พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ระบบเลข

ค่าประจำตำแหน่ง: ฐานสอง 2^k, ฐานแปด 8^k, ฐานสิบหก 16^k
เป็นเลขฐานสิบ: Σ d_k·b^k
จากเลขฐานสิบ: หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง: เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
two’s complement: กลับบิตแล้วบวก 1

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง: 2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว): p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

เกตพื้นฐาน: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
กฎของพีชคณิตแบบบูล: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
กฎของเดอมอร์แกน: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ลำดับของแผนที่คาร์โนห์: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์: สูญเสีย k ตัวแปร
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
ฟลิปฟล็อป: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
ตัวนับ: n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
ตัวนับริปเปิล: f_max = 1/(n·t_pd)
ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน: n และ 2n สถานะ

วิธีการ

สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ: Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
กราฟปรกติ: |E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า: |E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์: วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน K_n: (n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L: (Mᴸ)_ij

วิธีการ

เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

การแบ่งซับเน็ต IPv4

โฮสต์ต่อซับเน็ต: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ขนาดบล็อก: 256 − (mask octet)
ที่อยู่เครือข่าย: IP AND มาสก์
ที่อยู่บรอดคาสต์: IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม: 2ⁿ

2โจทย์ฝึก

1.ระบบเลขปานกลาง

เขียน −81 เป็นรูปแบบ two's complement 8 บิต อ่านรูปแบบนั้นเป็นเลขฐานสองแบบไม่มีเครื่องหมาย ค่าของมัน U ในเลขฐานสิบคือเท่าใด

N = −818 bit

U =

2.ระบบเลขยาก

ระบบต้องให้รหัสฐานสองความยาวเท่ากันแก่สิ่งของ 3273 ชิ้น ชิ้นละหนึ่งรหัส ต้องใช้อย่างน้อยกี่บิต b

3273

b = bit

3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง

สูตรใดสมมูลเชิงตรรกะกับ b ∧ (c ∨ a) ให้คลิกสูตรนั้น

b ∧ (c ∨ a)

1(b ∨ c) ∧ (b ∨ a)
2(b ∧ c) ∨ (b ∧ a)
3(b ∧ c) ∨ a
4b ∨ (c ∧ a)

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก

การอ้างเหตุผลที่มีสมมติฐาน q → r; p → r และบทสรุป q → p ไม่สมเหตุสมผล ให้คลิกแถวของตารางค่าความจริงที่เป็นตัวอย่างค้าน

q → rp → r∴ q → p

1p = 1, q = 1, r = 1
2p = 1, q = 1, r = 0
3p = 1, q = 0, r = 1
4p = 1, q = 0, r = 0
5p = 0, q = 1, r = 1
6p = 0, q = 1, r = 0
7p = 0, q = 0, r = 1
8p = 0, q = 0, r = 0

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง

มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1 มีอินพุตเลือก S₁ = A และ S₀ = B และอินพุตข้อมูลต่อเข้ากับ I₀ = 0, I₁ = C, I₂ = C′, I₃ = C จาก 8 ชุดของ A, B และ C มีกี่ชุดที่เอาต์พุต F = 1 จงหา N

I₀ = 0I₁ = CI₂ = C′I₃ = C

N =

6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก

ตัวนับจอห์นสัน (ริงบิด) ทำจากฟลิปฟล็อป D 8 ตัว โดยเอาต์พุตสุดท้ายที่กลับค่าป้อนกลับไปยังอินพุตแรก และเริ่มที่ศูนย์ทั้งหมด ผ่านกี่สถานะที่ต่างกัน N

n = 8

N =

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงหาฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์ φ(49) ซึ่งเป็นจำนวนของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 49 ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 49

n = 49 = 7²

φ(49) =

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

20x ≡ 12 (mod 24) มีกี่คำตอบ N ใน {0, 1, …, 23}

20x ≡ 12 (mod 24)

N =

9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = T(n/2) + O(1) มีผลเฉลยเป็นเท่าใด

AO(1)
BO(n log n)
CO(n)
DO(log n)

10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ขอบเขตใดถูกต้องสำหรับ log(n!)

AΘ(log n)
BΘ(n²)
CΘ(n log n)
DΘ(n)

11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

แทรกคีย์ 50, 30, 70, 20, 40 ตามลำดับนี้ลงใน binary search tree ว่าง ลูกซ้ายของ 30 คืออะไร

12.โครงสร้างข้อมูลยาก

กฎของต้นไม้แดง–ดำรับประกันอะไรเกี่ยวกับความสูงของต้นไม้ที่มี n คีย์

Aความสูงเท่ากับ log₂ n พอดี
Bความสูงไม่เกิน 2 log₂(n + 1)
Cความสูงไม่เกิน n / 2
Dความสูงไม่เกิน log₂ n + 1

13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 6|E| = 8

1วงจรออยเลอร์
2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

14.ทฤษฎีกราฟยาก

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F

d(F) =

15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง

ข้อใดเกี่ยวกับ HAVING ถูกต้อง?

Aใช้เรียงลำดับผลลัพธ์
Bใช้ร่วมกับ GROUP BY ไม่ได้
Cต้องมาก่อน WHERE ในคำสั่ง SELECT
Dใช้ฟังก์ชันรวมค่าเพื่อกรองกลุ่มได้

16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก

กำหนดการพึ่งพาเชิงฟังก์ชัน A → B, B → C และ C → D บน R(A, B, C, D) ตัวปิด (closure) A⁺ คืออะไร?

A{A, B, C, D}
B{A}
C{A, B, C}
D{A, B}

17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง

เมื่อใช้พาริตีคู่ (even parity) บิตพาริตีใดที่เพิ่มให้บิตข้อมูล 1011001?

18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก

ปัญหานับถึงอนันต์ (count-to-infinity) เกิดในโพรโทคอลเลือกเส้นทางชนิดใด และอะไรช่วยแก้ไข?

Aการกำหนดเส้นทางแบบสถิต; การเพิ่มเส้นทางเริ่มต้น
Bแบบเวกเตอร์ระยะทาง; split horizon และ poison reverse
Cแบบลิงก์สเตต; การ flood การอัปเดตลิงก์
Dแบบเวกเตอร์เส้นทาง; เส้นทาง AS ที่ยาวขึ้น

19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง

เครือข่าย 10.125.106.0/24 ถูกแบ่งเป็นซับเน็ตขนาดเท่ากันด้วยพรีฟิกซ์ /28 มีกี่ซับเน็ต N

10.125.106.0/24/28

N =

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก

เราเตอร์มีเส้นทางไปยังเครือข่ายเหล่านี้: 10.109.113.0/24, 10.109.114.0/24, 10.109.115.0/24, 10.109.116.0/24, 10.109.117.0/24, 10.109.118.0/24, 10.109.119.0/24, 10.109.120.0/24 ความยาวพรีฟิกซ์ยาวที่สุด p ของเส้นทางสรุปเส้นเดียวที่ครอบคลุมทั้งหมดคือเท่าใด

10.109.113.0/24 … 10.109.120.0/24

p =

3สารละลาย

1.ระบบเลข

คำตอบ: U = 175

ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ

กลับบิตแล้วบวกหนึ่ง

81 = 0101 0001

ที่กลับบิตแล้ว: 1010 1110

+1 → 1010 1111

อ่านเป็นแบบไม่มีเครื่องหมาย

1010 1111₂ = 256 − 81 = 175

คำตอบ

U = 175

2.ระบบเลข

คำตอบ: b = 12 bit

กำลังของสอง

2¹¹ = 2048 < 3273

2¹² = 4096 ≥ 3273

คำตอบ

b = 12

3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: (b ∧ c) ∨ (b ∧ a)

ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

กฎ

∧ แจกแจงเหนือ ∨: a ∧ (b ∨ c) ≡ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)

b ∧ (c ∨ a) ≡ (b ∧ c) ∨ (b ∧ a)

ตรวจสอบด้วยตารางค่าความจริง

a = 1, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 1, b = 1, c = 0: 1 | 1 1 1 1

a = 1, b = 0, c = 1: 0 | 1 0 1 1

a = 1, b = 0, c = 0: 0 | 0 0 1 0

a = 0, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 0, b = 1, c = 0: 0 | 1 0 0 1

a = 0, b = 0, c = 1: 0 | 0 0 0 0

a = 0, b = 0, c = 0: 0 | 0 0 0 0

คำตอบ

(b ∧ c) ∨ (b ∧ a)

คอลัมน์หลังเส้นคั่นคือตัวเลือกตามลำดับที่แสดง

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: p = 0, q = 1, r = 1

ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล

สมมติฐานและบทสรุปทีละแถว

p = 1, q = 1, r = 1: 1 1 | 1

p = 1, q = 1, r = 0: 0 0 | 1

p = 1, q = 0, r = 1: 1 1 | 1

p = 1, q = 0, r = 0: 1 0 | 1

p = 0, q = 1, r = 1: 1 1 | 0

p = 0, q = 1, r = 0: 0 1 | 0

p = 0, q = 0, r = 1: 1 1 | 1

p = 0, q = 0, r = 0: 1 1 | 1

ตัวอย่างค้าน

p = 0, q = 1, r = 1

คำตอบ

p = 0, q = 1, r = 1

การอ้างเหตุผลรูปแบบนี้ดูเหมือนกฎที่สมเหตุสมผล แต่แถวเดียวก็เพียงพอที่จะแสดงว่าไม่ใช่

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: N = 3

มัลติเพล็กเซอร์: มัลติเพล็กเซอร์ 2ⁿ ต่อ 1 ส่งอินพุตข้อมูลหนึ่งตัวไปยังเอาต์พุต สายเลือก (select) เมื่ออ่านเป็นเลขฐานสองจะเลือกว่าตัวใด สำหรับ MUX 4 ต่อ 1 ที่สายเลือก S₁S₀ = AB จะได้ F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃ การต่ออินพุตข้อมูลเข้ากับ 0, 1, C หรือ C′ ทำให้ MUX สร้างฟังก์ชันใดก็ได้ของ A, B และ C ซึ่งเป็นวิธีที่พบบ่อยในการสร้างตรรกะด้วยชิปตัวเดียว

นิพจน์เอาต์พุต

F = A′BC + AB′C′ + ABC

แถวที่ F = 1

ABC = 011, 100, 111

N = 3

คำตอบ

N = 3

6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: N = 16

ฟลิปฟล็อปและตัวนับ: ฟลิปฟล็อปเปลี่ยนค่าเฉพาะที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกา D คัดลอกอินพุต (Q⁺ = D); T สลับค่าเมื่อ T = 1; JK คงค่าสำหรับ 00 รีเซ็ตสำหรับ 01 เซตสำหรับ 10 และสลับค่าสำหรับ 11 ตัวนับฐานสอง n บิตมี 2ⁿ สถานะและนับมอดูโล 2ⁿ ตัวนับมอด N นับ 0, 1, …, N − 1 แล้ววนกลับเป็น 0 และต้องใช้ฟลิปฟล็อปจำนวน n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N แต่ละภาคของตัวนับริปเปิลลดความถี่ลงครึ่งหนึ่ง ดังนั้นเอาต์พุตสุดท้ายของตัวนับมอด N ทำงานที่ f_clk/N ตัวนับจอห์นสันที่มีฟลิปฟล็อป n ตัวมี 2n สถานะ ตัวนับริงมี n

ลำดับสำหรับฟลิปฟล็อป 8 ตัว

00000000 → 10000000 → 11000000 → 11100000 → 11110000 → 11111000 → 11111100 → 11111110 → 11111111 → 01111111 → 00111111 → 00011111 → 00001111 → 00000111 → 00000011 → 00000001

จำนวนสถานะ

N = 16

คำตอบ

N = 16

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: φ(49) = 42

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ตัวประกอบเฉพาะ

49 = 7²

โทเทียนต์

φ(49) = 49 − 7 = 42

คำตอบ

φ(49) = 42

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: N = 4

หารด้วย gcd

gcd(20, 24) = 4

5x ≡ 3 (mod 6)

แก้ความสอดคล้องที่ลดรูปแล้ว

5⁻¹ ≡ 5 (mod 6) → x ≡ 3 (mod 6)

คำตอบมอดูโล 24

x ∈ {3, 9, 15, 21}

ดีกรี

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1

จุดยอดคี่

C, D, E, F → 4

ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

คำตอบ

ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

14.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 22

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 5, C: 9

B (5): E: 14

C (9): E: 10

E (10): D: 20, F: 22

D (20)

F (22)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → C → E → F

บิตที่ยืมมา

28 − 24 = 4

จำนวนซับเน็ต

N = 2⁴ = 16

คำตอบ

N = 16

แต่ละซับเน็ต /28 มีโฮสต์ที่ใช้ได้ 2⁴ − 2 = 14 โฮสต์

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: p = 20

การสรุปเส้นทาง: เส้นทางสรุป a.b.c.0/p ครอบคลุมทุกเครือข่ายที่ p บิตแรกตรงกัน เขียนออกเท็ตที่ต่างกันของเครือข่ายแรกและสุดท้ายเป็นเลขฐานสอง จำนวนบิตนำหน้าที่ตรงกัน บวกบิตของออกเท็ตก่อนหน้า คือพรีฟิกซ์สรุปที่ยาวที่สุด

เทียบบิต

113 = 01110001

120 = 01111000

บิตนำหน้าที่ตรงกัน: 4

ความยาวพรีฟิกซ์

p = 16 + 4 = 20

คำตอบ

p = /20

เส้นทางสรุป: 10.109.112.0/20 (ครอบคลุมเครือข่าย 8 เครือข่ายที่ไม่อยู่ในรายการด้วย)

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals