พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ระบบเลข

ค่าประจำตำแหน่ง: ฐานสอง 2^k, ฐานแปด 8^k, ฐานสิบหก 16^k
เป็นเลขฐานสิบ: Σ d_k·b^k
จากเลขฐานสิบ: หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง: เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
two’s complement: กลับบิตแล้วบวก 1

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง: 2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว): p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

เกตพื้นฐาน: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
กฎของพีชคณิตแบบบูล: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
กฎของเดอมอร์แกน: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ลำดับของแผนที่คาร์โนห์: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์: สูญเสีย k ตัวแปร
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
ฟลิปฟล็อป: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
ตัวนับ: n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
ตัวนับริปเปิล: f_max = 1/(n·t_pd)
ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน: n และ 2n สถานะ

วิธีการ

สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ: Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
กราฟปรกติ: |E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า: |E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์: วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน K_n: (n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L: (Mᴸ)_ij

วิธีการ

เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

การแบ่งซับเน็ต IPv4

โฮสต์ต่อซับเน็ต: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ขนาดบล็อก: 256 − (mask octet)
ที่อยู่เครือข่าย: IP AND มาสก์
ที่อยู่บรอดคาสต์: IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม: 2ⁿ

2โจทย์ฝึก

1.ระบบเลขปานกลาง

ตั้งบิตให้เก็บ −68 ใน two's complement 8 บิต อ่านเป็นจำนวนไม่มีเครื่องหมาย ค่าของรูปแบบ U เป็นเท่าใด

N = −688 bit

U =

2.ระบบเลขยาก

ตั้งบิตให้เป็นผลลัพธ์ 8 บิตของ 0011 1010 >> 1 ค่าของผลลัพธ์ R เป็นเท่าใดในเลขฐานสิบ

0011 1010>> 1

R =

3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง

สูตรใดสมมูลเชิงตรรกะกับ ¬(a ∨ c) ให้คลิกสูตรนั้น

¬(a ∨ c)

1¬a ∧ ¬c
2¬a ∨ ¬c
3¬a ∧ c
4a ∨ ¬c

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก

ประโยคใดสมมูลกับ ¬∃x ∀y R(x, y) เมื่อย้ายนิเสธเข้าด้านในสุด ให้คลิกประโยคนั้น

¬∃x ∀y R(x, y)

1∀x ∀y ¬R(x, y)
2∃x ∀y ¬R(x, y)
3∃x ∃y ¬R(x, y)
4∀x ∃y ¬R(x, y)

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง

ใช้แผนที่คาร์โนห์หารูปผลบวกของผลคูณ (SOP) ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 4, 5, 7, 12, 14) มีลิเทอรัลรวมกี่ตัว L (ตัวแปรที่มีไพรม์นับเป็นหนึ่งลิเทอรัล)

F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 4, 5, 7, 12, 14)

L =

6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก

สำหรับ F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 15) + d(7, 8) โดย d แทนเงื่อนไขไม่สนใจ จงหาจำนวน N ของไพรม์อิมพลิแคนต์จำเป็น

F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 15) + d(7, 8)

N =

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงหาตัวผกผันของ 8 มอดูโล 11: จำนวน x ที่ 0 < x < 11 และ 8·x ≡ 1 (mod 11)

a = 8n = 11

8⁻¹ mod 11 =

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

89 เป็นจำนวนเฉพาะ ใช้ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาเพื่อหา 17⁸³²⁴¹ mod 89

p = 89k = 83241

17⁸³²⁴¹ mod 89 =

9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

อัลกอริทึมใดหาเส้นทางสั้นที่สุดจากต้นทางหนึ่งในกราฟที่น้ำหนักเส้นเชื่อมไม่เป็นลบ

Aการค้นหาในแนวลึก
Bอัลกอริทึมของ Dijkstra
Cอัลกอริทึมของ Kruskal
Dต้องใช้ Bellman–Ford ในทุกกรณี

10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ต้นทุนแบบกระจายของการเพิ่มค่าตัวนับฐานสองหนึ่งครั้งคือเท่าใด เมื่อการเพิ่มหนึ่งครั้งอาจพลิกหลายบิต

AO(n) ต่อการเพิ่มหนึ่งครั้ง
BO(log n) ต่อการเพิ่มหนึ่งครั้ง
CO(n log n) ต่อการเพิ่มหนึ่งครั้ง
DO(1) ต่อการเพิ่มหนึ่งครั้ง

11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

คุณมีการอ้างอิงถึงโหนดกลางลิสต์ ในลิสต์ชนิดใดลบมันได้ใน O(1)

Aอาร์เรย์พลวัต
Bอาร์เรย์เรียงลำดับ
Cลิงก์ลิสต์สองทิศทาง
Dลิงก์ลิสต์เชิงเดี่ยว

12.โครงสร้างข้อมูลยาก

การแทรกคีย์ในต้นไม้ AVL ทำให้ต้นไม้ย่อยซ้ายของโหนดสูงเกินไป และคีย์ใหม่อยู่ในต้นไม้ย่อยซ้ายของลูกซ้าย (กรณีซ้าย–ซ้าย) ใช้วิธีแก้ใด

Aเปลี่ยนสีโหนดและลูกของมัน
Bหมุนซ้ายที่ลูก แล้วหมุนขวาที่โหนด
Cหมุนซ้ายหนึ่งครั้งที่โหนดที่ไม่สมดุล
Dหมุนขวาหนึ่งครั้งที่โหนดที่ไม่สมดุล

13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 7|E| = 12

1วงจรออยเลอร์
2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

14.ทฤษฎีกราฟยาก

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(G) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป G ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: G

d(G) =

15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง

เหตุใด SELECT price * 2 AS double_price FROM t WHERE double_price > 10 จึงล้มเหลวในฐานข้อมูลส่วนใหญ่?

AWHERE เปรียบเทียบได้เฉพาะคอลัมน์ข้อความ
BWHERE ถูกประเมินก่อนรายการ SELECT ชื่อแฝงจึงยังไม่มี
Cชื่อแฝงห้ามมีขีดล่าง
Dไม่อนุญาตให้คำนวณเลขคณิตในรายการ SELECT

16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก

ระดับการแยกส่วน (isolation level) ใดป้องกัน dirty read แต่ยังอนุญาต non-repeatable read?

ARead committed
BRead uncommitted
CSerializable
DRepeatable read

17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง

อะไรระบุปลายด้านหนึ่งของการเชื่อมต่อ TCP บนอินเทอร์เน็ตได้อย่างไม่ซ้ำกัน?

Aที่อยู่ IP ร่วมกับหมายเลขพอร์ต
Bซับเน็ตมาสก์และเกตเวย์
Cชื่อโดเมนเพียงอย่างเดียว
Dที่อยู่ MAC เพียงอย่างเดียว

18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก

ในการเชื่อมต่อ TCP หน้าต่างรับ (receive window: rwnd) ควบคุมอะไร?

Aเวลาหมดอายุก่อนการส่งซ้ำ ซึ่งคำนวณจากเวลาไปกลับที่วัดได้ของแต่ละเซกเมนต์
Bขนาดของส่วนหัวแพ็กเก็ต IP แต่ละแพ็กเก็ต
Cปริมาณข้อมูลที่ยังไม่ได้รับการตอบรับซึ่งผู้ส่งส่งได้ ตามบัฟเฟอร์ของผู้รับ
Dจำนวนพอร์ตที่เปิดอยู่

19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง

เครือข่าย 192.168.10.0/24 ต้องแบ่งเป็นซับเน็ตขนาดเท่ากันอย่างน้อย 12 ซับเน็ต หากยืมบิตให้น้อยที่สุด แต่ละซับเน็ตมีโฮสต์ที่ใช้ได้กี่เครื่อง H

192.168.10.0/2412 subnets

H =

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก

โฮสต์มีที่อยู่ 172.20.74.24/21 ออกเท็ตที่สาม x ของที่อยู่เครือข่ายของมันคือเท่าใด

172.20.74.24/21

x =

3สารละลาย

1.ระบบเลข

คำตอบ: U = 188

การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน

กลับบิตแล้วบวกหนึ่ง

68 = 0100 0100

ที่กลับบิตแล้ว: 1011 1011

+1 → 1011 1100

อ่านเป็นแบบไม่มีเครื่องหมาย

1011 1100₂ = 256 − 68 = 188

คำตอบ

U = 188

2.ระบบเลข

คำตอบ: R = 29

ทีละบิต

การเลื่อนขวา 1 ตำแหน่งย้ายทุกบิตไปทางขวา 1 ตำแหน่ง บิตที่หลุดออกปลายขวาหายไปและศูนย์เข้ามาทางซ้าย

0011 1010 >> 1

= 0001 1101

ค่าของผลลัพธ์

0001 1101₂ = 29

คำตอบ

R = 29

3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: ¬a ∧ ¬c

ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

กฎ

เดอมอร์แกน: ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b ตัว ∨ เปลี่ยนเป็น ∧ และทั้งสองส่วนถูกใส่นิเสธ

¬(a ∨ c) ≡ ¬a ∧ ¬c

ตรวจสอบด้วยตารางค่าความจริง

a = 1, c = 1: 0 | 0 0 0 1

a = 1, c = 0: 0 | 0 1 0 1

a = 0, c = 1: 0 | 0 1 1 0

a = 0, c = 0: 1 | 1 1 0 1

คำตอบ

¬a ∧ ¬c

คอลัมน์หลังเส้นคั่นคือตัวเลือกตามลำดับที่แสดง

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: ∀x ∃y ¬R(x, y)

ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล

ย้ายนิเสธเข้าด้านใน

¬∃x ∀y R(x, y) ≡ ∀x ∃y ¬R(x, y)

คำตอบ

∀x ∃y ¬R(x, y)

ตัวเลือกอื่นอาจคงตัวบ่งปริมาณไว้ไม่เปลี่ยน เปลี่ยนลำดับของตัวบ่งปริมาณ หรือใส่นิเสธให้สูตรด้านในผิด

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: L = 8

แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด

จัดกลุ่ม 1

ทุกกลุ่มเป็นสี่เหลี่ยมของ 2ᵏ เซลล์ เซลล์ที่ขอบเป็นเพื่อนบ้านของเซลล์ที่ขอบตรงข้าม

BC′D′

A′D

ABD′

รูป SOP ที่น้อยที่สุด

F = BC′D′ + A′D + ABD′

L = 8

คำตอบ

L = 8

มีการจัดกลุ่มอีกแบบที่มีขนาดเท่ากัน ซึ่งมีจำนวนพจน์และลิเทอรัลเท่ากัน

6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: N = 2

ไพรม์อิมพลิแคนต์

กลุ่มที่ใหญ่ที่สุดที่สร้างได้จาก 1 และ X

C′D′, CD, A′BD, AB′D′, A′BC′, AB′C

ไพรม์อิมพลิแคนต์จำเป็น

C′D′, CD

N = 2

คำตอบ

N = 2

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: 8⁻¹ mod 11 = 7

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยาย

เศษ r แต่ละตัวเขียนเป็น r ≡ t·8 (mod 11)

r = 11, t = 0

r = 8, q = 1, t = 1

r = 3, q = 2, t = −1

r = 2, q = 1, t = 3

r = 1, q = 2, t = −4

อินเวอร์ส

1 ≡ −4·8 (mod 11)

x = 7

ตรวจสอบ: 8·7 = 56 = 5·11 + 1

คำตอบ

8⁻¹ mod 11 = 7

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: 17⁸³²⁴¹ mod 89 = 80

เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n

D · หมุนขวาหนึ่งครั้งที่โหนดที่ไม่สมดุล

13.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: วงจรออยเลอร์

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว K_n มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

จุดยอดคี่

วงจรออยเลอร์

คำตอบ

วงจรออยเลอร์

14.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(G) = 13

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): C: 3

C (3): B: 13, E: 5, G: 15

E (5): D: 15, F: 9, G: 13

F (9): D: 10

D (10)

B (13)

G (13)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → C → E → G

บิตที่ต้องยืม

2⁴ = 16 ≥ 12 → b = 4, /28

โฮสต์ต่อซับเน็ต

2⁴ − 2 = 14

คำตอบ

H = 14

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: x = 72

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

ขนาดบล็อกในออกเท็ตที่สาม

2³ = 8

ซับเน็ตของโฮสต์นี้

เครือข่าย: 172.20.72.0

บรอดคาสต์: 172.20.79.255

คำตอบ

x = 72

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals