พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ระบบเลข

ค่าประจำตำแหน่ง: ฐานสอง 2^k, ฐานแปด 8^k, ฐานสิบหก 16^k
เป็นเลขฐานสิบ: Σ d_k·b^k
จากเลขฐานสิบ: หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง: เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
two’s complement: กลับบิตแล้วบวก 1

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง: 2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว): p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

เกตพื้นฐาน: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
กฎของพีชคณิตแบบบูล: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
กฎของเดอมอร์แกน: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ลำดับของแผนที่คาร์โนห์: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์: สูญเสีย k ตัวแปร
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
ฟลิปฟล็อป: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
ตัวนับ: n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
ตัวนับริปเปิล: f_max = 1/(n·t_pd)
ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน: n และ 2n สถานะ

วิธีการ

สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ: Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
กราฟปรกติ: |E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า: |E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์: วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน K_n: (n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L: (Mᴸ)_ij

วิธีการ

เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

การแบ่งซับเน็ต IPv4

โฮสต์ต่อซับเน็ต: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ขนาดบล็อก: 256 − (mask octet)
ที่อยู่เครือข่าย: IP AND มาสก์
ที่อยู่บรอดคาสต์: IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม: 2ⁿ

2โจทย์ฝึก

1.ระบบเลขปานกลาง

รูปแบบ 8 บิต 1110 0111 เก็บจำนวนเต็มมีเครื่องหมายแบบ two's complement ค่าของมัน N ในเลขฐานสิบคือเท่าใด

1110 01118 bit

N =

2.ระบบเลขยาก

ภาพที่ไม่บีบอัดมีขนาด 256 × 256 พิกเซล และมี 24 บิตต่อพิกเซล ใช้หน่วยความจำ M เท่าใด ในหน่วย KiB (1 KiB = 1024 ไบต์)

256 × 256 px24 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง

ในตารางค่าความจริง 8 แถวของ (r → q) → ((¬p → q) ∧ (r ∧ p)) มีกี่แถวที่เป็นจริง เรียกจำนวนนี้ว่า N

(r → q) → ((¬p → q) ∧ (r ∧ p))

N =

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก

ประโยคใดสมมูลกับ ¬∃x A(x) เมื่อย้ายนิเสธเข้าด้านในสุด ให้คลิกประโยคนั้น

¬∃x A(x)

1∀x A(x)
2∀x ¬A(x)
3∃x A(x)
4∃x ¬A(x)

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง

ใช้แผนที่คาร์โนห์หารูปผลบวกของผลคูณ (SOP) ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 7, 9, 11, 13, 14, 15) มีกี่พจน์ผลคูณ N

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 7, 9, 11, 13, 14, 15)

N =

6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก

ตัวนับมอด-11 แบบซิงโครนัสนับ 0, 1, …, 10 แล้ววนกลับเป็น 0 เริ่มที่ 6 หลังพัลส์นาฬิกา 36 พัลส์ จะแสดงค่านับ Q (เป็นเลขฐานสิบ) เท่าใด

Q₀ = 636N = 11

Q =

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงหาตัวผกผันของ 12 มอดูโล 17: จำนวน x ที่ 0 < x < 17 และ 12·x ≡ 1 (mod 17)

a = 12n = 17

12⁻¹ mod 17 =

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

67 เป็นจำนวนเฉพาะ ใช้ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาเพื่อหา 14⁵⁹³⁸⁴ mod 67

p = 67k = 59384

14⁵⁹³⁸⁴ mod 67 =

9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาของการคำนวณจำนวนฟีโบนักชีตัวที่ n ด้วยตารางแบบล่างขึ้นบนคือเท่าใด

AO(n²)
BO(n)
CO(log n)
DO(2ⁿ)

10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

2²ⁿ อยู่ใน O(2ⁿ) หรือไม่

Aใช่ เพราะตัวคูณคงที่ในเลขชี้กำลังถูกละไว้เสมอใน Big O
Bใช่ เพราะทั้งสองเป็นเอกซ์โพเนนเชียล
Cไม่ เพราะ 2²ⁿ เติบโตช้ากว่า 2ⁿ
Dไม่ เพราะ 2²ⁿ = 4ⁿ และ 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ เติบโตไม่มีขอบเขต

11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

จุดประสงค์ของโหนดยามเฝ้า (sentinel หรือ dummy) ในลิงก์ลิสต์คืออะไร

Aเก็บจำนวนสมาชิก
Bเพื่อป้องกันไม่ให้ลิสต์ขยายเกินจำนวนโหนดสูงสุดที่กำหนดไว้
Cทำให้ลิสต์เรียงลำดับ
Dทำให้โค้ดง่ายขึ้นโดยตัดกรณีพิเศษที่หัวหรือท้าย

12.โครงสร้างข้อมูลยาก

หากไม่มี union by rank หรือ path compression ต้นทุนในกรณีเลวร้ายที่สุดของ find หนึ่งครั้งในโครงสร้าง union-find ที่มี n สมาชิกคือเท่าใด

AO(1)
BO(n)
CO(α(n))
DO(log n)

13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 3 จุดยอดดีกรี 3, 4 จุดยอดดีกรี 4 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

3 × deg 34 × deg 4

L =

14.ทฤษฎีกราฟยาก

จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก

|V| = 6|E| = 9

W =

15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง

คอลัมน์มีค่า 10, 20 และ NULL AVG(col) คืนค่าอะไร?

ANULL
B10
C15
D30

16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก

รูปแบบบรรทัดฐานบอยซ์–คอดด์ (BCNF) กำหนดว่าสำหรับทุกการพึ่งพาเชิงฟังก์ชันที่ไม่ธรรมดา X → Y:

AX เป็นซูเปอร์คีย์
BX มี NULL
CY เป็นคีย์หลัก
DY เป็นอะตอมมิก

17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง

เมื่อใช้พาริตีคู่ (even parity) บิตพาริตีใดที่เพิ่มให้บิตข้อมูล 1011001?

18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก

สวิตช์ 8 พอร์ต (ไม่มี VLAN) มีหนึ่งโฮสต์ต่อพอร์ต มีคอลลิชันโดเมนและบรอดแคสต์โดเมนอย่างละกี่โดเมน?

A1 คอลลิชันโดเมน 1 บรอดแคสต์โดเมน
B8 คอลลิชันโดเมน 1 บรอดแคสต์โดเมน
C1 คอลลิชันโดเมน 8 บรอดแคสต์โดเมน
D8 คอลลิชันโดเมน 8 บรอดแคสต์โดเมน

19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง

แผนกหนึ่งต้องการที่อยู่โฮสต์ 39 ที่อยู่ในซับเน็ตเดียว ความยาวพรีฟิกซ์ที่ยาวที่สุด p (ซับเน็ตเล็กที่สุด) ที่ใหญ่พอคือเท่าใด

39 hosts

p =

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก

โฮสต์มีที่อยู่ 10.20.53.41/29 ออคเต็ตที่สี่ x ของที่อยู่เครือข่ายคือเท่าใด

10.20.53.41/29

x =

3สารละลาย

1.ระบบเลข

คำตอบ: N = −25

ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ

บวกค่าประจำตำแหน่ง

บิตอื่นยังคงมีค่าเป็นบวกตามปกติ

−128 + 64 + 32 + 4 + 2 + 1 = −25

คำตอบ

N = −25

2.ระบบเลข

คำตอบ: M = 192 KiB

บิตและไบต์

256·256·24 = 1572864 bit = 196608 B

แปลงเป็น KiB

196608/1024 = 192 KiB

คำตอบ

M = 192 KiB

3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: N = 3

ตารางค่าความจริง: สูตรที่มีตัวแปรต่างกัน n ตัวมี 2ⁿ แถว หนึ่งแถวต่อทุกชุดของค่าความจริง (1 = จริง, 0 = เท็จ) ทำจากด้านในออกมาและให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง ¬a กลับค่า a ∧ b เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1 a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 a ↔ b เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างเท่ากัน

ตารางค่าความจริงทีละแถว

p = 1, q = 1, r = 1: r → q = 1, ¬p = 0, ¬p → q = 1, r ∧ p = 1, (¬p → q) ∧ (r ∧ p) = 1, (r → q) → ((¬p → q) ∧ (r ∧ p)) = 1

p = 1, q = 1, r = 0: r → q = 1, ¬p = 0, ¬p → q = 1, r ∧ p = 0, (¬p → q) ∧ (r ∧ p) = 0, (r → q) → ((¬p → q) ∧ (r ∧ p)) = 0

p = 1, q = 0, r = 1: r → q = 0, ¬p = 0, ¬p → q = 1, r ∧ p = 1, (¬p → q) ∧ (r ∧ p) = 1, (r → q) → ((¬p → q) ∧ (r ∧ p)) = 1

p = 1, q = 0, r = 0: r → q = 1, ¬p = 0, ¬p → q = 1, r ∧ p = 0, (¬p → q) ∧ (r ∧ p) = 0, (r → q) → ((¬p → q) ∧ (r ∧ p)) = 0

p = 0, q = 1, r = 1: r → q = 1, ¬p = 1, ¬p → q = 1, r ∧ p = 0, (¬p → q) ∧ (r ∧ p) = 0, (r → q) → ((¬p → q) ∧ (r ∧ p)) = 0

p = 0, q = 1, r = 0: r → q = 1, ¬p = 1, ¬p → q = 1, r ∧ p = 0, (¬p → q) ∧ (r ∧ p) = 0, (r → q) → ((¬p → q) ∧ (r ∧ p)) = 0

p = 0, q = 0, r = 1: r → q = 0, ¬p = 1, ¬p → q = 0, r ∧ p = 0, (¬p → q) ∧ (r ∧ p) = 0, (r → q) → ((¬p → q) ∧ (r ∧ p)) = 1

p = 0, q = 0, r = 0: r → q = 1, ¬p = 1, ¬p → q = 0, r ∧ p = 0, (¬p → q) ∧ (r ∧ p) = 0, (r → q) → ((¬p → q) ∧ (r ∧ p)) = 0

นับแถวที่มีค่าเป็น 1

(r → q) → ((¬p → q) ∧ (r ∧ p)): 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0

N = 3

คำตอบ

N = 3

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: ∀x ¬A(x)

ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล

ย้ายนิเสธเข้าด้านใน

¬∃x A(x) ≡ ∀x ¬A(x)

คำตอบ

∀x ¬A(x)

ตัวเลือกอื่นอาจคงตัวบ่งปริมาณไว้ไม่เปลี่ยน เปลี่ยนลำดับของตัวบ่งปริมาณ หรือใส่นิเสธให้สูตรด้านในผิด

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: N = 4

แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด

จัดกลุ่ม 1

ทุกกลุ่มเป็นสี่เหลี่ยมของ 2ᵏ เซลล์ เซลล์ที่ขอบเป็นเพื่อนบ้านของเซลล์ที่ขอบตรงข้าม

A′B′

ABC

รูป SOP ที่น้อยที่สุด

F = CD + AD + A′B′ + ABC

N = 4

คำตอบ

N = 4

6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: Q = 9

ฟลิปฟล็อปและตัวนับ: ฟลิปฟล็อปเปลี่ยนค่าเฉพาะที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกา D คัดลอกอินพุต (Q⁺ = D); T สลับค่าเมื่อ T = 1; JK คงค่าสำหรับ 00 รีเซ็ตสำหรับ 01 เซตสำหรับ 10 และสลับค่าสำหรับ 11 ตัวนับฐานสอง n บิตมี 2ⁿ สถานะและนับมอดูโล 2ⁿ ตัวนับมอด N นับ 0, 1, …, N − 1 แล้ววนกลับเป็น 0 และต้องใช้ฟลิปฟล็อปจำนวน n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N แต่ละภาคของตัวนับริปเปิลลดความถี่ลงครึ่งหนึ่ง ดังนั้นเอาต์พุตสุดท้ายของตัวนับมอด N ทำงานที่ f_clk/N ตัวนับจอห์นสันที่มีฟลิปฟล็อป n ตัวมี 2n สถานะ ตัวนับริงมี n

รอบเต็ม

ทุก 11 พัลส์ทำให้ตัวนับกลับสู่สถานะเดิม

36 = 3·11 + 3

ค่านับหลังพัลส์ที่เหลือ

Q = (6 + 3) mod 11 = 9

Q = 1001₂

คำตอบ

Q = 9

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: 12⁻¹ mod 17 = 10

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยาย

เศษ r แต่ละตัวเขียนเป็น r ≡ t·12 (mod 17)

r = 17, t = 0

r = 12, q = 1, t = 1

r = 5, q = 2, t = −1

r = 2, q = 2, t = 3

r = 1, q = 2, t = −7

อินเวอร์ส

1 ≡ −7·12 (mod 17)

x = 10

ตรวจสอบ: 12·10 = 120 = 7·17 + 1

คำตอบ

12⁻¹ mod 17 = 10

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: 14⁵⁹³⁸⁴ mod 67 = 9

เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n

B · O(n)

13.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 13

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว K_n มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 25 = 2(L + 7) − 2

L = 13

คำตอบ

L = 13

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

14.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: W = 31

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

BE (1): เลือก

EF (2): เลือก

DE (5): เลือก

BD (9): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร

B · 8 คอลลิชันโดเมน 1 บรอดแคสต์โดเมน

19.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: p = 26

การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)

บิตโฮสต์ที่ต้องใช้

2⁵ − 2 = 30 < 39

2⁶ − 2 = 62 ≥ 39 → h = 6

ความยาวพรีฟิกซ์

p = 32 − 6 = 26

คำตอบ

p = /26

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: x = 40

ขนาดบล็อก

2³ = 8

ซับเน็ตของโฮสต์นี้

เครือข่าย: ⌊41/8⌋·8 = 40

บรอดคาสต์: 40 + 8 − 1 = 47

โฮสต์ที่ใช้ได้: 41 … 46

คำตอบ

x = 40

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals