่านการปรับสมดุลใหม่
12.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · แทนที่ด้วย in-order successor (หรือ predecessor) แล้วลบโหนดนั้น

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

In-order successor มีลูกไม่เกินหนึ่งตัว จึงลบได้ง่ายหลังคัดลอกคีย์ไปยังโหนดที่ถูกลบ

คำตอบ

C · แทนที่ด้วย in-order successor (หรือ predecessor) แล้วลบโหนดนั้น
13.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

จุดยอดคี่

A, B, C, D → 4
ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

คำตอบ

ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
14.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: N = 2

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ Kn มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

เพื่อนบ้านร่วม

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 2

คำตอบ

N = 2
15.ฐานข้อมูลและ SQL

คำตอบ: D · Isolation

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Isolation แยกทรานแซกชันที่ทำพร้อมกันออกจากกัน ระดับการแยกกำหนดว่าบังคับเข้มงวดเพียงใด

คำตอบ

D · Isolation
16.ฐานข้อมูลและ SQL

คำตอบ: C · {A, C}

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

A และ C ไม่ถูกกำหนดโดยสิ่งใด ทุกคีย์จึงต้องมีทั้งสอง และ {A, C}+ = {A, B, C, D}

คำตอบ

C · {A, C}
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์

คำตอบ: C · หาที่อยู่ MAC ที่เป็นของที่อยู่ IP หนึ่งในเครือข่ายท้องถิ่น

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ARP broadcast ถามว่า "ใครมี IP นี้?" และเจ้าของตอบด้วยที่อยู่ MAC ของตน เพื่อให้ส่งเฟรมในเครือข่ายท้องถิ่นได้

คำตอบ

C · หาที่อยู่ MAC ที่เป็นของที่อยู่ IP หนึ่งในเครือข่ายท้องถิ่น
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์

คำตอบ: C · ฟิลด์หน้าต่าง 16 บิตจำกัดหน้าต่างไว้ที่ 65,535 ไบต์ ซึ่งเล็กเกินไปสำหรับเส้นทางไกลที่เร็ว

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ส่วนหัวเดิมรองรับข้อมูลที่ยังไม่ได้รับการตอบรับได้สูงสุด 65,535 ไบต์ การปรับสเกลหน้าต่างคูณค่านี้ด้วยกำลังของสองเพื่อให้เติมเส้นทางที่มีผลคูณแบนด์วิดท์–ความล่าช้าสูงได้

คำตอบ

C · ฟิลด์หน้าต่าง 16 บิตจำกัดหน้าต่างไว้ที่ 65,535 ไบต์ ซึ่งเล็กเกินไปสำหรับเส้นทางไกลที่เร็ว
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: p = 21

การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)

บิตโฮสต์ที่ต้องใช้

210 − 2 = 1022 < 1784
211 − 2 = 2046 ≥ 1784 → h = 11

ความยาวพรีฟิกซ์

p = 32 − 11 = 21

คำตอบ

p = /21
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: x = 255

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

ขนาดบล็อกในออกเท็ตที่สาม

27 = 128

ซับเน็ตของโฮสต์นี้

เครือข่าย: 172.20.128.0
บรอดคาสต์: 172.20.255.255

คำตอบ

x = 255

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals