วิศวกรรมระบบควบคุม 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

เสถียรภาพ: รากทั้งหมดของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งระนาบซ้าย
ตารางราอ์ท ค่าในแถว s¹ ของระบบอันดับสาม: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
รากในครึ่งระนาบขวา: จำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก
ระบบอันดับสาม s³ + a₂s² + a₁s + a₀: เสถียรเมื่อ a ทุกตัว > 0 และ a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
สมการลักษณะเฉพาะ: 1 + K·G(s) = 0
เส้นกำกับ: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
จุดแยกออกและจุดแยกเข้า: dK/ds = 0
เงื่อนไขขนาด: K = 1/|G(s)|
มุมออกจาก: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

วิธีการ

เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิด: ตัวส่วนของ 1 + K·G(s) = 0 ที่คูณออกแล้ว
ใส่สัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตารางราอ์ท แล้วสร้างแถวที่เหลือ
นับจำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก: แต่ละครั้งคือโพลหนึ่งตัวในครึ่งระนาบขวา เมื่อมี K อยู่ในตาราง ให้กำหนดว่าทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก
สำหรับรูตโลกัส ให้ทำเครื่องหมายโพลและศูนย์ ช่วงบนแกนจริง เส้นกำกับจากเซนทรอยด์ และจุดแยกที่ dK/ds = 0 ใช้ K = 1/|G(s)| สำหรับอัตราขยายที่จุดหนึ่ง

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

ชนิดของระบบ: จำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0
ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อน: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
ขั้น A: e_ss = A/(1 + K_p)
แรมป์ A·t: e_ss = A/K_v
พาราโบลา A·t²/2: e_ss = A/K_a
ตัวควบคุม PID: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
เป้าหมายอันดับสอง: s² + 2ζω_ns + ω_n²
การเกินเลยและเวลา: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

วิธีการ

นับโพลของวงเปิด C(s)·G(s) ที่ s = 0: นั่นคือชนิดของระบบ
คำนวณค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนที่ตรงกับอินพุต: K_p สำหรับขั้น K_v สำหรับแรมป์ K_a สำหรับพาราโบลา
ใช้ e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v หรือ A/K_a หรือแก้สมการหาอัตราขยายที่ต้องการ
สำหรับข้อกำหนดเรื่องการหน่วงหรือความเร็ว ให้เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิดแล้วเทียบกับ s² + 2ζω_n·s + ω_n²

2โจทย์ฝึก

1.การแปลงลาปลาซปานกลาง

จงหา f(t) สำหรับ F(s) = (4s + 5)/(s² + 6s + 34) ด้วยการทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ และหาค่า f(0.2)

F(s) = (4s + 5)/(s² + 6s + 34)t = 0.2 s

f(0.2) =

2.การแปลงลาปลาซยาก

ระบบเป็นไปตาม y″ + 5y′ + 6y = 24·u(t) โดย y(0) = 1 และ y′(0) = 0 ที่ t = 0 มีอินพุตฟังก์ชันขั้น u(t) = 4 ป้อนเข้า จงใช้การแปลงลาปลาซหา y(0.2)

y″ + 5y′ + 6y = 24·u(t)y(0) = 1y′(0) = 0u(t) = 4t = 0.2 s

y(0.2) =

3.แผนภาพบล็อกปานกลาง

วงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วยมี G(s) = 9(s + 4)/((s + 1)(s + 9)) ป้อนฟังก์ชันขั้นขนาด 1 ที่สัญญาณอ้างอิง จงหาค่าผิดพลาดสถานะคงตัว e_ss

G(s) = 9(s + 4)/((s + 1)(s + 9))R = 1

e_ss =

4.แผนภาพบล็อกยาก

พืช G(s) = K/((s + 2)(s + 6)(s + 8)) อยู่ในวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย ที่อัตราขยายเสถียรมากที่สุด วงจะแกว่ง จงหาความถี่การแกว่ง ω ใน rad/s

G(s) = K/((s + 2)(s + 6)(s + 8))ป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย

ω = rad/s

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 25/(s² + 7s + 25) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย จงหาค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

G(s) = 25/(s² + 7s + 25)

%OS = %

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก

ระบบอันดับสองที่ไม่มีศูนย์ต้องมีการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดที่พุ่งเกิน 25 % จงหาอัตราส่วนความหน่วง ζ

%OS = 25 %

ζ =

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสปานกลาง

วงในแผนภาพมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด L(s) = K/(s(s + 1)(s + 10)) จงหาอัตราขยายสูงสุด K_max ที่วงปิดเสถียร

L(s) = K/(s(s + 1)(s + 10))

K_max =

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสยาก

root locus ของ L(s) = K/((s + 2)(s + 10)) แสดงไว้ จงหาอัตราขยาย K ที่จุดแยกออก s_b ซึ่งโพลวงปิดสองตัวพบกันบนแกนจริง

L(s) = K/((s + 2)(s + 10))

K =

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDปานกลาง

กระบวนการ G(s) = 2.5/(1s + 1) ถูกควบคุมด้วยอัตราขยายสัดส่วน K = 19 ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย จงหาค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว e_ss สำหรับขั้น เป็นเปอร์เซ็นต์ของขนาดขั้น

G(s) = 2.5/(1s + 1)K = 19

e_ss = %

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDยาก

ตัวควบคุมสัดส่วน K = 25 ขับโรงงาน G(s) = 1/(s(s + 4)) ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย จงหาเวลาถึงจุดสูงสุด t_p ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

G(s) = 1/(s(s + 4))K = 25

t_p = s

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

ตัวกรองความถี่สูงผ่าน RCที่แสดงมีR = 3.3 kΩ, C = 22 nF ป้อนอินพุตรูปซายน์ของ 440 Hz จงหาการเลื่อนเฟส φ ของ v_out เทียบกับ v_in เป็นองศา

R = 3.3 kΩC = 22 nFf = 440 Hz

φ = °

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 330/(s(s + 5)) จงหาความถี่จุดตัดอัตราขยาย ω_c ที่ |L(jω)| = 1

L(s) = 330/(s(s + 5))

ω_c = rad/s

3สารละลาย

1.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: f(0.2) = 0.5396

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e^−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lim_s→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)

ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์

s² + 6s + 34 = (s + 3)² + 25 = (s + 3)² + 5²

จับคู่เศษ

F(s) = 4·(s + 3)/((s + 3)² + 5²) + (−7/5)·5/((s + 3)² + 5²)

การแปลงผกผัน

f(t) = e^−3t·(4·cos 5t − 1.4·sin 5t)

f(0.2) = e^−3·0.2·(4·cos(5·0.2) − 1.4·sin(5·0.2)) = 0.5396

คำตอบ

f(0.2) = 0.5396

2.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: y(0.2) = 2.3

แปลงสมการ

(s² + 5s + 6)·Y(s) = 1s + 5 + 96/s

Y(s) = (s² + 5s + 96)/(s(s + 2)(s + 3))

เศษส่วนย่อย

A = 96/(2·3) = 16

B = 90/((−2)·1) = −45

C = 90/((−3)·(−1)) = 30

ผลลัพธ์

y(t) = 16 − 45·e^−2t + 30·e^−3t

y(0.2) = 2.3

คำตอบ

y(0.2) = 2.3

ตรวจสอบ: y(0) = A + B + C = 1

3.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: e_ss = 0.2

พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + K_p) โดย K_p = G(0)

ค่าคงที่ความผิดพลาดตำแหน่ง

Kₚ = G(0) = 9·4/(1·9) = 4

ค่าผิดพลาดสถานะคงตัว

e_ss = A/(1 + Kₚ) = 1/(1 + 4) = 0.2

คำตอบ

e_ss = 0.2

4.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: ω = 8.718 rad/s

สมการลักษณะเฉพาะ

s³ + 16s² + 76s + 96 + K = 0

ตารางเราท์

s³ | 1 76

s² | 16 96 + K

s¹ | (16·76 − 96 − K)/16

s⁰ | 96 + K

ขีดจำกัดเสถียรภาพ

ทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก

K_max = 16·76 − 96 = 1120

ความถี่การแกว่ง

16·(jω)² + 96 + 1120 = 0 → ω² = 1216/16 = 76

ω = 8.718 rad/s

คำตอบ

ω = 8.718 rad/s

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: %OS = 4.599 %

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jω_d โดย ω_d = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} เวลาถึงจุดสูงสุด t_p = π/ω_d และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 25 → ωₙ = 5 rad/s

2ζωₙ = 7 → ζ = 7/(2·5) = 0.7

ผลลัพธ์

%OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} = 100·e^−3.079 = 4.599 %

คำตอบ

%OS = 4.599 %

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: ζ = 0.4037

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = −ln(0.25)/√(π² + ln²(0.25)) = 1.386/√(9.87 + 1.922) = 0.4037

คำตอบ

ζ = 0.4037

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: K_max = 110

เกณฑ์ Routh–Hurwitz: ระบบเชิงเส้นเสถียรเมื่อรากทุกตัวของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งซ้ายของระนาบ s เขียนสัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตาราง Routh แต่ละช่องของแถวใหม่มาจากสองแถวด้านบน สำหรับกำลังสามเชิงลูกบาศก์ a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ ช่อง s¹ คือ b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ จำนวนการเปลี่ยนเครื่องหมายในคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนรากในครึ่งระนาบขวา เมื่อมีอัตราขยาย K ในสัมประสิทธิ์ ทุกช่องในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก: อัตราขยายที่ทำให้ช่อง s¹ เป็นศูนย์คือขีดจำกัดเสถียรภาพ และแถว s² ให้ความถี่ของการสั่นที่คงอยู่

สมการลักษณะเฉพาะ

s³ + 11s² + 10s + K = 0

ตารางเราท์

s³: 1, 10

s²: 11, K

s¹: (11·10 − K)/11

s⁰: K

เงื่อนไข

ทุกช่องของคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก

K > 0

11·10 − K > 0 → K < 110

คำตอบ

K_max = 110

ที่ K = 110 วงปิดสั่นที่ ω = √10 = 3.162 rad/s

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: K = 16

root locus: เมื่ออัตราขยาย K ไปจาก 0 ถึง ∞ โพลวงปิด ซึ่งเป็นรากของ 1 + K·G(s) = 0 เคลื่อนจากโพลวงเปิดไปยังศูนย์วงเปิดหรือไปยังอนันต์ จุดบนแกนจริงอยู่ในโลคัสเมื่อจำนวนโพลจริงและศูนย์ทางขวาของมันเป็นเลขคี่ n − m กิ่งที่ไปยังอนันต์ตามเส้นกำกับที่มุม (2q + 1)·180°/(n − m) ซึ่งเริ่มจากเซนทรอยด์ σₐ = (Σ โพล − Σ ศูนย์)/(n − m) กิ่งออกจากหรือเข้าร่วมแกนจริงที่ dK/ds = 0 เงื่อนไขมุม ∠G(s) = 180° กำหนดรูปร่าง และเงื่อนไขขนาด K = 1/|G(s)| ให้อัตราขยาย ณ จุดใดก็ได้ของโลคัส

จุดแยกออก

dK/ds = 0 สำหรับ K = −(s + 2)(s + 10) ให้ 2s + 12 = 0

s_b = −6

เงื่อนไขขนาด

K = |−6 + 2|·|−6 + 10| = 4·4 = 16

คำตอบ

K = 16

สำหรับอัตราขยายนี้วงปิดหน่วงวิกฤต (ζ = 1)

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: e_ss = 2.062 %

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว: ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด G(s) ค่าความคลาดเคลื่อนคือ E(s) = R(s)/(1 + G(s)) และโดยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย e_ss = lim_s→0 s·E(s) ชนิดของระบบคือจำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0 ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนคือ K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) และ K_a = lim s²·G(s) ทั้งหมดสำหรับ s → 0 ขั้นขนาด A ให้ e_ss = A/(1 + K_p) แรมป์ A·t ให้ A/K_v และพาราโบลา A·t²/2 ให้ A/K_a วงชนิด 0 ตามขั้นด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด วงชนิด 1 ตามขั้นได้อย่างแม่นยำ และตามแรมป์ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด

ค่าคงที่ตำแหน่ง

K_p = 19·2.5 = 47.5

ค่าความคลาดเคลื่อนของขั้น

e_ss = 100/(1 + 47.5) = 2.062 %

คำตอบ

e_ss = 2.062 %

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: t_p = 0.6856 s

การควบคุม P, PI และ PID: ตัวควบคุม C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s กระทำต่อค่าความคลาดเคลื่อน อัตราขยายสัดส่วนทำให้วงเร็วขึ้นและลดค่าความคลาดเคลื่อนของโรงงานชนิด 0 แต่ไม่เคยกำจัดมัน พจน์อินทิกรัลเพิ่มโพลที่ s = 0: ชนิดของระบบเพิ่มขึ้นหนึ่ง และตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อน พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วง ในการเลือกอัตราขยาย เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะวงปิดและเปรียบเทียบกับ s² + 2ζω_ns + ω_n² จากนั้น %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d โดย ω_d = ω_n√(1 − ζ²) และ t_s ≈ 4/(ζω_n)

พหุนามลักษณะเฉพาะ

s(s + 4) + 25·1 = s² + 4s + 25

ωₙ และ ζ

ωₙ = √25 = 5 rad/s

ζ = 4/(2·5) = 0.4

เวลาถึงจุดสูงสุด

ω_d = 5·√(1 − 0.4²) = 4.583 rad/s

t_p = π/4.583 = 0.6856 s

คำตอบ

t_p = 0.6856 s

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: φ = 78.65 °

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่มุม

ω_c = 1/(RC) = 1/(3300·2.2 × 10⁻⁸) = 13774 rad/s

f_c = 2192 Hz → f/f_c = 440/2192 = 0.2007

เฟส

φ = 90° − atan(0.2007) = 78.65°

คำตอบ

φ = 78.65°

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ω_c = 17.83 rad/s

จุดตัดอัตราขยาย

ω⁴ + 25ω² − 108900 = 0

ω² = (−25 + √(625 + 4·108900))/2 = 317.7

ω_c = 17.83 rad/s

คำตอบ

ω_c = 17.83 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/control-engineering-1