วิศวกรรมระบบควบคุม 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

เสถียรภาพ: รากทั้งหมดของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งระนาบซ้าย
ตารางราอ์ท ค่าในแถว s¹ ของระบบอันดับสาม: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
รากในครึ่งระนาบขวา: จำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก
ระบบอันดับสาม s³ + a₂s² + a₁s + a₀: เสถียรเมื่อ a ทุกตัว > 0 และ a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
สมการลักษณะเฉพาะ: 1 + K·G(s) = 0
เส้นกำกับ: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
จุดแยกออกและจุดแยกเข้า: dK/ds = 0
เงื่อนไขขนาด: K = 1/|G(s)|
มุมออกจาก: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

วิธีการ

เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิด: ตัวส่วนของ 1 + K·G(s) = 0 ที่คูณออกแล้ว
ใส่สัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตารางราอ์ท แล้วสร้างแถวที่เหลือ
นับจำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก: แต่ละครั้งคือโพลหนึ่งตัวในครึ่งระนาบขวา เมื่อมี K อยู่ในตาราง ให้กำหนดว่าทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก
สำหรับรูตโลกัส ให้ทำเครื่องหมายโพลและศูนย์ ช่วงบนแกนจริง เส้นกำกับจากเซนทรอยด์ และจุดแยกที่ dK/ds = 0 ใช้ K = 1/|G(s)| สำหรับอัตราขยายที่จุดหนึ่ง

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

ชนิดของระบบ: จำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0
ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อน: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
ขั้น A: e_ss = A/(1 + K_p)
แรมป์ A·t: e_ss = A/K_v
พาราโบลา A·t²/2: e_ss = A/K_a
ตัวควบคุม PID: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
เป้าหมายอันดับสอง: s² + 2ζω_ns + ω_n²
การเกินเลยและเวลา: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

วิธีการ

นับโพลของวงเปิด C(s)·G(s) ที่ s = 0: นั่นคือชนิดของระบบ
คำนวณค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนที่ตรงกับอินพุต: K_p สำหรับขั้น K_v สำหรับแรมป์ K_a สำหรับพาราโบลา
ใช้ e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v หรือ A/K_a หรือแก้สมการหาอัตราขยายที่ต้องการ
สำหรับข้อกำหนดเรื่องการหน่วงหรือความเร็ว ให้เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิดแล้วเทียบกับ s² + 2ζω_n·s + ω_n²

2โจทย์ฝึก

1.การแปลงลาปลาซปานกลาง

จงหา f(t) สำหรับ F(s) = (s + 4)/(s² + 4s + 4) และหาค่า f(0.25)

F(s) = (s + 4)/(s² + 4s + 4)t = 0.25 s

f(0.25) =

2.การแปลงลาปลาซยาก

จงแก้ y″ + 10y′ + 24y = 0 โดย y(0) = 7 และ y′(0) = 6 ด้วยการแปลงลาปลาซ และหา y(0.3)

y″ + 10y′ + 24y = 0y(0) = 7y′(0) = 6t = 0.3 s

y(0.3) =

3.แผนภาพบล็อกปานกลาง

พืช G(s) = K/(s(s + 12)) อยู่ในวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย จงหาอัตราขยาย K ที่ทำให้วงปิดมีการหน่วงวิกฤต (โพลจริงเท่ากันสองตัว)

G(s) = K/(s(s + 12))ป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย

K =

4.แผนภาพบล็อกยาก

ตัวควบคุมสัดส่วน K ขับพืช G(s) = 5/(s + 5) ในวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย ฟังก์ชันขั้นสิ่งรบกวนขนาด 0.5 เข้าที่อินพุตของพืชขณะที่ R = 0 จงหาอัตราขยายที่น้อยที่สุด K ที่ทำให้เอาต์พุตสถานะคงตัวไม่เกิน 0.01

G(s) = 5/(s + 5)D = 0.5c_ss ≤ 0.01

K =

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 68/(s² + 3s + 68) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย จงหาเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได โดยใช้ t_s ≈ 4/(ζωₙ)

G(s) = 68/(s² + 3s + 68)

t_s = s

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก

ลูปป้อนกลับลบแบบหนึ่งหน่วยมี G(s) = K/(s(s + 16)) จงหาอัตราขยาย K ที่ทำให้การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดพุ่งเกิน 15 %

G(s) = K/(s(s + 16))%OS = 15 %

K =

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสปานกลาง

วงในแผนภาพทำงานที่ K = 5.25 และ L(s) = K/(s(s + 1)(s + 6)) เพิ่มอัตราขยายได้กี่เท่า m ก่อนที่วงปิดจะไม่เสถียร

L(s) = K/(s(s + 1)(s + 6))K = 5.25

m =

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสยาก

root locus ของ L(s) = K/((s + 3)(s + 4)(s + 6)) ถูกร่างไว้ จงหาความถี่ ω ที่โลคัสตัดแกนจินตภาพ

L(s) = K/((s + 3)(s + 4)(s + 6))

ω = rad/s

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDปานกลาง

กระบวนการ G(s) = 1/(1s + 1) ถูกควบคุมด้วยอัตราขยายสัดส่วน K = 20 ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย จงหาค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว e_ss สำหรับขั้น เป็นเปอร์เซ็นต์ของขนาดขั้น

G(s) = 1/(1s + 1)K = 20

e_ss = %

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDยาก

ตัวควบคุมสัดส่วน K = 4 ขับโรงงาน G(s) = 5/(s(s + 5)) ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย จงหาเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได โดยใช้ t_s ≈ 4/(ζωₙ)

G(s) = 5/(s(s + 5))K = 4

t_s = s

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

จงหาเฟส ∠G(jω) ของ G(s) = 17(s + 15)/(s(s + 13)) ที่ ω = 15 rad/s เป็นองศา

G(s) = 17(s + 15)/(s(s + 13))ω = 15 rad/s

∠G(jω) = °

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 11/(s(s + 5)) จงหาความถี่จุดตัดอัตราขยาย ω_c ที่ |L(jω)| = 1

L(s) = 11/(s(s + 5))

ω_c = rad/s

3สารละลาย

1.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: f(0.25) = 0.9098

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e^−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lim_s→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)

แยกตัวประกอบส่วน

s² + 4s + 4 = (s + 2)²

เศษส่วนย่อย

s + 4 = 1(s + 2) + 2

F(s) = 1/(s + 2) + 2/(s + 2)²

การแปลงผกผัน

f(t) = e^−2t + 2·t·e^−2t

f(0.25) = (1 + 2·0.25)·e^−2·0.25 = 0.9098

คำตอบ

f(0.25) = 0.9098

2.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: y(0.3) = 4.419

แปลงสมการ

s²Y − 7s − 6 + 10(sY − 7) + 24Y = 0

Y(s) = (7s + 76)/((s + 4)(s + 6))

เศษส่วนย่อย

A = 48/2 = 24

B = 34/(−2) = −17

ผลลัพธ์

y(t) = 24·e^−4t − 17·e^−6t

y(0.3) = 4.419

คำตอบ

y(0.3) = 4.419

ตรวจสอบ: y(0) = A + B = 7

3.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: K = 36

พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + K_p) โดย K_p = G(0)

สมการลักษณะเฉพาะ

1 + K/(s(s + 12)) = 0 → s² + 12s + K = 0

รากซ้ำ

กำลังสอง s² + βs + γ มีรากซ้ำเมื่อ β² = 4γ

12² = 4K → K = 144/4 = 36

คำตอบ

K = 36

โพลวงปิดทั้งสองอยู่ที่ s = −6

4.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: K = 49

ผลตอบสนองต่อสิ่งรบกวน

c_ss = D·G(0)/(1 + K·G(0)) = 0.5·5/(5 + 5K)

แก้หา K

5 + 5K = 0.5·5/0.01 = 250

K = (250 − 5)/5 = 49

คำตอบ

K = 49

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: t_s = 2.667 s

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jω_d โดย ω_d = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} เวลาถึงจุดสูงสุด t_p = π/ω_d และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 68 → ωₙ = 8.246 rad/s

2ζωₙ = 3 → ζ = 3/(2·8.246) = 0.1819

ผลลัพธ์

ζωₙ = 1.5 → t_s ≈ 4/1.5 = 2.667 s

คำตอบ

t_s = 2.667 s

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: K = 239.5

ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด

T(s) = K/(s² + 16s + K)

อัตราส่วนความหน่วงจากค่าพุ่งเกิน

ζ = −ln(0.15)/√(π² + ln²(0.15)) = 0.5169

อัตราขยาย

ωₙ = 16/(2ζ) = 15.48 rad/s

K = ωₙ² = 239.5

คำตอบ

K = 239.5

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: m = 8

เกณฑ์ Routh–Hurwitz: ระบบเชิงเส้นเสถียรเมื่อรากทุกตัวของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งซ้ายของระนาบ s เขียนสัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตาราง Routh แต่ละช่องของแถวใหม่มาจากสองแถวด้านบน สำหรับกำลังสามเชิงลูกบาศก์ a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ ช่อง s¹ คือ b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ จำนวนการเปลี่ยนเครื่องหมายในคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนรากในครึ่งระนาบขวา เมื่อมีอัตราขยาย K ในสัมประสิทธิ์ ทุกช่องในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก: อัตราขยายที่ทำให้ช่อง s¹ เป็นศูนย์คือขีดจำกัดเสถียรภาพ และแถว s² ให้ความถี่ของการสั่นที่คงอยู่

ตารางเราท์

s³ + 7s² + 6s + K = 0

s³: 1, 6

s²: 7, K

s¹: (7·6 − K)/7

s⁰: K

อัตราขยายสูงสุดที่เสถียร

K_max = 7·6 = 42

ตัวประกอบ

m = 42/5.25 = 8

คำตอบ

m = 8

ตัวประกอบนี้คือขอบอัตราขยายเป็นอัตราส่วน: 18.06 dB

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: ω = 7.348 rad/s

root locus: เมื่ออัตราขยาย K ไปจาก 0 ถึง ∞ โพลวงปิด ซึ่งเป็นรากของ 1 + K·G(s) = 0 เคลื่อนจากโพลวงเปิดไปยังศูนย์วงเปิดหรือไปยังอนันต์ จุดบนแกนจริงอยู่ในโลคัสเมื่อจำนวนโพลจริงและศูนย์ทางขวาของมันเป็นเลขคี่ n − m กิ่งที่ไปยังอนันต์ตามเส้นกำกับที่มุม (2q + 1)·180°/(n − m) ซึ่งเริ่มจากเซนทรอยด์ σₐ = (Σ โพล − Σ ศูนย์)/(n − m) กิ่งออกจากหรือเข้าร่วมแกนจริงที่ dK/ds = 0 เงื่อนไขมุม ∠G(s) = 180° กำหนดรูปร่าง และเงื่อนไขขนาด K = 1/|G(s)| ให้อัตราขยาย ณ จุดใดก็ได้ของโลคัส

อัตราขยายวิกฤต

s³ + 13s² + 54s + 72 + K = 0

s¹: (13·54 − 72 − K)/13 = 0 → K = 630

ความถี่ที่ตัด

13s² + 72 + 630 = 13s² + 702 = 0 → s² = −54

ω = √54 = 7.348 rad/s

คำตอบ

ω = 7.348 rad/s

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: e_ss = 4.762 %

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว: ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด G(s) ค่าความคลาดเคลื่อนคือ E(s) = R(s)/(1 + G(s)) และโดยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย e_ss = lim_s→0 s·E(s) ชนิดของระบบคือจำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0 ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนคือ K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) และ K_a = lim s²·G(s) ทั้งหมดสำหรับ s → 0 ขั้นขนาด A ให้ e_ss = A/(1 + K_p) แรมป์ A·t ให้ A/K_v และพาราโบลา A·t²/2 ให้ A/K_a วงชนิด 0 ตามขั้นด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด วงชนิด 1 ตามขั้นได้อย่างแม่นยำ และตามแรมป์ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด

ค่าคงที่ตำแหน่ง

K_p = 20·1 = 20

ค่าความคลาดเคลื่อนของขั้น

e_ss = 100/(1 + 20) = 4.762 %

คำตอบ

e_ss = 4.762 %

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: t_s = 1.6 s

การควบคุม P, PI และ PID: ตัวควบคุม C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s กระทำต่อค่าความคลาดเคลื่อน อัตราขยายสัดส่วนทำให้วงเร็วขึ้นและลดค่าความคลาดเคลื่อนของโรงงานชนิด 0 แต่ไม่เคยกำจัดมัน พจน์อินทิกรัลเพิ่มโพลที่ s = 0: ชนิดของระบบเพิ่มขึ้นหนึ่ง และตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อน พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วง ในการเลือกอัตราขยาย เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะวงปิดและเปรียบเทียบกับ s² + 2ζω_ns + ω_n² จากนั้น %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d โดย ω_d = ω_n√(1 − ζ²) และ t_s ≈ 4/(ζω_n)

พหุนามลักษณะเฉพาะ

s(s + 5) + 4·5 = s² + 5s + 20

ωₙ และ ζ

ωₙ = √20 = 4.472 rad/s

ζ = 5/(2·4.472) = 0.559

เวลาเข้าสู่ค่าคงตัว

ζωₙ = 5/2 = 2.5

t_s ≈ 4/2.5 = 1.6 s

คำตอบ

t_s = 1.6 s

เวลาเข้าที่ไม่ขึ้นกับ K ที่นี่: การเพิ่ม K ทำให้การตอบสนองสั่นเร็วขึ้นเท่านั้น

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ∠G(jω) = −94.09 °

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

บวกมุม

∠G = atan(15/15) − 90° − atan(15/13) = 45° − 90° − 49.09°

ผลลัพธ์

∠G(j15) = −94.09°

คำตอบ

∠G(jω) = −94.09°

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ω_c = 2.037 rad/s

จุดตัดอัตราขยาย

ω⁴ + 25ω² − 121 = 0

ω² = (−25 + √(625 + 4·121))/2 = 4.151

ω_c = 2.037 rad/s

คำตอบ

ω_c = 2.037 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/control-engineering-1