วิศวกรรมระบบควบคุม 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

เสถียรภาพ: รากทั้งหมดของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งระนาบซ้าย
ตารางราอ์ท ค่าในแถว s¹ ของระบบอันดับสาม: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
รากในครึ่งระนาบขวา: จำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก
ระบบอันดับสาม s³ + a₂s² + a₁s + a₀: เสถียรเมื่อ a ทุกตัว > 0 และ a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
สมการลักษณะเฉพาะ: 1 + K·G(s) = 0
เส้นกำกับ: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
จุดแยกออกและจุดแยกเข้า: dK/ds = 0
เงื่อนไขขนาด: K = 1/|G(s)|
มุมออกจาก: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

วิธีการ

เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิด: ตัวส่วนของ 1 + K·G(s) = 0 ที่คูณออกแล้ว
ใส่สัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตารางราอ์ท แล้วสร้างแถวที่เหลือ
นับจำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก: แต่ละครั้งคือโพลหนึ่งตัวในครึ่งระนาบขวา เมื่อมี K อยู่ในตาราง ให้กำหนดว่าทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก
สำหรับรูตโลกัส ให้ทำเครื่องหมายโพลและศูนย์ ช่วงบนแกนจริง เส้นกำกับจากเซนทรอยด์ และจุดแยกที่ dK/ds = 0 ใช้ K = 1/|G(s)| สำหรับอัตราขยายที่จุดหนึ่ง

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

ชนิดของระบบ: จำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0
ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อน: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
ขั้น A: e_ss = A/(1 + K_p)
แรมป์ A·t: e_ss = A/K_v
พาราโบลา A·t²/2: e_ss = A/K_a
ตัวควบคุม PID: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
เป้าหมายอันดับสอง: s² + 2ζω_ns + ω_n²
การเกินเลยและเวลา: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

วิธีการ

นับโพลของวงเปิด C(s)·G(s) ที่ s = 0: นั่นคือชนิดของระบบ
คำนวณค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนที่ตรงกับอินพุต: K_p สำหรับขั้น K_v สำหรับแรมป์ K_a สำหรับพาราโบลา
ใช้ e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v หรือ A/K_a หรือแก้สมการหาอัตราขยายที่ต้องการ
สำหรับข้อกำหนดเรื่องการหน่วงหรือความเร็ว ให้เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิดแล้วเทียบกับ s² + 2ζω_n·s + ω_n²

2โจทย์ฝึก

1.การแปลงลาปลาซปานกลาง

จงหา f(t) สำหรับ F(s) = (4s + 14)/(s² + 2s + 17) ด้วยการทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ และหาค่า f(0.1)

F(s) = (4s + 14)/(s² + 2s + 17)t = 0.1 s

f(0.1) =

2.การแปลงลาปลาซยาก

จงแก้ y″ + 11y′ + 30y = 0 โดย y(0) = −4 และ y′(0) = 1 ด้วยการแปลงลาปลาซ และหา y(0.2)

y″ + 11y′ + 30y = 0y(0) = −4y′(0) = 1t = 0.2 s

y(0.2) =

3.แผนภาพบล็อกปานกลาง

พืช G(s) = 2/(s + 4) มีวงป้อนกลับลบภายใน (ย่อย) ที่มีอัตราขยาย H₁ = 4 อัตราขยายของตัวควบคุม K = 12 และวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วยภายนอกปิดระบบ จงหาโพลวงปิด p

G(s) = 2/(s + 4)H₁ = 4K = 12

p =

4.แผนภาพบล็อกยาก

พืช G(s) = K/((s + 3)(s + 7)(s + 8)) อยู่ในวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย ใช้เกณฑ์เราท์–เฮอร์วิตซ์หาอัตราขยายที่มากที่สุด K_max ที่วงปิดยังเสถียร

G(s) = K/((s + 3)(s + 7)(s + 8))ป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย

K_max =

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 91/(s² + 7s + 91) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย จงหาเวลาถึงจุดสูงสุด t_p ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

G(s) = 91/(s² + 7s + 91)

t_p = s

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก

วงจร RLC อนุกรมที่มี R = 124 Ω, L = 200 mH และ C = 4.7 µF ต่อกับแหล่งกำเนิดขั้นบันได 24 V ที่ t = 0 ตัวเก็บประจุยังไม่มีประจุ และไม่มีกระแสไหลก่อนการเปลี่ยนขั้น จงหาค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS ของแรงดันตกคร่อมตัวเก็บประจุ

R = 124 ΩL = 200 mHC = 4.7 µFV = 24 V

%OS = %

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสปานกลาง

โรงงาน G(s) = (s + 10)/((s − 3)(s + 2)) มีโพลไม่เสถียรที่ s = 3 อัตราขยายสัดส่วน K ปิดวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยรอบมัน จงหาอัตราขยายที่น้อยที่สุด K_min ที่ทำให้วงปิดเสถียร

G(s) = (s + 10)/((s − 3)(s + 2))

K_min =

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสยาก

root locus ของ L(s) = K/((s + 5)(s + 7)) แสดงไว้ จงหาอัตราขยาย K ที่จุดแยกออก s_b ซึ่งโพลวงปิดสองตัวพบกันบนแกนจริง

L(s) = K/((s + 5)(s + 7))

K =

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDปานกลาง

วงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยมี G(s) = K/((s + 1)(s + 5)) จงหาอัตราขยาย K ที่ให้ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว 25 % สำหรับอินพุตขั้น

G(s) = K/((s + 1)(s + 5))e_ss = 25 %

K =

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDยาก

ตัวควบคุมสัดส่วน K = 16 ขับโรงงาน G(s) = 10/(s(s + 10)) ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย จงหาเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได โดยใช้ t_s ≈ 4/(ζωₙ)

G(s) = 10/(s(s + 10))K = 16

t_s = s

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

ตัวกรองความถี่สูงผ่าน RCที่แสดงมีR = 22 kΩ, C = 10 nF ป้อนอินพุตรูปซายน์ของ 140 Hz จงหาอัตราขยาย |H| = |v_out/v_in| ใน dB

R = 22 kΩC = 10 nFf = 140 Hz

|H| = dB

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 28/(s(s + 2)) จงหาขอบเฟส PM เป็นองศา

L(s) = 28/(s(s + 2))

PM = °

3สารละลาย

1.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: f(0.1) = 4.215

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e^−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lim_s→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)

ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์

s² + 2s + 17 = (s + 1)² + 16 = (s + 1)² + 4²

จับคู่เศษ

F(s) = 4·(s + 1)/((s + 1)² + 4²) + (10/4)·4/((s + 1)² + 4²)

การแปลงผกผัน

f(t) = e^−t·(4·cos 4t + 2.5·sin 4t)

f(0.1) = e^−0.1·(4·cos(4·0.1) + 2.5·sin(4·0.1)) = 4.215

คำตอบ

f(0.1) = 4.215

2.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: y(0.2) = −2.739

แปลงสมการ

s²Y − (−4)s − 1 + 11(sY − (−4)) + 30Y = 0

Y(s) = (−4s − 43)/((s + 5)(s + 6))

เศษส่วนย่อย

A = −23/1 = −23

B = −19/(−1) = 19

ผลลัพธ์

y(t) = −23·e^−5t + 19·e^−6t

y(0.2) = −2.739

คำตอบ

y(0.2) = −2.739

ตรวจสอบ: y(0) = A + B = −4

3.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: p = −36

พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + K_p) โดย K_p = G(0)

วงใน

Gᵢ = G/(1 + G·H₁) = 2/(s + 4 + 2·4) = 2/(s + 12)

วงนอก

T(s) = K·Gᵢ/(1 + K·Gᵢ) = 24/(s + 12 + 24) = 24/(s + 36)

ผลลัพธ์

p = −36

คำตอบ

p = −36

4.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: K_max = 1650

สมการลักษณะเฉพาะ

s³ + 18s² + 101s + 168 + K = 0

ตารางเราท์

s³ | 1 101

s² | 18 168 + K

s¹ | (18·101 − 168 − K)/18

s⁰ | 168 + K

ขีดจำกัดเสถียรภาพ

ทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก

K_max = 18·101 − 168 = 1650

คำตอบ

K_max = 1650

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: t_p = 0.354 s

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jω_d โดย ω_d = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} เวลาถึงจุดสูงสุด t_p = π/ω_d และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 91 → ωₙ = 9.539 rad/s

2ζωₙ = 7 → ζ = 7/(2·9.539) = 0.3669

ผลลัพธ์

ω_d = 9.539·√(1 − 0.3669²) = 8.874 rad/s → t_p = π/ω_d = 0.354 s

คำตอบ

t_p = 0.354 s

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: %OS = 37.16 %

ความถี่ธรรมชาติและอัตราส่วนความหน่วง

ωₙ = 1/√(LC) = 1/√(0.2·4.7 × 10⁻⁶) = 1031 rad/s

ζ = (R/2)·√(C/L) = (124/2)·√(4.7 × 10⁻⁶/0.2) = 0.3006

ผลลัพธ์

%OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} = 37.16 %

คำตอบ

%OS = 37.16 %

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: K_min = 1

เกณฑ์ Routh–Hurwitz: ระบบเชิงเส้นเสถียรเมื่อรากทุกตัวของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งซ้ายของระนาบ s เขียนสัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตาราง Routh แต่ละช่องของแถวใหม่มาจากสองแถวด้านบน สำหรับกำลังสามเชิงลูกบาศก์ a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ ช่อง s¹ คือ b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ จำนวนการเปลี่ยนเครื่องหมายในคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนรากในครึ่งระนาบขวา เมื่อมีอัตราขยาย K ในสัมประสิทธิ์ ทุกช่องในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก: อัตราขยายที่ทำให้ช่อง s¹ เป็นศูนย์คือขีดจำกัดเสถียรภาพ และแถว s² ให้ความถี่ของการสั่นที่คงอยู่

พหุนามลักษณะเฉพาะ

(s − 3)(s + 2) + K(s + 10) = s² + (-1 + K)s + (10K − 6)

เงื่อนไข

สำหรับ s² + c₁s + c₀ รากทั้งหมดอยู่ในครึ่งระนาบซ้ายเมื่อ c₁ > 0 และ c₀ > 0 พอดี

-1 + K > 0 → K > 1

10K − 6 > 0 → K > 0.6

K_min = 1

คำตอบ

K_min = 1

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: K = 1

root locus: เมื่ออัตราขยาย K ไปจาก 0 ถึง ∞ โพลวงปิด ซึ่งเป็นรากของ 1 + K·G(s) = 0 เคลื่อนจากโพลวงเปิดไปยังศูนย์วงเปิดหรือไปยังอนันต์ จุดบนแกนจริงอยู่ในโลคัสเมื่อจำนวนโพลจริงและศูนย์ทางขวาของมันเป็นเลขคี่ n − m กิ่งที่ไปยังอนันต์ตามเส้นกำกับที่มุม (2q + 1)·180°/(n − m) ซึ่งเริ่มจากเซนทรอยด์ σₐ = (Σ โพล − Σ ศูนย์)/(n − m) กิ่งออกจากหรือเข้าร่วมแกนจริงที่ dK/ds = 0 เงื่อนไขมุม ∠G(s) = 180° กำหนดรูปร่าง และเงื่อนไขขนาด K = 1/|G(s)| ให้อัตราขยาย ณ จุดใดก็ได้ของโลคัส

จุดแยกออก

dK/ds = 0 สำหรับ K = −(s + 5)(s + 7) ให้ 2s + 12 = 0

s_b = −6

เงื่อนไขขนาด

K = |−6 + 5|·|−6 + 7| = 1·1 = 1

คำตอบ

K = 1

สำหรับอัตราขยายนี้วงปิดหน่วงวิกฤต (ζ = 1)

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: K = 15

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว: ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด G(s) ค่าความคลาดเคลื่อนคือ E(s) = R(s)/(1 + G(s)) และโดยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย e_ss = lim_s→0 s·E(s) ชนิดของระบบคือจำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0 ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนคือ K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) และ K_a = lim s²·G(s) ทั้งหมดสำหรับ s → 0 ขั้นขนาด A ให้ e_ss = A/(1 + K_p) แรมป์ A·t ให้ A/K_v และพาราโบลา A·t²/2 ให้ A/K_a วงชนิด 0 ตามขั้นด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด วงชนิด 1 ตามขั้นได้อย่างแม่นยำ และตามแรมป์ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด

ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนที่ต้องการ

1/(1 + K_p) = 0.25 → K_p = 3

อัตราขยาย

K/5 = 3 → K = 15

คำตอบ

K = 15

ตรวจสอบเสถียรภาพวงปิดด้วย: สำหรับวงอันดับสองนี้ K > 0 ใด ๆ เสถียร

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: t_s = 0.8 s

การควบคุม P, PI และ PID: ตัวควบคุม C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s กระทำต่อค่าความคลาดเคลื่อน อัตราขยายสัดส่วนทำให้วงเร็วขึ้นและลดค่าความคลาดเคลื่อนของโรงงานชนิด 0 แต่ไม่เคยกำจัดมัน พจน์อินทิกรัลเพิ่มโพลที่ s = 0: ชนิดของระบบเพิ่มขึ้นหนึ่ง และตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อน พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วง ในการเลือกอัตราขยาย เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะวงปิดและเปรียบเทียบกับ s² + 2ζω_ns + ω_n² จากนั้น %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d โดย ω_d = ω_n√(1 − ζ²) และ t_s ≈ 4/(ζω_n)

พหุนามลักษณะเฉพาะ

s(s + 10) + 16·10 = s² + 10s + 160

ωₙ และ ζ

ωₙ = √160 = 12.65 rad/s

ζ = 10/(2·12.65) = 0.3953

เวลาเข้าสู่ค่าคงตัว

ζωₙ = 10/2 = 5

t_s ≈ 4/5 = 0.8 s

คำตอบ

t_s = 0.8 s

เวลาเข้าที่ไม่ขึ้นกับ K ที่นี่: การเพิ่ม K ทำให้การตอบสนองสั่นเร็วขึ้นเท่านั้น

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: |H| = −14.43 dB

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่มุม

ω_c = 1/(RC) = 1/(22000·1 × 10⁻⁸) = 4545 rad/s

f_c = 723.4 Hz → f/f_c = 140/723.4 = 0.1935

อัตราขยาย

|H| = 0.1935/√(1 + 0.1935²) = 0.19

20·log₁₀(0.19) = −14.43 dB

คำตอบ

|H| = −14.43 dB

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: PM = 21.39 °

จุดตัดอัตราขยาย

ω⁴ + 4ω² − 784 = 0

ω² = (−4 + √(16 + 4·784))/2 = 26.07

ω_c = 5.106 rad/s

ขอบเฟส

∠L(jω_c) = −90° − atan(5.106/2) = −158.6°

PM = 180° + ∠L = 21.39°

คำตอบ

PM = 21.39°

ExamProblems · examproblems.com/courses/control-engineering-1