ระบบเลข
- ค่าประจำตำแหน่ง
- ฐานสอง 2k, ฐานแปด 8k, ฐานสิบหก 16k
- เป็นเลขฐานสิบ
- Σ dk·bk
- จากเลขฐานสิบ
- หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
- ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง
- เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
- two’s complement
- กลับบิตแล้วบวก 1
พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
- แถวของตารางค่าความจริง
- 2ⁿ
- นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- นิเสธของนัย
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- เงื่อนไขสองทาง
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- กฎของเดอมอร์แกน
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- กฎการแจกแจง
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
วิธีการ
- นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
- ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
- ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
- สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
- การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน
ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
- เกตพื้นฐาน
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- กฎของพีชคณิตแบบบูล
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- กฎของเดอมอร์แกน
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- ลำดับของแผนที่คาร์โนห์
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์
- สูญเสีย k ตัวแปร
- มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- ฟลิปฟล็อป
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- ตัวนับ
- n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
- ตัวนับริปเปิล
- fmax = 1/(n·tpd)
- ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน
- n และ 2n สถานะ
วิธีการ
- สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
- สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
- ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
- สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ
ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
- การหารที่มีเศษ
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- ยูคลิด
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- ตัวคูณร่วมน้อย
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- อินเวอร์ส
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- ความสอดคล้องเชิงเส้น
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- แฟร์มา
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
วิธีการ
- ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
- สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
- สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
- แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
- สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)
ทฤษฎีกราฟ
- เล็มมาการจับมือ
- Σ deg(v) = 2|E|
- กราฟบริบูรณ์
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- กราฟปรกติ
- |E| = n·k/2
- ต้นไม้และป่า
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- ใบของต้นไม้
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- ออยเลอร์
- วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
- วงจรแฮมิลตันใน Kn
- (n − 1)!/2
- การปรับค่าของไดก์สตรา
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- วอล์กความยาว L
- (Mᴸ)ij
วิธีการ
- เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
- สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
- สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
- สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
- สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)
การแบ่งซับเน็ต IPv4
- โฮสต์ต่อซับเน็ต
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- ขนาดบล็อก
- 256 − (mask octet)
- ที่อยู่เครือข่าย
- IP AND มาสก์
- ที่อยู่บรอดคาสต์
- IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
- ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม
- 2n
2โจทย์ฝึก
1.ระบบเลขปานกลาง
ตั้งบิตให้เก็บ −58 ใน two's complement 8 บิต อ่านเป็นจำนวนไม่มีเครื่องหมาย ค่าของรูปแบบ U เป็นเท่าใด
N = −588 bit
U =
2.ระบบเลขยาก
ภาพที่ไม่บีบอัดมีขนาด 256 × 256 พิกเซล และมี 24 บิตต่อพิกเซล ใช้หน่วยความจำ M เท่าใด ในหน่วย KiB (1 KiB = 1024 ไบต์)
256 × 256 px24 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง
ในตารางค่าความจริง 8 แถวของ (r → p) → ((q → p) ∧ q) มีกี่แถวที่เป็นจริง เรียกจำนวนนี้ว่า N
(r → p) → ((q → p) ∧ q)
N =
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก
ประโยคใดสมมูลกับ ¬∀x (F(x) ∨ G(x)) เมื่อย้ายนิเสธเข้าด้านในสุด ให้คลิกประโยคนั้น
¬∀x (F(x) ∨ G(x))
- 1∀x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
- 2∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
- 3∀x (¬F(x) ∨ ¬G(x))
- 4∃x (¬F(x) ∨ ¬G(x))
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1 มีอินพุตเลือก S₁ = A และ S₀ = B และอินพุตข้อมูลต่อเข้ากับ I₀ = 0, I₁ = 1, I₂ = C, I₃ = C จาก 8 ชุดของ A, B และ C มีกี่ชุดที่เอาต์พุต F = 1 จงหา N
I₀ = 0I₁ = 1I₂ = CI₃ = C
N =
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก
ฟลิปฟล็อป T ที่ทริกเกอร์ขอบขาขึ้นเริ่มด้วย Q = 0 และได้รับอินพุตที่แสดงที่ขอบขาขึ้นของนาฬิกา 6 ขอบ Q เปลี่ยนสถานะกี่ครั้ง N
Q₀ = 0T
N =
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง
จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด x ที่ x ≡ 2 (mod 3) และ x ≡ 0 (mod 7)
x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 0 (mod 7)
x =
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก
14x ≡ 18 (mod 24) มีกี่คำตอบ N ใน {0, 1, …, 23}
14x ≡ 18 (mod 24)
N =
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง
ความซับซ้อนเชิงเวลาเฉลี่ยแบบกระจายต้นทุน (amortised) ของการต่อท้ายอาร์เรย์พลวัตที่เพิ่มความจุเป็นสองเท่าเมื่อเต็มคือเท่าใด
- AO(1)
- BO(log n)
- CO(n)
- DO(n²)
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก
อัลกอริทึมของ Strassen คูณเมทริกซ์โดยใช้การคูณแบบเรียกซ้ำของบล็อกครึ่งขนาด 7 ครั้งแทนที่จะเป็น 8 ครั้ง เวลาทำงานของมันคือเท่าใด
- AΘ(n³)
- BΘ(n² log n)
- CΘ(n2)
- DΘ(nlog₂ 7) ประมาณ n2.81
11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง
โปรแกรมที่ทำงานอยู่ใช้โครงสร้างข้อมูลใดติดตามการเรียกฟังก์ชันที่กำลังทำงานและตัวแปรท้องถิ่น
- Aคิวหน่วยความจำฮีป
- Bตารางแฮชของฟังก์ชัน
- Cbinary search tree ของเฟรม
- Dสแตกการเรียก (call stack)
12.โครงสร้างข้อมูลยาก
ภายใต้การแฮชสม่ำเสมออย่างง่าย เวลาคาดหมายของการค้นหาในตารางแฮชแบบ chaining ที่มี n คีย์และ m ถังคือเท่าใด
- AO(m)
- BO(log n)
- CO(1 + α) เมื่อ α = n / m
- DO(n)
13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ
|V| = 6|E| = 7
- 1วงจรออยเลอร์
- 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
- 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
14.ทฤษฎีกราฟยาก
ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก
เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =
15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง
เหตุใด SELECT price * 2 AS double_price FROM t WHERE double_price > 10 จึงล้มเหลวในฐานข้อมูลส่วนใหญ่?
- Aชื่อแฝงห้ามมีขีดล่าง
- Bไม่อนุญาตให้คำนวณเลขคณิตในรายการ SELECT
- CWHERE เปรียบเทียบได้เฉพาะคอลัมน์ข้อความ
- DWHERE ถูกประเมินก่อนรายการ SELECT ชื่อแฝงจึงยังไม่มี
16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก
เหตุใด NATURAL JOIN จึงถือว่าเสี่ยงในคิวรีที่ใช้งานจริง?
- Aเชื่อมบนทุกคอลัมน์ที่ชื่อเดียวกัน คอลัมน์ใหม่จึงอาจเปลี่ยนผลลัพธ์โดยไม่รู้ตัว
- Bคืนผลคูณคาร์ทีเซียนเสมอ
- Cเพิกเฉยคีย์หลักและคีย์นอกและเก็บเฉพาะแถว NULL
- Dไม่มีฐานข้อมูลใดรองรับ
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง
RIP ใช้เมตริกใดเลือกเส้นทาง?
- Aแบนด์วิดท์ของลิงก์
- Bจำนวนฮอป (hop count)
- Cนโยบายทางธุรกิจ
- Dความล่าช้าที่วัดได้
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก
พีซีเครื่องหนึ่งเข้าถึงเครื่องพิมพ์ในซับเน็ตของตนได้แต่เข้าถึงสิ่งอื่นนอกซับเน็ตไม่ได้ ที่อยู่ IP และมาสก์ถูกต้อง ความบกพร่องใดมีแนวโน้มมากที่สุด?
- Aหน้าต่าง TCP เล็กเกินไป
- Bเกตเวย์เริ่มต้นหายไปหรือไม่ถูกต้อง
- Cการตั้งค่าเซิร์ฟเวอร์ DNS ผิดพลาด
- Dที่อยู่ MAC ซ้ำกันบนอินเทอร์เน็ต
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง
เครือข่าย 192.168.194.0/24 ถูกแบ่งเป็นซับเน็ต /29 หมายเลข 1, 2, 3, … จากแอดเดรสต่ำสุด (ซับเน็ต 1 เริ่มที่ .0) ออกเท็ตที่สี่ x ของเน็ตเวิร์กแอดเดรสของซับเน็ต 5 คือเท่าใด
192.168.194.0/24/29ซับเน็ต 5 (ซับเน็ต 1 เริ่มที่ .0)
x =
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก
โฮสต์มีที่อยู่ 10.20.142.196/27 ออคเต็ตที่สี่ x ของที่อยู่เครือข่ายคือเท่าใด
10.20.142.196/27
x =
3สารละลาย
1.ระบบเลข
คำตอบ: U = 198
การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน
กลับบิตแล้วบวกหนึ่ง
58 = 0011 1010
ที่กลับบิตแล้ว: 1100 0101
+1 → 1100 0110
อ่านเป็นแบบไม่มีเครื่องหมาย
1100 0110₂ = 256 − 58 = 198
คำตอบ
U = 198
2.ระบบเลข
คำตอบ: M = 192 KiB
ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ
บิตและไบต์
256·256·24 = 1572864 bit = 196608 B
แปลงเป็น KiB
196608/1024 = 192 KiB
คำตอบ
M = 192 KiB
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
คำตอบ: N = 4
ตารางค่าความจริง: สูตรที่มีตัวแปรต่างกัน n ตัวมี 2ⁿ แถว หนึ่งแถวต่อทุกชุดของค่าความจริง (1 = จริง, 0 = เท็จ) ทำจากด้านในออกมาและให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง ¬a กลับค่า a ∧ b เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1 a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 a ↔ b เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างเท่ากัน
ตารางค่าความจริงทีละแถว
p = 1, q = 1, r = 1: r → p = 1, q → p = 1, (q → p) ∧ q = 1, (r → p) → ((q → p) ∧ q) = 1
p = 1, q = 1, r = 0: r → p = 1, q → p = 1, (q → p) ∧ q = 1, (r → p) → ((q → p) ∧ q) = 1
p = 1, q = 0, r = 1: r → p = 1, q → p = 1, (q → p) ∧ q = 0, (r → p) → ((q → p) ∧ q) = 0
p = 1, q = 0, r = 0: r → p = 1, q → p = 1, (q → p) ∧ q = 0, (r → p) → ((q → p) ∧ q) = 0
p = 0, q = 1, r = 1: r → p = 0, q → p = 0, (q → p) ∧ q = 0, (r → p) → ((q → p) ∧ q) = 1
p = 0, q = 1, r = 0: r → p = 1, q → p = 0, (q → p) ∧ q = 0, (r → p) → ((q → p) ∧ q) = 0
p = 0, q = 0, r = 1: r → p = 0, q → p = 1, (q → p) ∧ q = 0, (r → p) → ((q → p) ∧ q) = 1
p = 0, q = 0, r = 0: r → p = 1, q → p = 1, (q → p) ∧ q = 0, (r → p) → ((q → p) ∧ q) = 0
นับแถวที่มีค่าเป็น 1
(r → p) → ((q → p) ∧ q): 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0
N = 4
คำตอบ
N = 4
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
คำตอบ: ∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล
ย้ายนิเสธเข้าด้านใน
¬∀x (F(x) ∨ G(x)) ≡ ∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
คำตอบ
∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
ตัวเลือกอื่นอาจคงตัวบ่งปริมาณไว้ไม่เปลี่ยน เปลี่ยนลำดับของตัวบ่งปริมาณ หรือใส่นิเสธให้สูตรด้านในผิด
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
คำตอบ: N = 4
มัลติเพล็กเซอร์: มัลติเพล็กเซอร์ 2ⁿ ต่อ 1 ส่งอินพุตข้อมูลหนึ่งตัวไปยังเอาต์พุต สายเลือก (select) เมื่ออ่านเป็นเลขฐานสองจะเลือกว่าตัวใด สำหรับ MUX 4 ต่อ 1 ที่สายเลือก S₁S₀ = AB จะได้ F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃ การต่ออินพุตข้อมูลเข้ากับ 0, 1, C หรือ C′ ทำให้ MUX สร้างฟังก์ชันใดก็ได้ของ A, B และ C ซึ่งเป็นวิธีที่พบบ่อยในการสร้างตรรกะด้วยชิปตัวเดียว
นิพจน์เอาต์พุต
F = A′B + AB′C + ABC
แถวที่ F = 1
ABC = 010, 011, 101, 111
N = 4
คำตอบ
N = 4
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
คำตอบ: N = 3
ฟลิปฟล็อปและตัวนับ: ฟลิปฟล็อปเปลี่ยนค่าเฉพาะที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกา D คัดลอกอินพุต (Q⁺ = D); T สลับค่าเมื่อ T = 1; JK คงค่าสำหรับ 00 รีเซ็ตสำหรับ 01 เซตสำหรับ 10 และสลับค่าสำหรับ 11 ตัวนับฐานสอง n บิตมี 2ⁿ สถานะและนับมอดูโล 2ⁿ ตัวนับมอด N นับ 0, 1, …, N − 1 แล้ววนกลับเป็น 0 และต้องใช้ฟลิปฟล็อปจำนวน n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N แต่ละภาคของตัวนับริปเปิลลดความถี่ลงครึ่งหนึ่ง ดังนั้นเอาต์พุตสุดท้ายของตัวนับมอด N ทำงานที่ fclk/N ตัวนับจอห์นสันที่มีฟลิปฟล็อป n ตัวมี 2n สถานะ ตัวนับริงมี n
Q หลังทุกขอบ
ฟลิปฟล็อป T สลับค่าทุกขอบขาขึ้นเมื่อ T = 1 และคงค่าเมื่อ T = 0
1: T = 0 → Q = 0
2: T = 1 → Q = 1
3: T = 1 → Q = 0
4: T = 0 → Q = 0
5: T = 0 → Q = 0
6: T = 1 → Q = 1
นับการเปลี่ยน
0 → 0 → 1 → 0 → 0 → 0 → 1
N = 3
คำตอบ
N = 3
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
คำตอบ: x = 14
ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)
ความสอดคล้องข้อแรก
x = 2 + 3k
ความสอดคล้องข้อที่สอง
2 + 3k ≡ 0 (mod 7) → 3k ≡ 5 (mod 7)
k ≡ 5·5 ≡ 4 (mod 7)
ผลลัพธ์
x = 2 + 3·4 = 14
x = 14
ตรวจสอบ: 14 mod 3 = 2, 14 mod 7 = 0
คำตอบ
x = 14
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
คำตอบ: N = 2
ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)
หารด้วย gcd
gcd(14, 24) = 2
7x ≡ 9 (mod 12)
แก้ความสอดคล้องที่ลดรูปแล้ว
7−1 ≡ 7 (mod 12) → x ≡ 3 (mod 12)
คำตอบมอดูโล 24
x ∈ {3, 15}
N = 2
คำตอบ
N = 2
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อน
คำตอบ: A · O(1)
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
การคัดลอกสมาชิกทั้งหมดเกิดขึ้นเฉพาะที่เลขกำลังสอง เมื่อกระจายต้นทุนตลอดทุกการต่อท้าย ค่าเฉลี่ยต่อหนึ่งครั้งจึงคงที่
คำตอบ
A · O(1)
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อน
คำตอบ: D · Θ(nlog₂ 7) ประมาณ n2.81
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
เมื่อ a = 7 และ b = 2 ค่า nlog₂ 7 ครอบงำงานบวก O(n²) ได้ประมาณ n2.81
คำตอบ
D · Θ(nlog₂ 7) ประมาณ n2.81
11.โครงสร้างข้อมูล
คำตอบ: D · สแตกการเรียก (call stack)
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
แต่ละการเรียก push เฟรมสแตกและแต่ละการคืนค่า pop ออก จึงเป็นเหตุที่การเรียกล่าสุดเสร็จก่อน
คำตอบ
D · สแตกการเรียก (call stack)
12.โครงสร้างข้อมูล
คำตอบ: C · O(1 + α) เมื่อ α = n / m
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
การคำนวณแฮชมีต้นทุน O(1) และความยาวโซ่คาดหมายคือ α การรักษา α ให้มีขอบเขตด้วยการปรับขนาดจึงได้เวลาคาดหมาย O(1)
คำตอบ
C · O(1 + α) เมื่อ α = n / m
13.ทฤษฎีกราฟ
คำตอบ: วงจรออยเลอร์
ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น
ดีกรี
deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2
จุดยอดคี่
0
วงจรออยเลอร์
คำตอบ
วงจรออยเลอร์
14.ทฤษฎีกราฟ
คำตอบ: d(F) = 30
เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม
ไดก์สตราทีละรอบ
แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น
A (0): C: 15
C (15): B: 29, E: 16, G: 17
E (16): D: 26
G (17): B: 19
B (19): D: 23
D (23): F: 30
F (30)
เส้นทางที่สั้นที่สุด
A → C → G → B → D → F
d(F) = 30
คำตอบ
d(F) = 30
15.ฐานข้อมูลและ SQL
คำตอบ: D · WHERE ถูกประเมินก่อนรายการ SELECT ชื่อแฝงจึงยังไม่มี
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
ในเชิงตรรกะ FROM และ WHERE ทำงานก่อน SELECT จึงให้ซ้ำนิพจน์ใน WHERE หรือใช้ซับคิวรี ส่วน ORDER BY ใช้ชื่อแฝงได้เพราะทำงานหลัง SELECT
คำตอบ
D · WHERE ถูกประเมินก่อนรายการ SELECT ชื่อแฝงจึงยังไม่มี
16.ฐานข้อมูลและ SQL
คำตอบ: A · เชื่อมบนทุกคอลัมน์ที่ชื่อเดียวกัน คอลัมน์ใหม่จึงอาจเปลี่ยนผลลัพธ์โดยไม่รู้ตัว
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
natural join จับคู่ทุกคอลัมน์ที่ชื่อเหมือนกัน เช่น "name" หรือ "created_at" ที่ไม่เกี่ยวข้อง การใช้ ON หรือ USING แบบชัดเจนปลอดภัยกว่า
คำตอบ
A · เชื่อมบนทุกคอลัมน์ที่ชื่อเดียวกัน คอลัมน์ใหม่จึงอาจเปลี่ยนผลลัพธ์โดยไม่รู้ตัว
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์
คำตอบ: B · จำนวนฮอป (hop count)
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
RIP เป็นโพรโทคอลแบบเวกเตอร์ระยะทางที่นับฮอป โดย 16 หมายถึงเข้าถึงไม่ได้ จึงจำกัดอยู่ที่เครือข่ายขนาดเล็ก
คำตอบ
B · จำนวนฮอป (hop count)
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์
คำตอบ: B · เกตเวย์เริ่มต้นหายไปหรือไม่ถูกต้อง
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
โฮสต์ส่งแพ็กเก็ตนอกซับเน็ตไปยังเกตเวย์เริ่มต้น หากผิดหรือไม่มี ทราฟฟิกท้องถิ่นยังใช้ได้แต่เข้าถึงสิ่งใดภายนอกไม่ได้ แม้ใช้ที่อยู่ IP
คำตอบ
B · เกตเวย์เริ่มต้นหายไปหรือไม่ถูกต้อง
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4
คำตอบ: x = 32
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
ขนาดบล็อก
23 = 8
ซับเน็ตหมายเลข 5
เครือข่าย: (5 − 1)·8 = 32
บรอดคาสต์: 32 + 8 − 1 = 39
คำตอบ
x = 32
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4
คำตอบ: x = 192
การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)
ขนาดบล็อก
25 = 32
ซับเน็ตของโฮสต์นี้
เครือข่าย: ⌊196/32⌋·32 = 192
บรอดคาสต์: 192 + 32 − 1 = 223
โฮสต์ที่ใช้ได้: 193 … 222
คำตอบ
x = 192
ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals