พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ระบบเลข

ค่าประจำตำแหน่ง
ฐานสอง 2k, ฐานแปด 8k, ฐานสิบหก 16k
เป็นเลขฐานสิบ
Σ dk·bk
จากเลขฐานสิบ
หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง
เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
two’s complement
กลับบิตแล้วบวก 1

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง
2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

  1. นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
  2. ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
  3. ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
  4. สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
  5. การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

เกตพื้นฐาน
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
กฎของพีชคณิตแบบบูล
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
กฎของเดอมอร์แกน
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ลำดับของแผนที่คาร์โนห์
00, 01, 11, 10 (Gray code)
กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์
สูญเสีย k ตัวแปร
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
ฟลิปฟล็อป
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
ตัวนับ
n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
ตัวนับริปเปิล
fmax = 1/(n·tpd)
ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน
n และ 2n สถานะ

วิธีการ

  1. สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
  2. สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
  3. ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
  4. สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

  1. ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
  2. สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
  3. สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
  4. แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
  5. สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

การแบ่งซับเน็ต IPv4

โฮสต์ต่อซับเน็ต
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
ขนาดบล็อก
256 − (mask octet)
ที่อยู่เครือข่าย
IP AND มาสก์
ที่อยู่บรอดคาสต์
IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม
2n

2โจทย์ฝึก

1.ระบบเลขปานกลาง
ค่าประจำตำแหน่งใน two's complement1−12816403211618041201

รูปแบบ 8 บิต 1101 1010 เก็บจำนวนเต็มมีเครื่องหมายแบบ two's complement ค่าของมัน N ในเลขฐานสิบคือเท่าใด

1101 10108 bit
N =
2.ระบบเลขยาก
16 บิต two's complement, N = ??เครื่องหมาย???????????????

จำนวนเต็มที่ติดลบมากที่สุด N ที่เก็บได้ใน two's complement 16 บิตคือเท่าใด

16 bit
N =
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง
ซ้ำซ้อน (tautology)ขัดแย้ง (contradiction)contingency

(r ∧ (r → q)) → q เป็น tautology, contradiction หรือ contingency ให้คลิกคำตอบของคุณ

(r ∧ (r → q)) → q
  1. 1ซ้ำซ้อน (tautology)
  2. 2ขัดแย้ง (contradiction)
  3. 3contingency
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก
∃x ∃y (¬R(x, y) ∧ ¬R(y, x))∀x ∀y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))∃x ∃y (R(x, y) → ¬R(y, x))

ประโยคใดสมมูลกับ ¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) เมื่อย้ายนิเสธเข้าด้านในสุด ให้คลิกประโยคนั้น

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x))
  1. 1∃x ∃y (¬R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
  2. 2∀x ∀y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
  3. 3∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
  4. 4∃x ∃y (R(x, y) → ¬R(y, x))
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง
ABCD00011110000111101111

ในแผนที่คาร์โนห์นี้มี 1 เพียงตัวเดียวพอดีที่ไม่มี 1 อยู่ติดกัน จึงยังเป็นกลุ่มหนึ่งเซลล์ (มินเทอมเต็มที่มีสี่ลิเทอรัล) ในรูป SOP ที่น้อยที่สุด เพื่อนบ้านข้ามขอบแผนที่นับด้วย ให้คลิกเซลล์นั้น

F = Σm(6, 9, 10, 11)
  1. 1AB = 00, CD = 00
  2. 2AB = 00, CD = 01
  3. 3AB = 00, CD = 11
  4. 4AB = 00, CD = 10
  5. 5AB = 01, CD = 00
  6. 6AB = 01, CD = 01
  7. 7AB = 01, CD = 11
  8. 8AB = 01, CD = 10
  9. 9AB = 11, CD = 00
  10. 10AB = 11, CD = 01
  11. 11AB = 11, CD = 11
  12. 12AB = 11, CD = 10
  13. 13AB = 10, CD = 00
  14. 14AB = 10, CD = 01
  15. 15AB = 10, CD = 11
  16. 16AB = 10, CD = 10
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก
ABCD000111100001111000111302X4151716012113015X14X809111010

สำหรับ F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 5, 6, 7, 11, 13) + d(4, 8, 14) โดย d แทนเงื่อนไขไม่สนใจ จงหาจำนวน N ของไพรม์อิมพลิแคนต์จำเป็น

F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 5, 6, 7, 11, 13) + d(4, 8, 14)
N =
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงหาตัวผกผันของ 74 มอดูโล 97: จำนวน x ที่ 0 < x < 97 และ 74·x ≡ 1 (mod 97)

a = 74n = 97
74−1 mod 97 =
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

ใช้การยกกำลังสองซ้ำเพื่อหา 5354 mod 95

a = 53k = 54n = 95
5354 mod 95 =
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

คุณเรียงอาร์เรย์ n สมาชิกหนึ่งครั้ง แล้วตอบคำถามการเป็นสมาชิก k ข้อด้วยการค้นหาแบบทวิภาค ต้นทุนรวมเท่าใด

  1. AO(n + k)
  2. BO(nk)
  3. CO(n log n + k log n)
  4. DO(k n log n)
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ข้อใดเกี่ยวกับการเลือกสมาชิกที่เล็กที่สุดอันดับที่ k ของอาร์เรย์ที่ไม่เรียงลำดับถูกต้อง

  1. Aการเลือกทำได้ใน O(n²) เท่านั้น
  2. BQuickselect ทำงานใน O(n) คาดหมาย และ median-of-medians รับประกัน O(n) ในกรณีเลวร้ายที่สุด
  3. CQuickselect ทำงานใน O(log n) ในกรณีเลวร้ายที่สุด เพราะเรียกซ้ำเพียงฝั่งเดียวของตัวหมุน
  4. Dการเลือกต้องใช้ Ω(n log n) เสมอเพราะต้องเรียงลำดับ
11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อตารางแฮช rehash หลังตัวประกอบการโหลดเกินเกณฑ์

  1. Aย้ายเฉพาะคีย์ที่ชนกันไปยังลิสต์ล้นใหม่ที่ท้ายตาราง
  2. Bจัดสรรตารางใหม่ที่ใหญ่กว่าและแทรกทุกคีย์ใหม่
  3. Cคีย์เก่าที่สุดถูกลบเพื่อให้มีที่ว่าง
  4. Dคีย์ที่มีอยู่ถูกเรียงในที่เดิม
12.โครงสร้างข้อมูลยาก

Fenwick tree (binary indexed tree) บนอาร์เรย์ที่มีตัวเลข n ตัว รองรับการดำเนินการใดใน O(log n)

  1. Aการเรียงอาร์เรย์และการค้นหาแบบทวิภาค
  2. Bการแทรกสมาชิกที่ตำแหน่งใดก็ได้
  3. Cคำถามผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตสมาชิกเดียว
  4. Dการหามัธยฐานใน O(1)
13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEFGวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 7|E| = 8
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
14.ทฤษฎีกราฟยาก
1253176161512ABCDEFG

จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก

|V| = 7|E| = 9
W =
15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง

เหตุใดจึงสร้างดัชนี (index) บนคอลัมน์?

  1. Aเพื่อเร่งการค้นหาและการเชื่อมบนคอลัมน์เหล่านั้น
  2. Bเพื่อป้องกันค่า NULL
  3. Cเพื่อให้การแทรกและการแก้ไขข้อมูลบนคอลัมน์เหล่านั้นเร็วขึ้น
  4. Dเพื่อประหยัดพื้นที่ดิสก์
16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก

ตาราง b มีค่า 1, 2 และ NULL ในคอลัมน์ y SELECT * FROM a WHERE x NOT IN (SELECT y FROM b) คืนอะไร?

  1. Aแถวของ a ที่ x ไม่ใช่ 1 หรือ 2
  2. Bไม่มีแถวเลย
  3. Cทุกแถวของ a
  4. Dเฉพาะแถวของ a ที่ x เป็น NULL
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง

ARP ทำหน้าที่อะไร?

  1. Aแปลงชื่อโดเมน
  2. Bกำหนดที่อยู่ IP ให้โฮสต์โดยอัตโนมัติเมื่อเข้าร่วมเครือข่ายท้องถิ่น
  3. Cหาที่อยู่ MAC ที่เป็นของที่อยู่ IP หนึ่งในเครือข่ายท้องถิ่น
  4. Dกำหนดเส้นทางแพ็กเก็ตบนอินเทอร์เน็ต
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก

เหตุใดจึงมีการเพิ่มตัวเลือกการปรับสเกลหน้าต่าง (window scale) ของ TCP?

  1. Aฟิลด์หน้าต่าง 16 บิตจำกัดหน้าต่างไว้ที่ 65,535 ไบต์ ซึ่งเล็กเกินไปสำหรับเส้นทางไกลที่เร็ว
  2. BUDP ต้องมีวิธีควบคุมอัตราการส่งบนเส้นทางที่คับคั่ง
  3. Cหากไม่มี TCP จะตรวจจับเซกเมนต์ที่สูญหายบนลิงก์ระยะไกลไม่ได้
  4. Dฟิลด์หน้าต่าง 32 บิตใหญ่เกินไปและสิ้นเปลืองพื้นที่ส่วนหัวในทุกเซกเมนต์ TCP ที่ส่ง
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง
/?11111111111111111111100000000000บิตเครือข่ายบิตโฮสต์

แผนกหนึ่งต้องการที่อยู่โฮสต์ 1399 ที่อยู่ในซับเน็ตเดียว ความยาวพรีฟิกซ์ที่ยาวที่สุด p (ซับเน็ตเล็กที่สุด) ที่ใหญ่พอคือเท่าใด

1399 hosts
p =
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก
ออคเต็ตสุดท้าย = 252112816413211618140201เครือข่ายโฮสต์

โฮสต์มีที่อยู่ 10.20.78.252/27 ออคเต็ตที่สี่ x ของที่อยู่โฮสต์ที่ใช้ได้สุดท้ายในซับเน็ตคือเท่าใด

10.20.78.252/27
x =

3สารละลาย

1.ระบบเลข

คำตอบ: N = −38

ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ

บวกค่าประจำตำแหน่ง

บิตอื่นยังคงมีค่าเป็นบวกตามปกติ

−128 + 64 + 16 + 8 + 2 = −38

คำตอบ

N = −38
2.ระบบเลข

คำตอบ: N = −32768

ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ

ค่าที่ติดลบมากที่สุด

−215 = −32768

คำตอบ

N = −32768
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: ซ้ำซ้อน (tautology)

ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

ตารางค่าความจริงทีละแถว

q = 1, r = 1: r → q = 1, r ∧ (r → q) = 1, (r ∧ (r → q)) → q = 1
q = 1, r = 0: r → q = 1, r ∧ (r → q) = 0, (r ∧ (r → q)) → q = 1
q = 0, r = 1: r → q = 0, r ∧ (r → q) = 0, (r ∧ (r → q)) → q = 1
q = 0, r = 0: r → q = 1, r ∧ (r → q) = 0, (r ∧ (r → q)) → q = 1

จัดประเภท

(r ∧ (r → q)) → q: 1, 1, 1, 1
เป็น 1 ทุกแถว: tautology

คำตอบ

ซ้ำซ้อน (tautology)
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล

ย้ายนิเสธเข้าด้านใน

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) ≡ ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

คำตอบ

∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

ตัวเลือกอื่นอาจคงตัวบ่งปริมาณไว้ไม่เปลี่ยน เปลี่ยนลำดับของตัวบ่งปริมาณ หรือใส่นิเสธให้สูตรด้านในผิด

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: AB = 01, CD = 10

แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด

เพื่อนบ้านของแต่ละ 1

1 ที่มี 1 อยู่ติดกันเข้ากลุ่มสองเซลล์หรือมากกว่าได้

m6: m7, m4, m2, m14 → 0
ABCD00011110000111101111

1 ที่อยู่โดดเดี่ยว

m6 = A′BCD′ → AB = 01, CD = 10

คำตอบ

AB = 01, CD = 10
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: N = 3

แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด

ไพรม์อิมพลิแคนต์

กลุ่มที่ใหญ่ที่สุดที่สร้างได้จาก 1 และ X

B′CD, BC′D, BCD′, A′D, A′B
ABCD000111100001111000111302X4151716012113015X14X809111010

ไพรม์อิมพลิแคนต์จำเป็น

B′CD, BC′D, A′D
N = 3

คำตอบ

N = 3
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: 74−1 mod 97 = 59

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยาย

เศษ r แต่ละตัวเขียนเป็น r ≡ t·74 (mod 97)

r = 97, t = 0
r = 74, q = 1, t = 1
r = 23, q = 3, t = −1
r = 5, q = 4, t = 4
r = 3, q = 1, t = −17
r = 2, q = 1, t = 21
r = 1, q = 2, t = −38

อินเวอร์ส

1 ≡ −38·74 (mod 97)
x = 59
ตรวจสอบ: 74·59 = 4366 = 45·97 + 1

คำตอบ

74−1 mod 97 = 59
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: 5354 mod 95 = 39

เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n

เลขชี้กำลังฐานสอง

54 = 1101102 = 32 + 16 + 4 + 2

การยกกำลังสองซ้ำ

531 ≡ 53 (mod 95)
532 ≡ 54 (mod 95)
534 ≡ 66 (mod 95)
538 ≡ 81 (mod 95)
5316 ≡ 6 (mod 95)
5332 ≡ 36 (mod 95)

คูณเลขยกกำลังที่ต้องใช้

5354 ≡ 54·66·6·36 ≡ 39 (mod 95)

คำตอบ

5354 mod 95 = 39
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · O(n log n + k log n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเรียงใช้ O(n log n) และแต่ละคำถามใช้ O(log n) ดีกว่าการสแกนเชิงเส้น k ครั้ง (O(nk)) เมื่อ k มาก

คำตอบ

C · O(n log n + k log n)
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · Quickselect ทำงานใน O(n) คาดหมาย และ median-of-medians รับประกัน O(n) ในกรณีเลวร้ายที่สุด

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

งานคาดหมายของ Quickselect คือ n + n/2 + n/4 + ... = O(n) เมื่อสุ่มตัวหลัก การเลือกตัวหลักด้วย median of medians ทำให้กรณีเลวร้ายที่สุดเป็นเชิงเส้น

คำตอบ

B · Quickselect ทำงานใน O(n) คาดหมาย และ median-of-medians รับประกัน O(n) ในกรณีเลวร้ายที่สุด
11.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · จัดสรรตารางใหม่ที่ใหญ่กว่าและแทรกทุกคีย์ใหม่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เนื่องจากดัชนีคำนวณแบบ modulo ขนาดตาราง ทุกคีย์ต้องถูกแฮชใหม่ลงตารางที่ใหญ่ขึ้น เมื่อเพิ่มเป็นสองเท่า ยังคงเป็น O(1) แบบกระจายต้นทุน

คำตอบ

B · จัดสรรตารางใหม่ที่ใหญ่กว่าและแทรกทุกคีย์ใหม่
12.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · คำถามผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตสมาชิกเดียว

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Fenwick tree เก็บผลรวมบางส่วนของช่วงที่กำหนดโดยบิตต่ำของแต่ละดัชนี ทั้งผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตจุดจึงใช้ O(log n)

คำตอบ

C · คำถามผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตสมาชิกเดียว
13.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 2

จุดยอดคี่

B, F → 2
ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

คำตอบ

ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

ทางเดินออยเลอร์เริ่มที่จุดยอดคี่จุดหนึ่งและจบที่อีกจุดหนึ่ง

14.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: W = 39

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

AB (1): เลือก
AC (2): เลือก
DF (3): เลือก
BC (5): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
GB (6): เลือก
GE (12): เลือก
GD (15): เลือก

น้ำหนักรวม

W = 1 + 2 + 3 + 6 + 12 + 15 = 39

คำตอบ

W = 39
15.ฐานข้อมูลและ SQL

คำตอบ: A · เพื่อเร่งการค้นหาและการเชื่อมบนคอลัมน์เหล่านั้น

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ดัชนี (มักเป็น B-tree) เร่งการค้นหา แต่ใช้พื้นที่และทำให้การแทรกและการแก้ไขช้าลง เพราะต้องรักษาดัชนีให้ทันสมัย

คำตอบ

A · เพื่อเร่งการค้นหาและการเชื่อมบนคอลัมน์เหล่านั้น
16.ฐานข้อมูลและ SQL

คำตอบ: B · ไม่มีแถวเลย

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเปรียบเทียบกับ NULL เป็น UNKNOWN เงื่อนไขทั้งหมดจึงไม่เคยเป็น TRUE การใช้ NOT EXISTS หรือกรอง NULL ออกหลีกเลี่ยงกับดักนี้ได้

คำตอบ

B · ไม่มีแถวเลย
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์

คำตอบ: C · หาที่อยู่ MAC ที่เป็นของที่อยู่ IP หนึ่งในเครือข่ายท้องถิ่น

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ARP broadcast ถามว่า "ใครมี IP นี้?" และเจ้าของตอบด้วยที่อยู่ MAC ของตน เพื่อให้ส่งเฟรมในเครือข่ายท้องถิ่นได้

คำตอบ

C · หาที่อยู่ MAC ที่เป็นของที่อยู่ IP หนึ่งในเครือข่ายท้องถิ่น
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์

คำตอบ: A · ฟิลด์หน้าต่าง 16 บิตจำกัดหน้าต่างไว้ที่ 65,535 ไบต์ ซึ่งเล็กเกินไปสำหรับเส้นทางไกลที่เร็ว

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ส่วนหัวเดิมรองรับข้อมูลที่ยังไม่ได้รับการตอบรับได้สูงสุด 65,535 ไบต์ การปรับสเกลหน้าต่างคูณค่านี้ด้วยกำลังของสองเพื่อให้เติมเส้นทางที่มีผลคูณแบนด์วิดท์–ความล่าช้าสูงได้

คำตอบ

A · ฟิลด์หน้าต่าง 16 บิตจำกัดหน้าต่างไว้ที่ 65,535 ไบต์ ซึ่งเล็กเกินไปสำหรับเส้นทางไกลที่เร็ว
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: p = 21

การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)

บิตโฮสต์ที่ต้องใช้

210 − 2 = 1022 < 1399
211 − 2 = 2046 ≥ 1399 → h = 11

ความยาวพรีฟิกซ์

p = 32 − 11 = 21

คำตอบ

p = /21
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: x = 254

การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)

ขนาดบล็อก

25 = 32

ซับเน็ตของโฮสต์นี้

เครือข่าย: ⌊252/32⌋·32 = 224
บรอดคาสต์: 224 + 32 − 1 = 255
โฮสต์ที่ใช้ได้: 225 … 254

คำตอบ

x = 254

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals