พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ระบบเลข

ค่าประจำตำแหน่ง: ฐานสอง 2^k, ฐานแปด 8^k, ฐานสิบหก 16^k
เป็นเลขฐานสิบ: Σ d_k·b^k
จากเลขฐานสิบ: หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง: เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
two’s complement: กลับบิตแล้วบวก 1

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง: 2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว): p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

เกตพื้นฐาน: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
กฎของพีชคณิตแบบบูล: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
กฎของเดอมอร์แกน: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ลำดับของแผนที่คาร์โนห์: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์: สูญเสีย k ตัวแปร
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
ฟลิปฟล็อป: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
ตัวนับ: n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
ตัวนับริปเปิล: f_max = 1/(n·t_pd)
ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน: n และ 2n สถานะ

วิธีการ

สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ: Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
กราฟปรกติ: |E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า: |E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์: วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน K_n: (n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L: (Mᴸ)_ij

วิธีการ

เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

การแบ่งซับเน็ต IPv4

โฮสต์ต่อซับเน็ต: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ขนาดบล็อก: 256 − (mask octet)
ที่อยู่เครือข่าย: IP AND มาสก์
ที่อยู่บรอดคาสต์: IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม: 2ⁿ

2โจทย์ฝึก

1.ระบบเลขปานกลาง

ตั้งบิตให้เก็บ −6 ใน two's complement 8 บิต อ่านเป็นจำนวนไม่มีเครื่องหมาย ค่าของรูปแบบ U เป็นเท่าใด

N = −68 bit

U =

2.ระบบเลขยาก

ระบบต้องให้รหัสฐานสองความยาวเท่ากันแก่สิ่งของ 3773 ชิ้น ชิ้นละหนึ่งรหัส ต้องใช้อย่างน้อยกี่บิต b

3773

b = bit

3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง

สูตรใดสมมูลเชิงตรรกะกับ ¬(a ∨ c) ให้คลิกสูตรนั้น

¬(a ∨ c)

1a ∨ ¬c
2¬a ∧ c
3¬a ∨ ¬c
4¬a ∧ ¬c

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก

กำหนดสมมติฐาน c → a; c บทสรุปใดตามมาจากสมมติฐานเหล่านี้ ให้คลิกบทสรุปนั้น

c → ac

1¬c
2c ∧ ¬a
3¬a
4a

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง

ในแผนที่คาร์โนห์นี้มี 1 เพียงตัวเดียวพอดีที่ไม่มี 1 อยู่ติดกัน จึงยังเป็นกลุ่มหนึ่งเซลล์ (มินเทอมเต็มที่มีสี่ลิเทอรัล) ในรูป SOP ที่น้อยที่สุด เพื่อนบ้านข้ามขอบแผนที่นับด้วย ให้คลิกเซลล์นั้น

F = Σm(0, 1, 4, 5, 6, 11, 12)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก

จงหารูป SOP ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 13) + d(4, 12, 15) โดย d แทนเงื่อนไขไม่สนใจ มีกี่พจน์ผลคูณ N

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 13) + d(4, 12, 15)

N =

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด x ที่ x ≡ 3 (mod 9) และ x ≡ 2 (mod 13)

x ≡ 3 (mod 9)x ≡ 2 (mod 13)

x =

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

43 เป็นจำนวนเฉพาะ ใช้ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาเพื่อหา 7⁷⁸⁵¹ mod 43

p = 43k = 7851

7⁷⁸⁵¹ mod 43 =

9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

อัลกอริทึมการเรียงลำดับใดเป็นแบบเสถียร (stable)

AHeap sort
BQuicksort (แบบทำในที่เดิมทั่วไป)
CSelection sort (แบบทั่วไป)
DMerge sort

10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

การคำนวณจำนวนฟีโบนักชีตัวที่ n ด้วยลูปที่เก็บเพียงสองค่าล่าสุดมีต้นทุนด้านเวลาและพื้นที่เท่าใด

Aเวลา O(n) และพื้นที่ O(1)
Bเวลา O(2ⁿ) และพื้นที่ O(1)
Cเวลา O(log n) และพื้นที่ O(n)
Dเวลา O(n) และพื้นที่ O(n)

11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อตารางแฮช rehash หลังตัวประกอบการโหลดเกินเกณฑ์

Aจัดสรรตารางใหม่ที่ใหญ่กว่าและแทรกทุกคีย์ใหม่
Bคีย์ที่มีอยู่ถูกเรียงในที่เดิม
Cย้ายเฉพาะคีย์ที่ชนกันไปยังลิสต์ล้นใหม่ที่ท้ายตาราง
Dคีย์เก่าที่สุดถูกลบเพื่อให้มีที่ว่าง

12.โครงสร้างข้อมูลยาก

อัลกอริทึมของ Kahn สำหรับการเรียงทอพอโลยีลบจุดยอดที่มี in-degree 0 ซ้ำ ๆ โครงสร้างใดเก็บจุดยอดเหล่านั้น

Aคิว (หรือคอลเล็กชันใดก็ได้) ของจุดยอดที่มี in-degree เป็น 0
Bmax-heap เรียงตาม out-degree
Cสแตกของเส้นเชื่อมที่เยี่ยมทั้งหมด
Dเมทริกซ์ประชิดที่บันทึกว่าจุดยอดใดถูกลบไปแล้ว

13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 2 จุดยอดดีกรี 3, 3 จุดยอดดีกรี 2 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

2 × deg 33 × deg 2

L =

14.ทฤษฎีกราฟยาก

ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเริ่มจาก A ให้คลิกจุดยอดที่ถูกยืนยัน (ทำให้เป็นค่าถาวร) ในรอบที่ 6 โดย A เองคือรอบที่ 1

เริ่มต้น: Aรอบ 6

15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง

คิวรีใดคืนเงินเดือนสูงสุดในแต่ละแผนก?

ASELECT dept, salary FROM emp WHERE salary = MAX(salary)
BSELECT MAX(dept), salary FROM emp GROUP BY salary
CSELECT dept, MAX(salary) FROM emp GROUP BY dept
DSELECT dept, MAX(salary) FROM emp ORDER BY dept

16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก

ดัชนีครอบคลุม (covering index) สำหรับคิวรีคืออะไร?

Aดัชนีที่มีทุกคอลัมน์ที่คิวรีต้องการ จึงไม่ต้องอ่านตัวตาราง
Bดัชนีที่ครอบคลุมทุกคอลัมน์ของทุกตาราง
Cดัชนีบนคีย์หลักเท่านั้น
Dดัชนีที่สร้างใหม่ทุกคืน

17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง

ซับเน็ตมาสก์ 255.255.255.0 ตรงกับสัญกรณ์ CIDR ใด?

A/32
B/24
C/8
D/16

18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก

โฮสต์ใน VLAN 10 และ VLAN 20 บนสวิตช์เดียวกันสื่อสารกันไม่ได้ ต้องมีอะไร?

Aฮับที่เชื่อมกับทั้งสอง VLAN
Bเราเตอร์หรือสวิตช์ชั้น 3 เพื่อกำหนดเส้นทางระหว่าง VLAN
Cที่อยู่ MAC เดียวกันบนโฮสต์ทั้งสอง
Dสายเคเบิลที่ยาวขึ้นระหว่างโฮสต์

19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง

เครือข่าย 192.168.10.0/24 ต้องแบ่งเป็นซับเน็ตขนาดเท่ากันอย่างน้อย 3 ซับเน็ต หากยืมบิตให้น้อยที่สุด แต่ละซับเน็ตมีโฮสต์ที่ใช้ได้กี่เครื่อง H

192.168.10.0/243 subnets

H =

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก

โฮสต์มีที่อยู่ 172.20.40.67/22 ออกเท็ตที่สาม x ของที่อยู่เครือข่ายของมันคือเท่าใด

172.20.40.67/22

x =

3สารละลาย

1.ระบบเลข

คำตอบ: U = 250

การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน

กลับบิตแล้วบวกหนึ่ง

6 = 0000 0110

ที่กลับบิตแล้ว: 1111 1001

+1 → 1111 1010

¬a ∧ ¬c

คอลัมน์หลังเส้นคั่นคือตัวเลือกตามลำดับที่แสดง

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: a

ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล

แถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็นจริง

a = 1, c = 1: ¬c = 0, c ∧ ¬a = 0, ¬a = 0, a = 1

สรุป

a (โมดัสโพเนนส์)

คำตอบ

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: AB = 10, CD = 11

แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด

เพื่อนบ้านของแต่ละ 1

1 ที่มี 1 อยู่ติดกันเข้ากลุ่มสองเซลล์หรือมากกว่าได้

m11: m10, m9, m15, m3 → 0

1 ที่อยู่โดดเดี่ยว

m11 = AB′CD → AB = 10, CD = 11

คำตอบ

AB = 10, CD = 11

6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: N = 3

ไพรม์อิมพลิแคนต์

กลุ่มที่ใหญ่ที่สุดที่สร้างได้จาก 1 และ X

C′D′, B′D′, BD, BC′, A′D′, A′C, A′B

การครอบคลุมที่น้อยที่สุด

F = B′D′ + BD + A′C

N = 3

คำตอบ

N = 3

มีการจัดกลุ่มอีกแบบที่มีขนาดเท่ากัน ซึ่งมีจำนวนพจน์และลิเทอรัลเท่ากัน

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: x = 93

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ความสอดคล้องข้อแรก

x = 3 + 9k

ความสอดคล้องข้อที่สอง

3 + 9k ≡ 2 (mod 13) → 9k ≡ 12 (mod 13)

k ≡ 3·12 ≡ 10 (mod 13)

ผลลัพธ์

x = 3 + 9·10 = 93

x = 93

ตรวจสอบ: 93 mod 9 = 3, 93 mod 13 = 2

คำตอบ

x = 93

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: 7⁷⁸⁵¹ mod 43 = 42

เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n

A · คิว (หรือคอลเล็กชันใดก็ได้) ของจุดยอดที่มี in-degree เป็น 0

13.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 4

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว K_n มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 12 = 2(L + 5) − 2

L = 4

คำตอบ

L = 4

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

14.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: E

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

1. A (0): B: 13, C: 6

2. C (6): E: 18, G: 10

3. G (10): B: 12, D: 16

4. B (12)

5. D (16): F: 20

6. E (18)

VLAN ถูกแยกที่ชั้น 2 ทราฟฟิกระหว่างกันจึงต้องถูกกำหนดเส้นทาง เช่น โดยเราเตอร์บนทรังก์ ("router on a stick") หรือสวิตช์ชั้น 3

คำตอบ

B · เราเตอร์หรือสวิตช์ชั้น 3 เพื่อกำหนดเส้นทางระหว่าง VLAN

19.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: H = 62

การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)

บิตที่ต้องยืม

2² = 4 ≥ 3 → b = 2, /26

โฮสต์ต่อซับเน็ต

2⁶ − 2 = 62

คำตอบ

H = 62

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: x = 40

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

ขนาดบล็อกในออกเท็ตที่สาม

2² = 4

ซับเน็ตของโฮสต์นี้

เครือข่าย: 172.20.40.0

บรอดคาสต์: 172.20.43.255

คำตอบ

x = 40

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals